從“解決問題的策略”中談模型思想的教學

時珊珊

【關鍵詞】解決問題 數學模型

數學問題

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2015）02A-

0045-02

關于數學模型，有著不同的描述，但不管怎樣的表述，數學模型的核心是一種數學結構，是用數學語言概括或近似地描述現實世界事物的特征、數量關系和空間形式的一種數學結構。2011年版的數學課程標準首次將模型思想作為核心概念予以呈現，而且是作為10個核心概念中唯一一個以“思想”指稱的概念，它的出現一方面是對“四基”之一的“數學基本思想”作出的回應，一方面也顯示著數學走向深刻的重要。然而盡管從出現之日起，已有三年有余，但許多一線教師對于它的基本內涵、教育價值、實踐路徑等方面還是茫然若失。為此，本文就以“解決問題的策略”為例談“模型思想”的教學。

一、從生活問題引出數學問題，讓學生初步感受模型的雛形

數學模型是一種抽象的數學結構，這種屬性決定了還處于心智發展階段的小學生難以從抽象的角度去理解模型（數學結構）的意義，也難以從數學的角度去提煉、建立數學模型，進而運用它解決數學問題。在這樣的狀況下，就迫切需要我們的數學教學必須從學生的“認知圖式”出發，讓學生在生活積累的基礎上，從形象到抽象，從具體與模型，初步感悟數學模型的意義與步驟。

例如“解決問題的策略”中的“倒推模型”的感悟。倒推是一種逆向思維，也是一種重要的數學方法。在對“倒推”這一模型的分析中，我們可以看出：它有三個核心要素：原來狀態、變化過程與結果。盡管這三個要素的表述簡潔明了，但小學生很難內化到自己的數學思維邏輯中。為此，筆者在教學時，首先創設“放學回家”這一學生熟知的問題情境，讓學生在生活情境中“理順”返回的思路，幫助學生初步感受“逆向思維”與“順向思維”的不同。接著將其遷移到例題的教學中，引導學生通過文本提供的信息，抓住關鍵要素——“變與不變的量”，先根據“變化的結果”推算出甲乙兩杯現有的果汁量，再由“變化的過程”還原“原來甲乙兩杯果汁量”，最后得出“原來的狀態”——各有多少果汁量。這樣學生在運用數字與符號的還原過程中，建立了數學符號與提示信息之間的聯系，初步感受“原來狀態、變化過程和結果”的結構模型（如下圖）。

二、從數學問題進入數學模型，讓學生逐漸掌握模型的建構

建模是模型思想中的關鍵步驟，是聯系實際問題與數學方法的橋梁。當學生初步感受模型的雛形后，就要引導學生逐步掌握模型建構的步驟，幫助學生根據所提供的信息，用數學的語言、符號、思想和方法逐步建立數學模型。

例如“解決問題的策略”中“列舉模型”的建構。例題：王大叔用18根1米長的柵欄圍成一個長方形羊圈，有多少種不同的圍法？筆者的教學步驟是這樣的：

（1）首先要幫助學生分析題目要求——“有多少種不同的圍法？”解決此題就意味著要羅列出所有的可能出現的結果，這就迫切需求一種策略——一一列舉;（2）引導學生如何進行“列舉”，長方形不外乎長、寬兩個要素，長與寬的不同，就有不同的圍法，那么在周長是18米的前提下，“長與寬”可能有幾種情況呢？先引導學生進行單個列舉：“假如寬是1米，那么長是8米;假如寬是2米，那么長是7米……”然后進行“逐一列舉”，直到把所有符合條件的都列舉出來（如下表）。（3）篩查

列舉。引導學生剔除重復的列舉，當列舉到“寬是5米”的時候，要引導學生進行辨析，“長4米、寬5米”的長方形與“長5米、寬4米”的長方形形狀一樣，顯然這樣的長方形是重復的，最后得出四種圍法（如下表）。

通過三步將“一一列舉”呈現在學生面前，使學生漸漸掌握運用數學語言和符號分析問題、解決問題的數學模型。

三、從數學模型走進生活世界，讓學生全面領會模型的運用

弗賴登塔爾曾說過：“數學來源于現實，也必須扎根于現實，并且應用于現實。”是呀，數學是從生活中來，又到生活中去，這既是數學的源頭，又是數學的使命。我們教師只有幫助學生將數學模型運用到實踐生活中，才能真正地促進數學的發展，才能真正地發展他們的數學能力。

例如“解決問題的策略”中“轉化模型”的生活運用。轉化是解決問題的一種策略，就是將復雜的問題變成較簡單的問題的一種手段，即通過“統一單位數據”的增加、減少、置換等手段來實現“化繁為簡”，進而解決問題。通過教材內容的學習，學生基本理解這一模型的操作運用思路，但只有將這一模型運用到現實生活中，才能真正幫助學生全面地領會這一模型的價值。首先運用“轉化模型”來解決常見問題，如“解決一張紙的厚度、一枚硬幣的體積、一個燈泡的容積;其次要運用這一模型來解決現實問題，如：有16支足球隊參加比賽，比賽采用單場淘汰制，一共要進行多少場比賽才能產生冠軍？這樣通過實踐運用，一方面可以加深學生對轉化模型的認識，一方面還可以幫助學生體驗到數學與生活的相互關系。

總之，數學模型的建構與運用在“解決問題的策略”中只是一個開始，我們只有在“數與代數、圖形與幾何、統計與概率”等領域全面進行滲透，才能讓數學模型真正成為學生的內在能力，從而服務于生活。

（責編 黃珍平）