兩點測角前方交會的精度探討

王姜華

摘 要：文章通過建立假定坐標系來推導兩點測角前方交會的坐標計算和點位精度分析公式。同時，探討了影響點位精度的相關因素，得出了使得交會點達到最佳精度的條件。能為相關測量工作提供借鑒。

關鍵詞：角度；前方交會；精度

引言

前方交會是測量工作中常用的一種測量方法，它在控制點加密、工程測量、變形監測等測量工作中有著廣泛的應用[1]。而隨著測量技術的發展，全站儀的測量精度越來越高，已基本取代了傳統的經緯儀測量。同時測量機器人的出現使測量工作變的更為方便和簡潔，也相應的減少了人為觀測誤差。這些高精度測量儀器應用于前方交會中也相應的提高了交會點的精度。比如運用高精度全站儀結合前方交會進行控制點的加密和工程測量相關工作，使用測量機器人結合前方交會來進行變形監測。筆者結合實踐經驗，推導了兩點測角前方交會的坐標計算及點位精度分析公式。探討了影響交會點點位精度的相關因素。

1 圖形與公式推導

1.1 定義與圖形

如圖1，A、B為坐標已知的控制點，P為待定點。在A、B點上安置經緯儀或全站儀，觀測水平角α、β，根據A、B兩點的已知坐標和α、β角，通過計算可得出P點的坐標，這就是測角前方交會。

圖1 兩點測角前方交會圖形 圖2建立假定坐標系

1.2 坐標計算公式及推導

為推導出一種較為簡單的計算兩點前方交會坐標的公式，現建立以AB為坐標系橫軸（Y軸）的X'AY'假定坐標系，與原坐標系的夾角為？琢'，如圖2所示。設A、B、C三點在原定坐標系為X0Y中的坐標分別為（XA，YA）、（XB，YB）、（XP，YP）。在假定坐標系中則為A（0，0）、B（X'B，Y'B）、P（X'P，Y'P）。則根據圖形幾何關系可得：

（1）

由（1）中的兩式則可得出在假定坐標系下待定點P的平面坐標值。然而，我們最終是要得到在原坐標系中的坐標真值。這之間實際就是一個坐標轉換的問題，相應的就可以求得待定點P點的真實坐標值。

2 交會點的精度探討

由前文（1）中兩式可知待定點P在假定坐標系中的平面坐標，而交會點的點位中誤差的大小和方向是不因坐標旋轉而改變的。因此，文章在探討兩點測角前方交會的點位精度時，仍選擇在假定坐標系中討論。把起始點的平面坐標看成是無誤差的，對（1）中兩式進行微分得：

（2）

（3）

對以上兩式進行化簡得：

（4）

設P點的點位中誤差為？滓P，在X'、Y'坐標軸方向的中誤差為？滓■、？滓■則 由（4）兩式根據誤差傳播定律[2]可得：

（5）

（6）

又由圖2的幾何條件可得：

（7）

將以上兩式分別代入到（5）（6）兩式，再由（7）式計算可得：

（8）

又因為m=m？琢=m？茁為測角中誤差則：

（9）

由（9）可知，兩點測角前方交會的交會點點位精度除了測角中誤差m對？滓P有影響外，還有圖元要素a、b、？酌也有影響。但為探討交會角度對點位精度的影響，根據正弦定理對（9）式可得：

（10）

在（10）式中，測角精度m和SAB在一次交會測量中是一定的。因此，影響點位精度的部分為：

（11）

可以求出當R取最小值時，待定點的點位精度最高。因此，以R為目標函數來探討α、β取何值時，函數R有最小值。可運用求自由極值的數學方法。即分別求R對α、β求偏導得：

（12）

（13）

令■=0，■=0，有：α=β

（14）

（15）

由上式可求得α=β=35°15′52″。則交會角γ=109°28′16″，R取最小值為0.844。此時，交會點的精度最高。

3 結束語

通過建立假定坐標系，推導出了測角前方交會的坐標計算和精度探討公式。理論分析了交會點的精度影響因素，探討了α、β大小不同對待定點點位精度的影響，能為測角前方交會的測量工作提供一些借鑒。通過文章的探討可得出如下結論：

（1）在兩點測角前方交會中，除了測角中誤差m對待定點點位精度有影響外，還有圖元要素a、b、γ也對之有影響。當交會角γ=109°28′16″且α=β時，交會待定點的點位能達到理論上的最佳精度。

（2）在實際測量工作中，應保證交會角γ處于90°附近，當γ<90°時α與β相差越大，R就越小從而待定點的點位精度就越高。當γ>90°時α與β相差越小，R就越小，精度也就越高。

參考文獻

[1]武漢測繪科技大學《測量學》編寫組.測量學（第三版）[M].武漢；測繪出版社，2000.

[2]武漢大學測繪學院測量平差學科組.誤差理論與測量平差基礎[M].武漢：武漢大學出版社，2006.

[3]郭振平.兩點前方交會的精度分析[J].輕金屬礦山，2005.