廣義Rosenau-Kawahra方程的一個線性守恒差分格式

陳 濤, 胡勁松(西華大學 理學院, 四川 成都 610039 )

?

廣義Rosenau-Kawahra方程的一個線性守恒差分格式

陳 濤, 胡勁松*
(西華大學 理學院, 四川 成都 610039 )

對一類廣義Rosenau-Kawahara方程的初邊值問題進行數值研究，提出一個三層線性差分格式，格式合理地模擬問題的一個守恒性質，得到了差分解的先驗估計，利用離散泛函分析方法分析差分格式的二階收斂性與無條件穩定性，并利用數值算例進行驗證.

廣義Rosenau-Kawahara方程; 有限差分格式; 守恒; 收斂性; 穩定性

為描述緊離散系統和模擬無線電及計算機領域中通過一個L-C流程的長鏈傳輸線模型，Rosenau方程[1-2]

ut+uxxxxt+ux+uux=0,

(1)

一經提出，就引起了眾多學者的關注[3-7].但作為對非線性波的進一步考慮，需要對Rosenau方程(1)添加粘性項+uxxx和-uxxxxx，得到了Rosenau-Kawahara方程

ut+uxxxxt+ux+uxxx-uxxxxx+uux=0,

(2)

文獻[8]討論了方程(2)的孤波解和周期解，文獻[9-10]又進一步給出了一類廣義Rosenau-Kawahara方程的孤波解和2個守恒量.目前為止，僅有文獻[11]對Rosenau-Kawahara方程(2)的定解問題進行過數值方法研究.

本文考慮如下一類廣義Rosenau-Kawahara方程初邊值問題：

ut+uxxxxt+ux+uxxx-uxxxxx+(up)x=0,

x∈(xL,xR),t∈(0,T],

(3)

u(x,0)=u0(x),x∈[xL,xR],

(4)

u(xL,t)=u(xR,t)=0,

u(xL,t)x=u(xR,t)x=0,

u(xL,t)xx=u(xR,t)xx=0,t∈(0,T],

(5)

其中,p≥2為整數，u0(x)是一個已知的光滑函數.問題(3)～(5)具有如下守恒律[10-11]

(6)

本文對問題(3)～(5)提出了一個3層線性差分格式，格式合理地模擬了問題的守恒量(6)，且該格式是線性的，數值計算時不需要迭代，計算時間比較節約[12].

1 差分格式及其守恒律

xj=xL+jh, 0≤j≤J,

在本文中記

|u-2=u-1=

u-0=uJ=uJ+1=uJ+2=0,

n=-2,-1,0,…,J,J+1,J+2},

用C表示一般正常數(即在不同地方可以有不同的取值)，并定義如下記號：

‖Un‖2=Un,Un,

(7)

(8)

n=0,1,2,…,N,

(9)

差分格式(7)～(9)對守恒律(6)的數值模擬如下.

‖Un+1‖2+‖Un‖2+

(10)

(11)

其中

由邊界條件(9)和分部求和公式[12-15]得

=0,=0,

(12)

(13)

將(12)、(13)式帶入(11)式后，遞推即可得(10)式.

2 差分格式收斂性和穩定性

差分格式(7)～(9)的截斷誤差為

(14)

由Taylor展開，可知當h,τ→0時，

).

‖u‖L2≤C, ‖ux‖L2≤C,

‖uxx‖L2≤C, ‖u‖L∞≤C,

‖ux‖L∞≤C.

證明 由(6)式有

‖u‖L2≤C, ‖uxx‖L2≤C,

再利用Cauchy-Schwarz不等式有

‖ux‖L2·‖uxx‖L2≤

最后由Sobolev不等式得

‖u‖L∞≤C, ‖ux‖L∞≤C.

‖U‖≤C, ‖Ux‖≤C,

‖Uxx‖≤C, ‖U‖∞≤C,

‖Ux‖∞≤C.

證明 由定理1有

‖U‖≤C, ‖Uxx‖≤C,

再由分部求和公式[12-15]及Cauchuy-Schwarz不等式有

再由離散Sobolev不等式[16]得：

‖U‖∞≤C, ‖Ux‖∞≤C.

注 1 定理2表明，差分格式(7)～(9)的解Un以‖·‖∞無條件穩定.

(15)

(16)

類似于(12)式有

=0,=0,

(17)

再由引理1，定理2以及Cauchy-Schwarz不等式有

=

(‖en-1‖2+‖en‖2+‖en+1‖2+

(18)

(19)

(20)

則將(17)～(20)式代入(16)式整理有

‖en‖2+‖en-1‖2).

(21)

令

對(21)式兩邊乘以2τ,然后從1到N求和得

‖

先用兩層的二階方法(如C-N格式)先計算出U1，使之滿足：B0=O(τ2+h2)2,又

‖rn‖2≤

則由離散的Gronwall不等式[16]可得

BN≤O(τ2+h2)2,

即

‖eN‖≤O(τ2+h2),

再由(19)式，可以推得

最有由離散Sovolev不等式[16]有

‖eN‖∞≤O(τ2+h2).

3 數值實驗

對初邊值問題(3)～(5)考慮p=3和p=5兩種情形進行數值實驗.當p=3時，方程(3)的孤波解[9-10]為

當p=5時，方程(3)的孤波解[9-10]為

在計算中，取初值函數u0(x)=u(x,0)，固定

xL=-80,xR=120,T=40.

就τ和h的不同取值對數值解和孤波解在幾個不同時刻的誤差見表1；格式對守恒量(6)的數值模擬見表2.

表 1 數值解和孤波解在不同時刻的誤差

表 2 格式對守恒量En的數值模擬

從表1和表2可以看出，差分格式(7)～(9)明顯具有二階精度，且合理地模擬了守恒量(6)，所以該格式是可靠的.

致謝 西華大學研究生創新基金(YCJJ2014033)對本文給予了資助,謹致謝意.

[1] Rosenau P. A quasi-continuous description of a nonlinear transmission line[J]. Physica Scripta,1986,34:827-829.

[2] Rosenau P. Dynamics of dense discrete systems[J]. Progress of Theoretical Physics,1988,79: 1028-1042.

[3] Park M A. On the Rosenau equation[J]. Applied Mathematics and Computation,1990,9(2):145-152.

[4] Omrani K, Abidi F, Achouri T, et al. A new conservative finite difference scheme for the Rosenau equation[J]. Appl Math Comput,2008,201(1/2):35-43.

[5] Chung S K. Finite difference approximate solutions for the Rosenau equation[J]. Appl Anal,1998,69(1/2):149-156.

[6] Chung S K, Pani A K. Numerical methods for the Rosenau equation[J]. Appl Anal,2001,77(3/4):351-369.

[7] Kim Y D, Lee H Y. The convergence of finite element Galeerkin solution for the Rosenau equation[J]. Korean J Comput Appl Math,1998,5(1):171-180.

[8] Zuo J M. Solitons and periodic solutions for the Rosenau-KdV and Rosenau-Kawahara equations[J]. Appl Math Comput,2009,215(2):835-840.

[9] Biswas A, Triki H, Labidi M. Bright and dark solitons of the Rosenau-Kawahara equation with power law nonlinearity[J]. Physics of Wave Phenomena,2011,19(1):24-29.

[10] 胡勁松,王玉蘭,王正華. 廣義Rosenau-Kawahar方程的孤波解及其守恒律[J]. 西華大學學報:自然科學版,2013,32(3):26-28.

[11] Hu J, Xu Y C, Hu B, et al. Two conservative difference schemes for Rosenau-Kawahara equation[J]. Adv Math Phys,2014,10(1):396-409.

[12] 劉倩,胡勁松,林雪梅. 帶有阻尼項的廣義SRLW方程的一個線性差分格式[J]. 四川師范大學學報:自然科學版，2014,38(2):199-202.

[13] 李思霖. 廣義Rosenau-Burgers方程的有限差分近似解[J]. 四川師范大學學報:自然科學版，2013,37(4):595-598.

[14] 林雪梅,胡勁松,劉倩. 耗散SRLW方程的一個新的守恒差分逼近[J]. 四川師范大學學報:自然科學版，2014,37(1):49-53.

[15] 胡勁松,王玉蘭,鄭茂波. Rosenau-Burgers方程的一個新的差分格式[J]. 四川師范大學學報:自然科學版，2010,33(4):455-457.

[16] Zhou Y L. Application of Discrete Functional Analysis to the Finite Difference Methods[M]. Beijing:International Academic Publishers,1990.

2010 MSC：65N12; 65M12; 65N06

(編輯 陶志寧)

A Conservative Linear Difference Schemes of Generalized Rosenau-Kawahara Equation

CHEN Tao, HU Jinsong
(SchoolofScience,XihuaUniversity,Chengdu610039,Sichuan)

A linear three-level conservative difference scheme for the numerical solution of the initial-boundary value problem of generalized Rosenau-Kawahara equation is proposed. The difference scheme simulates two conservative quantities of the problem well.The prior estimation of the finite difference solution is obtained. It is proved that the finite difference scheme is convergent with second-order and unconditionally stable by discrete functional analysis method. Numerical experiments verify the theoretical results.

generalized Rosenau-Kawahara equation; finite difference scheme; conservation; convergence; stability

2014-06-29

四川省基礎應用研究項目基金(2013JY0096)

O241.82

A

1001-8395(2015)06-0884-05

10.3969/j.issn.1001-8395.2015.06.018

*通信作者簡介：胡勁松(1973—),男,教授,主要研究方向為微分方程數值解,E-mail:hjs888hjs@163.com