直觀：催化數(shù)學的理解與表達

王倩

[摘 要]小學數(shù)學教學一直重視直觀手段的運用。從兒童數(shù)學學習的角度來看，“直觀”可以孕育數(shù)學理解，催動思維發(fā)展，促進數(shù)學表達。這種價值，既貫通在學生整個的數(shù)學學習過程之中，也落實到了具體課堂之中。現(xiàn)以“認識乘法”教學為例，對此做簡要的闡釋。

[關鍵詞]直觀 數(shù)學理解 兒童數(shù)學學習 數(shù)學表達

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2015）05-005

近日，我上了一節(jié)“認識乘法”的公開課，幾次磨課的經(jīng)歷，讓我對“直觀”地學數(shù)學產(chǎn)生了新的思考。

第一次試教前，我研究了乘法概念的核心——幾個相同加數(shù)相加。在教學中，我直指知識本質(zhì)，設計了一組算式，讓學生通過計算算式并分類，引出加數(shù)都相同的算式，并在充分觀察、交流認識這類算式特點的基礎上，引導學生認識到像這樣“具有相同加數(shù)的算式”，需要引入新的定義方式——乘法。

幾次實踐之后，我發(fā)現(xiàn)這樣的設計至少存在兩個問題：一是開放度太大，學生分類的標準過于發(fā)散——有按照得數(shù)是否大于10來分類，有按照能否用湊十法來分類，有按照加數(shù)的個數(shù)來分類，等等，花費了大量時間卻沒聚焦到“相同加數(shù)相加”這一核心。二是抽象度太高，直接呈現(xiàn)較為抽象的算式，不符合了二年級學生的思維特征，由于缺少了直觀形象作支撐，學生經(jīng)歷的“過程”是簡單的模仿與記憶，經(jīng)歷的觀察與發(fā)現(xiàn)都是形式上的觀察與發(fā)現(xiàn)，學生所獲得的關于“乘法”的知識可以說是教師一廂情愿的“告之”。

有了這樣的認識，我們開始了新一輪嘗試，從觀察直觀的實物圖開始（如圖1），讓學生在觀察、交流、解答的過程中一步一步加深對“相同加數(shù)相加”這一種現(xiàn)象的認識，實現(xiàn)對乘法內(nèi)涵更為深刻的理解。

【片斷一：直觀素材孕育深刻理解】

師：梨一共有多少個，你會求嗎？

生1：我的算式是3+3+3+3+…

師（生邊匯報，師邊板書，并不斷地說）：你說慢點哦，我跟不上了。

師（故意寫了9個3）：這個算式對嗎？

生2：不對，老師少寫了一個3。

師：哎呀，我都糊涂了，到底有多少個3？誰能把算式說得更清楚。

生3：這里一共有10盤梨，每盤梨有3個，所以應該是10個3相加。

生4：我們寫的時候要特別細心，因為這里的3太多了，很容易寫著寫著就多寫1個3或者少寫1個3。我要提醒大家寫完之后還要再數(shù)一數(shù)。

生5：這樣寫太浪費時間了，我有一種新的寫法。

師：你真有想法，同學們看得懂他的意思嗎？

生6：對的，我同意他的寫法，這就表示10個3相加了。

生7：我還有比他更簡便的，我還會寫乘法呢！

師：乘法！誰聽說過嗎？誰來寫一寫？（生板書：3×10=30）

師：我們的古人也發(fā)現(xiàn)，像這樣好多個相同加數(shù)相加的算式寫起來太麻煩了，于是就創(chuàng)造出了“乘法”，像這樣“幾個幾相加是多少的問題”，就可以寫成“幾乘幾”。大家還有什么想說的嗎？

生8：我知道這里有10個盤子，每個盤子都是3個梨，就是3×10。

生9：乘就是加，把長的加法變成了簡單的乘法。

生10：我感覺乘法和加法有關系，“×”就是把“+”斜過來看，說明有好多相同的加數(shù)。

師：有意思的發(fā)現(xiàn)！

【我的思考】

直觀素材是揭示數(shù)學對象的性質(zhì)和關系的有力工具。人們在認識和理解抽象數(shù)學概念的過程中往往要使用視覺形象來表征數(shù)學問題，從而更加直觀、清晰地了解知識的實質(zhì)和關鍵，從而達到理解和接受抽象的數(shù)學內(nèi)容和方法的目的。

這里10盤梨的呈現(xiàn)，沖擊了學生的感官，讓學生首先直觀地感受到每一盤的梨都是同樣多的；其次，盤子的數(shù)量非常多；然后，在寫加法算式的時候，教師通過“慢一點我都來不及寫了”和“佯裝漏寫了一個3”這樣的事實經(jīng)驗，讓學生再次直觀感受到這樣的算式有加數(shù)相同和加數(shù)多的特點，讓學生親身體會到乘法產(chǎn)生的必要性，迫使學生自己去“發(fā)現(xiàn)”“說一個一個地相加，不如說幾個幾相加”，讓學生自己創(chuàng)造出一種新的運算“幾個幾相加用乘法”，很自然地引入新的乘法運算與符號表示。

直觀素材的呈現(xiàn)與現(xiàn)實活動的卷入，使得學生對于乘法本質(zhì)的揭示不再是教師的“告之”，而是學生自己產(chǎn)生的主觀需求，學生對“乘法”的理解達到了“概念性水平”，是對概念本質(zhì)的把握，是在沖突、心里不舒服的狀態(tài)下，迫切需要產(chǎn)生一種新的運算方法的情況。而學生“相同加數(shù)加得特別多的時候就可以把加號斜過來寫成幾乘幾”的說法雖然語言不夠規(guī)范，但是意義卻非常深刻，可以說是有效地溝通了新知識和已有舊識知之間的本質(zhì)聯(lián)系。

【片斷二：直觀素材推動思維發(fā)展】

師：回顧剛剛解決的求總和問題，你還有什么想法嗎？

生1：我發(fā)現(xiàn)這里有好幾道算式都可以變成乘法算式！

師：是嗎？比如呢？

生2：我發(fā)現(xiàn)蘋果的問題是4+4+4，一共有3盤，每一盤都是4個蘋果，也就是3個4相加，可以寫成乘法算式3×4=12。

生3：我有補充，蘋果的算式也可以寫成4×3。

生4：橘子也可以用乘法，因為每個盤子里的個數(shù)都是一樣的，都是2個，相同的加數(shù)相加就可以了，一共有5盤，就是5個2相加，可以寫成5×2或者2×5，都等于10個橘子。

師：桃子的這一題可以嗎？

生5：桃子不行，因為第一盤桃子是1個，第二盤是5個，第三排是3個，每一盤的數(shù)量都不一樣，不一樣就不能用乘法了。

生6：我也覺得不行，因為只有相同的加數(shù)才可以。

生7：我覺得也可以，可以用3×3。

生8：對，對，只要把第二盤移兩個到第一盤去就可以了。

師：同學們聽懂了嗎？想一想，咱們干嗎要移呢？

生9：從第二盤移兩個到第一盤，這樣第一盤也是3個，第二盤也是3個，第三盤也是3個，每一盤的數(shù)量就都一樣了。

師：非常有意思的發(fā)現(xiàn)！看來想要寫成乘法，必須要怎么樣？

生：每一盤都是一樣的。

師：真棒！加數(shù)如果相同我們就可以用乘法來寫，有幾個幾相加，我們就寫成幾乘幾。

師：草莓行嗎？

生10：不行。因為雖然草莓前面4盤都是一樣的，但是第五盤只有1個，加數(shù)不都是一樣的，所以不行。

師：很有道理！

生11：這個可以把部分寫成乘法，先算前面相同的4盤，用4×5，然后再把后面的1個草莓加上去就可以了。

師：你真有想法！這說明只要怎么樣就能用乘法呢？

生：加數(shù)相同的情況下就可以了。

【我的思考】

直觀素材是推動學生思維發(fā)展和深刻性的有利工具。小學生由于生活經(jīng)驗和認知水平的局限更易于接受直觀的實物和實物圖，直觀素材有利于學生進行觀察、比較、分析和想象，并在此基礎上展開更豐富多彩的直觀推理，進而洞察數(shù)學對象的結(jié)構(gòu)和關系，獲得數(shù)學結(jié)論。

這里學生通過想象和推理把“1+5+3”轉(zhuǎn)變成“3×3”更可以說是直觀素材引入的勝利！在新授課上，學生能夠通過對直觀材料的觀察，在自主探索和合作交流中發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造數(shù)學知識，用移一移的方法把不相同的加數(shù)轉(zhuǎn)變成相同加數(shù)，并成功地轉(zhuǎn)變?yōu)槌朔ǎ@得了對乘法知識內(nèi)涵更深刻的理解。同樣把“5+5+5+5+2”轉(zhuǎn)變?yōu)椤俺思铀闶健币脖磉_了學生對乘法和加法聯(lián)系與區(qū)別的把握。

對于學生來說，很多時候解題的靈感來源于對直觀素材的觀察，直觀素材的提供使得學生展開想象和創(chuàng)造性的探求活動成為可能。可以說，直觀素材啟迪了學生的思維，不但豐富了學生對乘法的核心是“相同加數(shù)相加的運算”的理解，也促進了學生思維的發(fā)展。

【片斷三：直觀素材助力數(shù)學表達】

師：同學們都對乘法都有了一定認識，我們來放松一下，用耳朵聽一聽。 （敲打節(jié)拍器：啪啪啪 啪啪啪）我剛剛拍了幾下？你是怎么聽出來的？

生1：拍了2次，每次拍了3下，2個3相加可以寫成“2×3”。

師：聲音里還藏著乘法，其他運動項目中也有——瞧，王老師是拍球高手，看看我拍了幾下足球。（師拍球：每次拍4下，拍兩組）

生2：每次拍4下，拍了2次，也就是2個4相加，可以用乘法2×4或者4×2。

師：這幅圖你看出了什么？（如圖2）可以橫著看，可以豎著看，表示的幾個幾不同，但我們可以用相同的乘法算式3×5來表示。你能用自己的方法來表示3×5嗎？大家可以畫圖，也可以想其他的表示方法。先自己獨立思考、準備，然后小組內(nèi)交流。

學生作品：

生3：我是拍手的。啪啪啪 啪啪啪 啪啪啪 啪啪啪 啪啪啪

生4：我也是拍手的，不過和他拍得不一樣，啪啪啪啪啪 啪啪啪啪啪 啪啪啪啪啪

師：兩位同學拍得都對嗎？

生5：都是對的，第一個同學拍了5個3相加，第二個同學拍了3個5相加，都可以用3×5來表示。

生6：我還可以跳繩。每次跳3個，跳5次，或者每次跳5個，跳3次都可以。

……

【我的思考】

直觀素材幫助學生表達了自己的數(shù)學思想。數(shù)學抽象地反映了客觀世界，客觀世界的數(shù)量關系對應著數(shù)學的代數(shù)結(jié)構(gòu)。在數(shù)學學習的過程中，學生由于受到知識經(jīng)驗和思維水平的限制，經(jīng)常會遇到一些很難用語言解釋清楚的概念或者性質(zhì)，這時候直觀圖形或者直觀模型就能夠給學生提供形象的自主思考和表達的機會，幫助學生把頭腦里的“數(shù)學事實”外顯化。

這里為了讓學生在初步理解了乘法含義的基礎上，通過交流和碰撞把自己對乘法意義的理解表達出來，教師創(chuàng)設了“我來表示3×5”這個環(huán)節(jié)，引導學生借助具體形象的圖形、聲音、動作直觀建立了多種多樣的乘法意義模型，并且通過自己的創(chuàng)造體現(xiàn)出了“3×5”既可以表示為“3個5相加”，也可以表示為“5個3相加”，極大地豐富了乘法的內(nèi)涵，激發(fā)了學生極大的創(chuàng)造性，讓學生積極主動地建構(gòu)了乘法的意義，從不同角度深刻體會了乘法的意義，初步獲得了利用直觀描述數(shù)學知識的經(jīng)驗。

總體說來，直觀感受和直觀表達是“直觀”學習的兩個重要方面。在小學的概念學習中化抽象為直觀有利于促進學生對數(shù)學知識的理解和記憶，積累概念建構(gòu)的經(jīng)驗，同時也為問題解決過程中表象的遷移提供了潛在的可能性，加深了學生對數(shù)學知識的理解。同時，數(shù)學的高度抽象性使得這個年齡段的學生很難用自己的語言表達出內(nèi)心深處對于數(shù)學知識的理解，不利于相互之間的交流和碰撞。教師在教學的過程中可以充分利用數(shù)學學習材料數(shù)與行統(tǒng)一的特點，引導學生將數(shù)學知識的言語表征轉(zhuǎn)化為形象表征，將對于抽象知識的理解外顯為具體形象的圖像或者模型，從而有助于培養(yǎng)學生的數(shù)學表達能力。

理解與表達，是兒童數(shù)學學習的兩翼，直觀的加盟，可以讓這兩翼更加豐滿，更加有力，幫助學生在數(shù)學學習的天地里自由翱翔！

（責編 金 鈴）