考慮動力剛化的撓性飛行器動力學建模與仿真*

李崔春,孟秀云,劉藻珍

(北京理工大學, 北京 100081)

考慮動力剛化的撓性飛行器動力學建模與仿真*

李崔春,孟秀云,劉藻珍

(北京理工大學, 北京 100081)

文中以撓性飛行器的剛柔耦合物理模型為研究對象,引入非慣性系中的力學問題理論,建立了考慮動力剛化的模型,明確地闡明了動力剛化是一種非慣性系中的力學現象。首先分別應用材料力學和角動量定理建立了兩個子系統的連續動力學模型,而后基于正則約束模態的正交化結論,建立了離散動力學模型。數值仿真結果表明,文中建立的一次動力學模型考慮了動力剛化,能夠準確預測大角度機動下撓性飛行器的動力學響應,可直接用于控制器設計。

非慣性系;大角度機動;剛柔耦合;動力剛化

0 引言

隨著航空航天技術的不斷發展,帶有各種撓性附件的飛行器日益增多。以往對這類剛柔耦合系統的研究多是基于傳統的零次模型[1-2],但當系統進行大范圍高速姿態機動時,零次耦合模型將得到附件撓性變形無限增大的結果。針對這一問題,1987年Kane[3]研究了移動基上懸臂梁的精確動力學建模問題,首次提出了“動力剛化”概念,指出撓性梁的大位移旋轉運動將引起其剛度的增加。自Kane提出動力剛化以來,學術界給予了極大的關注[4-9]。對于此類剛柔耦合系統的建模主要有兩個關鍵點:一是考慮剛性運動與撓性變形的互耦作用,二是模型的響應需包含動力剛化。文中將撓性飛行器的典型物理模型(中心剛體+撓性梁結構)采用材料力學和角動量定理分別對其兩個子系統進行了建模,并對建立的模型進行了大角度姿態機動為已知的動力剛化數值仿真驗證。

1 基于非慣性系中力學問題的連續動力學建模

文中采用的表征撓性飛行器的剛柔耦合模型如圖1所示,由中心剛體(Hub)和撓性梁(Beam)組成。中心剛體相對慣性空間做定軸轉動,以懸臂方式連接撓性梁。假設撓性梁為小變形小應變下的等截面Euler-bernoulli梁。建立空間慣性坐標系OIXIYI,同時在撓性梁上建立浮動坐標系OXY,撓曲線y=y(x,t)用以描述撓性梁的橫向振動變形,角度θ表征了中心剛體相對慣性空間的姿態運動。將圖1所示的剛柔耦合系統分割成兩個子系統:系統1為撓性梁(Beam),長度為l,線密度為ρb,彈性模量為E,截面慣性矩為I。系統2為中心剛體(Hub),其繞轉軸OI的轉動慣量為Jstar,半徑為b,受到外加的力矩Th作用。

圖1 剛柔耦合系統物理模型

1.1 基于材料力學的撓性體建模

圖2所示為大角度機動下撓性梁的橫向變形。中心剛體的轉動使得OXY成為非慣性坐標系,因此研究此時梁的橫向振動變形是求解一類典型的非慣性系下的力學問題。根據材料力學,撓性梁的橫向振動位移與梁上作用的彎矩有關,對應的原理式為:

(1)

其中M(x,t)為梁上一點處的彎矩。根據圖2可知,梁上作用的彎矩只與梁垂直方向的分布慣性載荷有關。

圖2 中心剛體大角度機動下撓性梁的橫向變形

為研究梁上的垂直分布載荷,取梁上任一點M處的質量微元ρbdx如圖2所示:直線tt為切線,直線nn為法線,M的坐標為M(x,y(x,t)),設OIM的瞬時長度為|OIM|=r。由于OXY相對慣性空間運動,撓性梁將受到慣性力的作用。在圖3中,假定質量微元M相對OXY的瞬時運動速率為Vr(沿OY方向),根據理論力學,其上受到的慣性力如圖3所示。因此,作用于撓性梁上的外加垂直分布載荷形式為:

圖3 梁上M處的慣性力

(2)

根據圖2中所示的幾何關系,結合梁變形的小位移小角度假設,同時忽略三角級數展開形式中的二次小量,簡化后的外加垂直分布載荷形式如下:

(3)

將式(3)代入式(1)中,可得撓性梁橫向振動的動力學方程為:

(4)

1.2 基于角動量定理的中心剛體建模

中心剛體上影響姿態運動的受力如圖4所示。其中Th(t)為作動機構施加的外力矩,FS(0,t)和M(0,t)為撓性梁在連接處對中心剛體的反作用。根據材料力學,梁上作用的剪力和彎矩的分布函數為:

(5)

圖4 中心剛體上的受力

基于式(3)和式(5),利用角動量定理可得中心剛體的連續動力學方程如下:

(6)

2 基于正則約束模態正交化結論的離散動力學建模

采用前N階正則約束模態展開近似描述梁的橫向振動變形:

(7)

(8)

基于式(8),對式(4)中撓性梁橫向振動的連續動力學方程進行離散化,得到對應的離散動力學方程如下:

(9)

同理,得到中心剛體的離散動力學方程為:

(RN-HN)·q=Th

(10)

3 動力剛化的數值仿真驗證

本節以撓性飛行器剛柔耦合離散動力學模型為對象,對大范圍運動為已知時撓性梁的動力剛化行為進行數值仿真驗證。參考文獻[8]中的系統參數和仿真條件。撓性梁的長度l=8 m,彈性模量E=6.895 2×1010Pa,截面積A=7.296 8×10-5m2,體積密度ρ=2.766 7×103kg/m3,截面的慣性矩I=8.218 9×10-9m4;中心剛體半徑b=0.5 m,轉動慣量Jstar=300 kg·m2。設已知的大范圍運動規律為:

(11)

其中:ωm為機動的終態角速度,仿真中分別取ωm為0.6 rad/s、2 rad/s和3 rad/s。圖5為式(11)定義的大范圍運動下,撓性梁末端的橫向振動位移響應。其中虛線對應零次模型(ZDM),實線對應一次模型(FDM)。分析梁的固有振動頻率可知,其自由振動的一階和二階固有頻率分別為2.91 rad/s和18.24 rad/s。

圖5 大范圍運動已知時撓性梁的末端位移響應

綜上,ZDM由動力柔化效應主導系統的動力學行為,ωm的值越大,柔化作用越明顯。而對于FDM,即使中心剛體機動的角速度較大,其仿真結果仍收斂,對應了FDM的剛度矩陣保持正定的分析結論。可見,FDM成功地將動力剛化納入了系統的動力學響應,符合工程實際。

4 結論

文中以中心剛體-撓性梁結構系統作為撓性飛行器的物理模型,通用引入非慣性系中力學問題的處理方法,分別采用了不同的力學原理對兩個子系統建立了連續動力學模型,并基于正則約束模態的正交化結論推演了系統模型的離散形式。文中的分系統建模思想成功地解決了以往文獻中由于使用單一動力學原理建模引起的推演形式復雜、耦合度高等問題,大大簡化了建模過程。此外,文中將動力剛化視為非慣性系中的一種力學現象,將其成功地納入了系統的動力學響應,闡明了其產生的力學理論背景:源自梁上分布的非慣性載荷與其撓性變形的耦合作用。數值仿真驗證表明,文中建立的一次動力學模型FDM考慮了動力剛化,仿真收斂性好,能夠準確的預測系統的動力學響應,可直接用于控制器的設計。

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Dynamic Modeling and Simulation for Flexible Aerocraft with Dynamic Stiffening

LI Cuichun,MENG Xiuyun,LIU Zaozhen

(Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, China)

The rigid flexible coupling physical model of flexible aerocraft investigated in this paper. By introducing the theory of mechanics problems in a non-inertial coordinate system, the model with dynamic stiffening established, and it is clearly elucidate that, dynamic stiffening is a typical mechanics phenomenon in a non-inertial coordinate system. First, material mechanics and angular momentum principle are employed to establish continuous dynamic models of the subsystems. Then, based on the conclusions of orthogonalization of the normal constrained modes, the finite dimensional dynamic models are obtained. The numerical simulations show that, the first-order dynamic model established in this paper has considered dynamic stiffening. Thus, it could predict the dynamic responses of the flexible aerocraft with large accurately, and can be directly used in controller design.

non-inertial coordinate system; large; rigid flexible coupling; dynamic stiffening

2014-05-08

李崔春(1984-),男,河北唐山人,博士研究生,研究方向:撓性航天器的動力學建模、仿真與控制技術研究。

V414

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