用嶺估計克服最小二乘姿態法中的病態性

張方照，柴艷菊，柴 華，丁磊香

用嶺估計克服最小二乘姿態法中的病態性

張方照1，2，3，柴艷菊1，2，柴 華1，2，丁磊香1，2，3

(1.中國科學院 測量與地球物理研究所，武漢 430077；2.大地測量與地球動力學國家重點實驗室，武漢 430077； 3.中國科學院大學，北京 100049)

針對最小二乘多天線姿態解算中某些歷元的法方程存在嚴重病態性，導致姿態估計結果異常(尤其是俯仰角和橫滾角)的問題，本文采用了常用的嶺估計方法克服其病態性。首先根據法方程系數陣的條件數判斷該歷元的法方程是否存在病態性，如果條件數小于1 000，采用最小二乘法估計姿態參數，否則，利用L曲線法確定嶺參數，并利用嶺估計解算姿態參數。最后，以高精度慣性導航系統(陀螺漂移0.005°/h)輸出的姿態結果作為基準，得出嶺估計方法解算的姿態角的外符合精度為：方位角0.1°，俯仰角0.16°，翻滾角0.39°。這一精度與基線解算正確情況下的理論姿態精度相當，這說明嶺估計方法比較好的克服了法方程的病態性。

最小二乘姿態估計；姿態測量；病態性；嶺估計法

0 引言

多天線全球衛星導航系統(global navigation satellite system，GNSS)能為用戶提供連續精確的位置、速度、姿態等導航信息，已成為導航、測繪等領域研究的熱點，尤其是多天線測姿方法的研究[1-4]。近年來，國內外許多學者對此進行了大量的研究，根據天線布設的不同，提出了多種多天線姿態解算方法，其中最常用的有直接姿態解算法和最小二乘姿態解算法[5-8]。由于最小二乘姿態解法能充分利用多天線基線解算信息，姿態精度理論上要優于直接解算。但是，通過分析發現，最小二乘姿態結果只有航向角估計精度有明顯改善，俯仰角和橫滾角結果改善不明顯，有些歷元甚至會變差。分析原因如下：1)最小二乘姿態估計中某些歷元法方程存在病態性；2)俯仰角和橫滾角受垂直方向基線分量的影響，而GNSS基線垂直方向的分量精度比水平方向精度差，病態性問題會使基線誤差放大，導致俯仰角和橫滾角姿態解算結果錯誤。針對最小二乘中病態問題，以往也有不少學者進行過研究，提出了多種解決方法，如數學上采用的嶺估計方法[9-13]，大地測量中附加先驗信息約束的選權擬合法[14-15]。為了克服最小二乘姿態解算中的病態性問題，本文采用比較常用的嶺估計方法改善其病態性。首先根據法方程的條件數判斷系數陣是否存在病態性，如果不存在(cond(N)<1 000)，采用最小二乘法估計姿態參數，否則，利用L曲線法確定嶺參數，并利用嶺估計解算姿態參數。試驗結果表明，嶺估計方法對改善由病態性引起的姿態估計異常問題效果比較明顯。

1 最小二乘姿態解算模型

假設載體上布設了n+1個天線，主天線和其他天線形成n條基線，根據載體系和當地水平系之間的轉換關系：

(1)

V=AX-L權陣P

(2)

通過對式(2)得到的最小二乘姿態解算結果分析，某些歷元姿態估計結果明顯存在異常。通過分析發現，存在姿態估計異常的歷元法方程的條件數一般比較大，即法方程存在病態性。由于式(2)中觀測值受初始化姿態、基線解算誤差、載體系中基線量測誤差的綜合影響，病態性會對觀測誤差產生放大，導致姿態估計異常。采用嶺估計改善其病態性。

2 嶺估計模型

由式(2)得最小二乘法姿態估計為：

(3)

如果法方程條件數cond(ATPA)>1000，采用L曲線法確定嶺參數k，參考文獻[12,14]給出了解算的詳細步驟。則嶺估計模型為：

X=(ATPA+kI)-1ATPL

(4)

式(4)中，I為3階單位陣。

3 實驗結果與分析

3.1 實驗數據

為了驗證采用嶺估計改善多天線最小二乘姿態解算中的病態性效果，利用一套車載三天線GNSS實測數據進行檢驗(4號天線觀測數據質量比較差，沒有采用)，接收機類型為NovAtel，數據采樣率為1Hz，安裝位置如圖1。其中天線1為主天線，1、2天線連線與車輛主軸方向一致，數據采集于2013-12-06的武漢。為了能對多天線姿態結果進行精度分析，車上還安裝了一臺高精度慣性導航系統(inertialnavigationsystem，INS)，陀螺漂移為0.005°/h。

圖1 多天線安裝位置簡圖

3.2 姿態解算結果分析

為了進行比較，采用如下處理方案：方案一，最小二乘姿態估計法；方案二，嶺估計姿態估計法。將兩種方法得到的姿態結果分別與高精度INS的姿態進行比較，見圖2，X軸是GPS時(GPStime，GPST)，Y軸指的是姿態角。以高精度INS的姿態作為參考值，兩種方案得到的姿態誤差見圖3，其統計結果列于表1。

圖2 最小二乘法、嶺估計法與高精度INS姿態結果對比

圖3 最小二乘法、嶺估計法姿態誤差對比

從圖2可知，最小二乘得到的姿態結果中，有些歷元的俯仰角和橫滾角比較差，以法方程存在病態性的第455 320時刻為例，對兩種方案估計姿態參數的中間結果進行分析：

系數矩陣：

觀測值：L=[0.000 000 0.006 769 -0.000 000

-0.010 068 0.015 198 0.000 000]；

特征值：[3.899 749 0.635 441 0.001 711]；

最小二乘法方程條件數：2 279；

嶺參數：0.12；

采用嶺估計得到的法方程條件數：33；

最小二乘姿態參數估值/(°)：41.670 660 -1.756 508 2.655 618；

嶺估計姿態參數估值/(°)：41.652 939 -1.030 263 1.718 671；

高精度INS計算的姿態角/(°)：41.215 534 -0.985 409 1.637 409；

由計算的中間結果可知，第455 320時刻，最小二乘法方程條件數大于1 000，系數陣存在病態性，姿態解算結果與高精度INS姿態結果相差比較大。用L曲線法確定嶺參數，并利用嶺估計解算姿態參數，結果得到了明顯改善。

表1 姿態誤差統計結果/(°)

如圖3和表1的統計結果所示，將最小二乘和嶺估計方法的姿態估計結果分別與高精度INS(陀螺漂移0.005°/h)輸出的姿態結果作比較，可知最小二乘解算的俯仰角和橫滾角的均方根誤差、最大值和最小值明顯異常，即病態性問題導致最小二乘解算異常；經嶺估計方法處理后，最小二乘解算存在的病態性問題得到明顯改善。嶺估計法姿態角的外符合精度：方位角為0.1°，俯仰角為0.16°，翻滾角為0.39°。試驗結果表明，嶺估計方法對改善由病態性引起的姿態估計異常問題效果比較明顯。

4 結束語

本文采用常用的嶺估計方法克服最小二乘多天線姿態解算中某些歷元法方程存在病態性的問題。結合一套車載三天線GNSS實測數據，對最小二乘和嶺估計解算的姿態結果進行比較分析，并分別與高精度INS(陀螺漂移0.005°/h)輸出的姿態結果進行比較，結果表明，嶺估計方法可以明顯改善最小二乘解算存在的病態性問題，特別是，俯仰角和橫滾角。得到的外符合精度為：方位角為0.1°，俯仰角為0.16°，翻滾角為0.39°。

對引起最小二乘多天線姿態解算中的病態性問題的機制還需要進行深入研究，以便探索更好的方法來解決這一問題，從而進一步提高多天線姿態的精度。

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Improving the Ill-posed Problems of the Least Squares Attitude Estimation with GNSS Multi-antennas Using Ridge Estimation

ZHANGFang-zhao1，2，3，CHAIYan-ju1，2，CHAIHua1，2，DingLei-xiang1，2，3

(1.Institute of Geodesy and Geophysics，Chinese Academy of Sciences，Wuhan 430077，China； 2.State Key Laboratory of Geodesy and Earth’s Dynamics，Wuhan 430077，China； 3.University of Chinese Academy of Sciences，Beijing 100049，China)

The normal matrix of the Least Squares(LS)is ill-posed in some epochs for GNSS multi-antenna attitude estimation，which lead to the abnormal attitude estimates，especially the pitch angle and the roll angle.In this paper，the common Ridge Estimation (RE) is used to overcome the ill-posed problems.Firstly，if the normal matrix of the epoch is ill-posed is judged according to the condition number of the normal equation coefficient matrix.If the condition number is less than 1 000，the attitude parameters are estimated using the LS，otherwise，the ridge parameter is determined using the L curve method and the attitude parameters are estimated using the RE.At last，the attitude of the high precision INS(Gyro drift is 0.005 degree in per hour)is taken as the reference，the attitude precision of RE is as follows：the yaw is 0.1 degree，the pitch is 0.16 degree and the roll is 0.39 degree.The attitude precision of the RE method is equivalent to the theoretical precision derived from the accurate baseline，so the ill-posed problem is effectively improved.

least squares attitude estimation；attitude determination；ill-posed；ridge estimation method

張方照，柴艷菊，柴華，等.用嶺估計克服最小二乘姿態法中的病態性[J].導航定位學報,2015,3(3):85-88.(ZHANGFang-zhao,CHAIYan-ju,CHAIHua,etal.ImprovingtheIll-posedProblemsoftheLeastSquaresAttitudeEstimationwithGNSSMulti-antennasUsingRidgeEstimation[J].JournalofNavigationandPositioning,2015,3(3):85-88.)DOI:10.16547/j.cnki.10-1096.20150317.

2015-05-18

張方照(1987—)，女，山東菏澤人，碩士生，主要從事GNSS多天線姿態測量工作。

國家自然科學基金( 41174031、41374043、41231064)，中科院124項目(Y309441046)。

柴艷菊(1970—)，女，河南商丘人，副研究員，主要從事GNSS精密定位及GNSS/INS組合導航方面的研究。

P

A

2095-4999(2015)-03-0085-04