嚴格對角占優M-矩陣最小特征值下界改進的估計式

蔣建新，李艷艷

(文山學院數學學院, 云南 文山 663000)

嚴格對角占優M-矩陣最小特征值下界改進的估計式

蔣建新，李艷艷

(文山學院數學學院, 云南 文山 663000)

研究了嚴格對角占優M-矩陣A的最小特征值τ(A)下界的估計問題，利用A的逆矩陣A-1主對角元素的新估計式，給出了τ(A)提高的新估計式, 理論證明表明，新的估計式改進了李朝遷2013年給出的結果，而數值算例對結果進行了進一步的驗證.

嚴格對角占優矩陣；M-矩陣；最小特征值；估計式

1 預備知識

下面給出一些特殊矩陣的定義與記號

非奇異M-矩陣A=(aij)∈Rn×n分裂為A=D-C(D=diag(a11,a22,…,ann))，稱JA=D-1C為A的迭代矩陣.

引理1[1]設A=(aij)∈Rn×n是行嚴格對角占優M-矩陣，則

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

2 嚴格對角占優M-矩陣最小特征值的下界

這部分首先給出嚴格對角占優M-矩陣的逆矩陣主對角元素新的上下界，其次利用這些界給出嚴格對角占優M-矩陣最小特征值的一些新的下界，最后證明了新的界提高了李朝遷在文獻[3]中給出的相應結果.

(6)

(7)

證明：因為A是M-矩陣所以A-1≥0，且A·A-1=I，

同理利用(5)式可得(7)式成立.

同樣的方法可得下面定理2.

(8)

(9)

定理3 設A=(aij)∈Rn×n是行嚴格對角占優的M-矩陣,則

(10)

又因為JA=D-1C,C=D-A是非負矩陣，則由引理 3知

將上述結果代入引理2有

定理4 設A=(aij)∈Rn×n是行嚴格對角占優M-矩陣,則

(11)

下面證明定理3、定理4提高了李朝遷在文獻[1]中給出的相應結果.

定理5 設A=(aij)∈Rn×n是行嚴格對角占優M-矩陣,則

(12)

定理6設A=(aij)∈Rn×n是行嚴格對角占優M-矩陣,則

(13)

注：定理5、定理6提高了參考文獻[1]中的結果

定理7設A=(aij)∈Rn×n是行嚴格對角占優M-矩陣,則

(14)

又因為JA=D-1C,C=D-A是非負矩陣，則由引理3知

將上述結果代入引理2知

定理8設A=(aij)∈Rn×n是行嚴格對角占優M-矩陣,則

(15)

推論1設A=(aij)∈Rn×n是行嚴格對角占優M-矩陣，可得下面的估計式

(16)

(17)

數值算例：

設

容易驗證A是非奇異的M-矩陣，應用參考文獻[3]定理4.1(本文引理1)知

τ(A)≥0.00688007

應用本文(10)式，(11)式，(14)式—(16)式分別得τ(A)≥0.00688007，τ(A)≥0.00688007，τ(A)≥0.00688007，τ(A)≥0.00688007，τ(A)≥0.00688007，τ(A)≥0.00688007.

[1] 陳景良, 陳向暉. 特殊矩陣[M]. 北京：清華大學出版社，2000.

[2]TianG,HuangT.InequalitiesfortheminimumeigenvalueofM-matrices[J].Electronic Journal of Linear Algebra, 2010,(20):291-302.

[3] Li C， Li Y， Zhao R. New inequalities for the minimum eigenvalue ofM-matrices[J].LinearandMultilinearAlgebra,2013, (9):1267-1279.

(責任編校：晴川)

Improved Estimations of Lower Bound Minimum Eigenvalue of Strictly Diagonally DominantM-matrix

JIANG Jianxin，LI Yanyan

(School of Mathematics, Wenshan University, Wenshan Yunnan 663000, China)

The paper studied the problem of estimating of lower bound minimum eigenvalueτ(A)forstrictlydiagonallydominantM-matrix,andobtainedsomenewestimationsofτ(A)byusingnewestimationsofnondiagonallyelementsofstrictlydiagonallydominantM-matrix.TheoreticalproofshowedthatnewestimatesimprovedresultsgivenbyLIChaoqianin2013,andnumericalexampleswerepresentedtofurtherverifytheresults.

strictly diagonally dominant matrix;M-matrix;minimumeigenvalue;estimation

2015-05-11

國家自然科學基金(批準號:11361074)資助項目;云南省教育廳科學研究基金(批準號:2013Y585)資助項目;文山學院重點學科數學建設項目(批準號:12WSXK01).

蔣建新(1981— )，男，甘肅天水人，文山學院數學學院講師，碩士.研究方向:矩陣理論及其應用.

O

A

1008-4681(2015)05-0001-03