基于彈著點(diǎn)橢圓散布的射擊方位角選取*

王立安,徐衛(wèi)昌,李永峰,劉繼方,張高瑜

(1 第二炮兵工程大學(xué)士官職業(yè)技術(shù)教育學(xué)院, 山東青州 262500;2 96451部隊(duì), 吉林白山 135200)

基于彈著點(diǎn)橢圓散布的射擊方位角選取*

王立安1,徐衛(wèi)昌1,李永峰1,劉繼方1,張高瑜2

(1 第二炮兵工程大學(xué)士官職業(yè)技術(shù)教育學(xué)院, 山東青州 262500;2 96451部隊(duì), 吉林白山 135200)

根據(jù)彈道導(dǎo)彈落點(diǎn)橢圓散布規(guī)律,構(gòu)建射擊方位角選取模型。針對(duì)矩形目標(biāo),可直接通過(guò)公式遍歷篩選;而針對(duì)一般面目標(biāo),提出用粒子群算法搜索最佳射擊方位角。實(shí)例計(jì)算結(jié)果表明,大長(zhǎng)寬比目標(biāo)軸向射擊命中概率最大;而針對(duì)小長(zhǎng)寬比目標(biāo)和一般面目標(biāo),可通過(guò)公式遍歷篩選和粒子群搜索算法選取最佳射擊方位角。

橢圓散布;射擊方位角;公式遍歷篩選;粒子群搜索算法

0 引言

導(dǎo)彈在實(shí)際的飛行中,由于縱向、橫向的飛行控制不同,彈著點(diǎn)縱橫向散布方差一般也不相同。對(duì)彈道導(dǎo)彈而言,它的落點(diǎn)規(guī)律接近橢圓散布,因此,在不同的方位對(duì)目標(biāo)進(jìn)行打擊時(shí),命中概率必然有差異。文獻(xiàn)[1]研究了射向變化對(duì)機(jī)場(chǎng)跑道失效率的影響,但沒(méi)有給出最佳射向的選取辦法;文獻(xiàn)[2]僅討論了軸向和垂向射擊矩形目標(biāo)時(shí),長(zhǎng)寬比與命中概率之間關(guān)系。文中基于導(dǎo)彈實(shí)際落點(diǎn)的橢圓散布規(guī)律,通過(guò)構(gòu)建模型,探討射擊方位角改變對(duì)導(dǎo)彈命中概率的影響,提出采用針對(duì)矩形目標(biāo)的公式遍歷篩選法乃至針對(duì)一般面目標(biāo)的粒子群搜索算法選取最佳射擊方位角,為導(dǎo)彈陣地部署和火力打擊方案擬制提供參考

1 矩形目標(biāo)射擊方位角的選取

在實(shí)際戰(zhàn)爭(zhēng)中,矩形或類(lèi)似矩形目標(biāo)非常常見(jiàn),如機(jī)場(chǎng)跑道、公路橋梁、鐵路橋梁、跨海大橋、艦船等,對(duì)它們的精確打擊必然成為部隊(duì)決勝未來(lái)戰(zhàn)場(chǎng)的重要因素,很有必要有針對(duì)性的選擇合適的射擊方位角打擊此類(lèi)目標(biāo)。

1.1 假設(shè)條件

1)彈著點(diǎn)散布規(guī)律及毀傷半徑與射擊方位角無(wú)關(guān),矩形目標(biāo)內(nèi)各點(diǎn)的毀傷律一樣;

2)矩形目標(biāo)的長(zhǎng)寬分別為a、b(a≥b),導(dǎo)彈縱向、橫向落點(diǎn)分布標(biāo)準(zhǔn)差分別為δy、δz,相關(guān)系數(shù)為r,系統(tǒng)誤差為(y0,z0);

3)導(dǎo)彈瞄準(zhǔn)點(diǎn)為矩形目標(biāo)的中心,落點(diǎn)散布概率密度函數(shù)是以散布點(diǎn)中心為中心的二維正態(tài)分布,則其概率密度函數(shù)為[3]:

(1)

4)基于矩形目標(biāo)的中心對(duì)稱(chēng)性,為方便計(jì)算,約定導(dǎo)彈射擊方位角α為射擊方向與目標(biāo)長(zhǎng)軸方向所夾的較小的角,即0≤α≤π/2,如圖1所示。

圖1 矩形目標(biāo)射擊方位角

1.2 模型建立

根據(jù)假設(shè)條件2)、3),在彈著點(diǎn)散布規(guī)律和矩形目標(biāo)參數(shù)已知的條件下,導(dǎo)彈命中概率僅與射擊方位角有關(guān),射擊方位角選擇越合理,導(dǎo)彈的命中概率就越大。文中建立針對(duì)矩形目標(biāo)的公式遍歷篩選方法,具體如下:

首先,以導(dǎo)彈的瞄準(zhǔn)點(diǎn)O為中心,以射擊方向?yàn)閥軸,以位于目標(biāo)平面內(nèi)且垂直于y軸的直線為z軸構(gòu)建直角坐標(biāo)系,y軸與AB邊所夾的角即為射擊方位角α,如圖(1)所示。導(dǎo)彈的命中概率p即為落點(diǎn)偏差概率分布密度函數(shù)在目標(biāo)區(qū)域內(nèi)的積分,即:

p=?sf(y,z)ds

(2)

式中s表示矩形目標(biāo)區(qū)域。

為方便計(jì)算,分別過(guò)D、B點(diǎn)做平行于y軸的直線DE、BF,將矩形目標(biāo)分為三角形ADE、四邊形DEMP、四邊形MPFB、三角形BCF四塊,分別記為s1、s2、s3、s4,如圖(1)所示,所以:

p=?s1f(y,z)ds+?s2f(y,z)ds+?s3f(y,z)ds+

?s4f(y,z)ds

(3)

因?yàn)槿切蜛DE和三角形BCF、四邊形DEMP和四邊形MPFB關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱(chēng),所以:

p=2?s1f(y,z)ds+2?s2f(y,z)ds

(4)

1.3 模型求解

對(duì)式(4)的計(jì)算包括目標(biāo)區(qū)域點(diǎn)位確定及在目標(biāo)區(qū)域內(nèi)積分。

1)目標(biāo)區(qū)域點(diǎn)位確定

在yoz平面內(nèi),只要計(jì)算出A、D、E點(diǎn)坐標(biāo),即可進(jìn)行概率積分計(jì)算。首先延長(zhǎng)y軸交AB于M點(diǎn),然后延長(zhǎng)z軸分別交DE、AB于G、N點(diǎn),如圖(1)所示。

根據(jù)已知條件,|AB|=b,∠OMN=α,所以|AE|=b·cotα,|DE|=b/sinα。

2)在目標(biāo)區(qū)域內(nèi)積分

根據(jù)式(4),導(dǎo)彈的命中概率為:

(5)

對(duì)式(5)進(jìn)行數(shù)值近似求解就可以遍歷計(jì)算不同射擊方位角下的命中概率,以便篩選出命中概率最大時(shí)的射擊角度。

2 一般面目標(biāo)射擊方位角選取

公式法實(shí)現(xiàn)了對(duì)矩形目標(biāo)射擊方位角的遍歷篩選,但如何選取針對(duì)非矩形目標(biāo)最佳射擊方位角呢？文中利用現(xiàn)代優(yōu)化算法的特點(diǎn),采用粒子群算法搜索非矩形面目標(biāo)的最佳射擊方位角。

2.1 粒子群算法簡(jiǎn)介

粒子群優(yōu)化算法(particle swarm optimization,PSO)是由Kennedy和Eberhart在研究鳥(niǎo)類(lèi)和魚(yú)類(lèi)的群體行為基礎(chǔ)上于1995年提出的一種群智能算法[4]。算法首先初始化一群隨機(jī)粒子,然后通過(guò)迭代找到最優(yōu)解。在每一次迭代中,粒子通過(guò)跟蹤兩個(gè)“極值”即個(gè)體極值和全局極值來(lái)更新自己的速度與位置。根據(jù)文獻(xiàn)[5],更新速度、慣性權(quán)重、位置公式如下:

式中:i為迭代次數(shù);imax為最大迭代次數(shù);w為慣性權(quán)重;wmax、wmin分別為最大最小慣性權(quán)重系數(shù),一般設(shè)為0.9、0.5;pid、pgd分別為局部和全局最優(yōu)位置;xid為第i個(gè)粒子在第d維的位置;vid、v(i+1)d分別為第i、i+1步的更新速度;rand()為0到1之間的隨機(jī)數(shù);c1、c2為加速系數(shù),通常取2。

2.2 假設(shè)條件

導(dǎo)彈射擊方位角α為射擊方向與正北方向所夾的角,如圖2所示。

圖2 一般面目標(biāo)射擊方位角

2.3 算法與求解

1)以瞄準(zhǔn)點(diǎn)為中心,以正北方向?yàn)閥軸,垂直于y軸方向?yàn)閦軸,建立直角坐標(biāo)系。

2)在yoz坐標(biāo)系內(nèi),擬合目標(biāo)輪廓曲線,用不等式組表示出目標(biāo)區(qū)域。

3)初始化種群:

②初始化更新速度v0,約定其為初始粒子平均間距除以2。如在0～2π范圍內(nèi)選取時(shí),v0=π/20;在0～π/2范圍內(nèi)選取時(shí),v0=π/80;

③w采用線性迭代策略,即利用式(7)計(jì)算。可令最大迭代次數(shù)imax=10,所以w0=0.9-(0.9-0.5)·i/10=0.9-i/25=0.9;

4)將當(dāng)代個(gè)體的歷史最優(yōu)pid設(shè)為初始α[20]位置,群體的歷史最優(yōu)值pgd設(shè)為α[20]中的最佳位置。

5)根據(jù)彈著點(diǎn)散布規(guī)律,利用蒙特卡洛模擬法[6]計(jì)算各粒子的適應(yīng)度,具體方法如下:

①摸擬每個(gè)粒子N次彈著點(diǎn)散布(根據(jù)實(shí)際情況確定,N越大,模擬精度越高,但計(jì)算速度越慢),算出每次導(dǎo)彈的落點(diǎn)坐標(biāo)(y,z),計(jì)算公式[1]為:

(9)

②統(tǒng)計(jì)每個(gè)粒子的彈著點(diǎn)處于目標(biāo)輪廓曲線內(nèi)的個(gè)數(shù)Mj,則此時(shí)的導(dǎo)彈命中概率pj=Mj/N,pj即為第j個(gè)粒子的適應(yīng)度。

6)如果該粒子當(dāng)前的適應(yīng)度比其歷史最優(yōu)值要好,那么歷史最優(yōu)pid被當(dāng)前位置所替代。

7)如果該粒子當(dāng)前的適應(yīng)度比歷史全局最優(yōu)值好,那么全局最優(yōu)pgd被該粒子位置所替代。

8)按照式(6)～式(8)更新每個(gè)粒子的速度和位置。

9)判斷是否達(dá)到停止條件:

①若i≤imax,返回步驟5);

②若i>imax,則迭代完畢,輸出粒子全局最優(yōu)位置和適應(yīng)度,輸出值即為最佳射擊方位角和此時(shí)導(dǎo)彈的命中概率。

流程如圖3所示。

圖3 粒子群法搜索最佳射擊方位角

2.4 最佳發(fā)射陣地選取

在導(dǎo)彈實(shí)際作戰(zhàn)中,可供選擇的發(fā)射陣地?cái)?shù)量有限,假定有K個(gè)發(fā)射陣地可供選取,從K個(gè)陣地里選出命中概率最大的那個(gè)即為最佳發(fā)射陣地,即:

(10)

式中:αi表示第i個(gè)陣地的發(fā)射方位角;pi表示命中概率,pi可通過(guò)公式(矩形目標(biāo))或蒙特卡洛模擬法計(jì)算,最終篩選出使導(dǎo)彈命中概率最大的發(fā)射陣地。

3 實(shí)例計(jì)算

文中選擇長(zhǎng)寬分別為50.82 m、9.6 m的趙州橋和長(zhǎng)寬分別為15 m、13 m的指揮所為實(shí)例射擊目標(biāo)?，F(xiàn)利用落點(diǎn)服從參數(shù)為δy=5、δz=3、r=0.3橢圓散布的某型彈道導(dǎo)彈進(jìn)行打擊。根據(jù)式(5),在Matlab7.1軟件環(huán)境下,編程計(jì)算命中概率與射擊方位角的對(duì)應(yīng)關(guān)系。針對(duì)幾組特殊的角度,計(jì)算出的概率值如表1。

表1 命中概率與射擊方位角關(guān)系

表1驗(yàn)證了射擊方位角對(duì)導(dǎo)彈命中概率構(gòu)成影響,合理選取射擊方位角可增大導(dǎo)彈的命中概率。

在不考慮彈著點(diǎn)系統(tǒng)誤差及相關(guān)系數(shù)r情況下,以0.08 rad為步長(zhǎng),在方位角0～π/2范圍內(nèi),利用式(5)遍歷計(jì)算導(dǎo)彈對(duì)趙州橋、指揮所的命中概率,耗時(shí)348 s,畫(huà)出圖4中實(shí)線、虛線部分;然后采用粒子群搜索算法,在方位角0～π/2范圍內(nèi)搜索針對(duì)指揮所的最佳射擊方位角,耗時(shí)2 870 s,搜索軌跡如圖4中豎線所示,最終輸出的最佳射擊方位角為0.398 6 rad,此時(shí)命中概率為0.863 5。

圖4 射擊方位角與命中概率關(guān)系

1)從圖4可以看出,打擊長(zhǎng)寬比較大的趙州橋時(shí),射擊方位角對(duì)命中概率影響較大。在0 rad處,命中概率最大,為0.890 4;隨著角度的增大,命中概率逐漸減小,在1.3 rad處,達(dá)到最小,為0.653 4;最大與最小概率相差0.237。由此可見(jiàn)對(duì)大長(zhǎng)寬比目標(biāo),合理選取射擊方位角能大幅度提高導(dǎo)彈命中概率,且角度為0時(shí)(彈著點(diǎn)散布橢圓長(zhǎng)軸與矩形目標(biāo)長(zhǎng)軸方向一致,即軸向射擊)滿足條件;而對(duì)于小長(zhǎng)寬比目標(biāo),射擊方位角對(duì)命中概率影響相對(duì)較小。

2)需要特別指出的是,打擊長(zhǎng)寬比較小的指揮所時(shí),從0 rad開(kāi)始命中概率隨角度的增大而增大,在0.398 6 rad時(shí)達(dá)到最大,隨后減小。由此可看出對(duì)于小長(zhǎng)寬比矩形目標(biāo),簡(jiǎn)單的選擇軸向射擊并不能達(dá)到最大命中概率。合理化的解釋為:當(dāng)橢圓分布的長(zhǎng)軸方向與矩形目標(biāo)區(qū)域的邊成某一夾角時(shí),散布橢圓與該目標(biāo)的“接合”程度最高,此時(shí)概率密度的積分達(dá)到最大,該角度即為最佳射擊方位角。

3)由圖4中豎線可以看出,粒子群算法的搜索速度先快后慢,在最優(yōu)位置附近搜索跨度逐漸縮小,算法具有較好的收斂性。公式遍歷篩選和粒子群算法搜索得到的最佳射擊方位角相差比較小,兩者互相驗(yàn)證,提高了方位角選取結(jié)果的可信度。

4 結(jié)束語(yǔ)

1)從實(shí)用角度而言,對(duì)于大長(zhǎng)寬比目標(biāo),直接采取軸向射擊方案可獲得最大的命中概率;對(duì)于小長(zhǎng)寬比目標(biāo),利用文中的兩種方法都能搜索出最佳射擊方位角;而對(duì)于一般面目標(biāo),只能采用粒子群搜索算法選取。

2)從射擊方位角的選取方法上講,公式遍歷篩選與粒子群搜索算法的不同之處在于:前者只適用于矩形目標(biāo),而后者能搜索出針對(duì)所有面目標(biāo)的最佳射擊方位角;前者具有嚴(yán)密的推理論證,結(jié)果更具說(shuō)服力,而后者計(jì)算概率時(shí)采用蒙特卡洛模擬法,搜索結(jié)果的可靠性受到模擬次數(shù)影響;前者運(yùn)算速度快,因此可選取充分小的步長(zhǎng),使遍歷篩選結(jié)果滿足精度要求,而后者運(yùn)算速度較慢。

[1] 李新其, 譚守林, 唐保國(guó). 射向變化對(duì)跑道失效率的影響分析 [J]. 彈道學(xué)報(bào), 2006, 18(2): 84-87.

[2] 李邦杰, 王明海. 基于彈著點(diǎn)橢圓散布的矩形目標(biāo)命中概率計(jì)算 [J]. 火力與指揮控制, 2005, 30(增利): 82-85.

[3] 邱成龍. 地地導(dǎo)彈火力運(yùn)用原理 [M]. 北京: 國(guó)防工業(yè)出版社, 2001.

[4] Kennedy JEberhart R C. Particle swarm optimization [C]∥Proc of the IEEE International Conference on NeuralNetworks. Pisca-taway, NJ: IEEE Service Center, 1995: 1942-1948.

[5] Shi Yuhui, Eberhart R C. A modified particle swarm optimizer [C]∥Proc of the IEEE International Conference on Evolutionary Computation. Piscataway, NJ: IEEE Service Center, 1998: 69-73.

[6] 楊世榮, 王才宏, 李小強(qiáng). 子母彈橢圓散布模型的建立與仿真 [J]. 戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈技術(shù), 2008(4): 57-61.

Firing Azimath Selection Based on Ellipse Dispersion of Impact Point

WANG Lian1,XU Weichang1,LI Yongfeng1,LIU Jifang1,Zhang Gaoyu2

(1 College of Sergeant Occupation Technology Education,The Second Artillery Engineering University, Shandong Qingzhou 262500, China; 2 No.96451 Unit, Jilin Baishan 135200, China)

Based on ellipse dispersion of ballistic missile point, a model selecting of the hit probability was. As rectangular target, the best can be directly selected out through formula traversal screening. As common target, particle swarm optimization (PSO) algorithm searching the best. The results of calculation showthat:as larger aspect ratio target, it could be directly to maximize hit probability by axial shooting. As smaller aspect ratio target and general area target, it could get the best by making use of formula traversal screening and PSO algorithm.

ellipse; formula traversal screening; PSO algorithm

2014-04-25

大學(xué)科研基金資助

王立安(1987-),男,安徽安慶人,碩士,研究方向:導(dǎo)彈總體性能指標(biāo)論證與評(píng)估。

TJ761.3

A