一類奇異次線性橢圓方程基態解的存在性

廖家鋒， 張 鵬(. 遵義師范學院 數學與計算科學學院, 貴州 遵義 563002; 2. 西南大學 數學與統計學院, 重慶 北碚 40075)

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一類奇異次線性橢圓方程基態解的存在性

廖家鋒1,2， 張 鵬1
(1. 遵義師范學院 數學與計算科學學院, 貴州 遵義 563002; 2. 西南大學 數學與統計學院, 重慶 北碚 400715)

奇異橢圓問題起源于非牛頓流體力學、粘性流體的邊層現象以及電材料的熱傳導理論.利用變分方法,研究一類次線性奇異橢圓問題.在一些較弱的條件下,獲得該問題正基態解的存在性,從而補充了奇異橢圓問題正解的存在性結果.

奇異次線性橢圓方程; 基態解; 變分法

本文考慮如下奇異次線性橢圓問題

(1)

其中,Ω?RN(N≥3)是具有光滑邊界?Ω的有界區域,0

自1977年M. G. Crandall[1]利用上下解方法獲得了一類奇異橢圓問題解的存在性,隨后奇異橢圓問題逐漸引起人們的關注[2-11].由于奇異項產生的困難,很多常用的臨界點理論不能直接應用使得該問題的研究發展相對緩慢.一方面,人們借助上下解方法獲得奇異次線性橢圓問題經典解的存在性[1-3,12-14].另一方面,人們利用變分方法,截斷技術結合臨界點理論獲得奇異超線性橢圓問題的弱解的存在性及多重性,如文獻[4-7,10].受前人的啟發,在前期的工作[12-16]基礎上研究了問題(1)基態解的存在性.據查閱文獻所知,該結果還沒有被人們研究過,從而研究具有一定的理論意義.

‖u‖2-

(2)

在給出本文的主要結果之前，先給出如下一個重要引理.

證明 由于0

是強制且下方有界的.因此,

首先利用Vitali定理[15]可得

|un|1-γdx=

(3)

事實上,只需要證明

|un|1-γdx,n∈N}

是等度絕對連續的.由{un}的有界性,依據Sobolev嵌入定理可得存在一個C>0使得|un|2*≤C<∞.再由H?lder不等式可知

(4)

(5)

|un|1-γdx≤

其中最后一個不等式依據

|

的絕對連續性.因此(3)式成立.類似依據Vitali定理及(5)式可得

(6)

|▽un|2dx=

(7)

因此,依據(3)、(6)和(7)式可得

定理 1 假設0

且g≥0,g?0,則問題(1)至少有一個基態解.

證明 依據引理1,只需證明u*是問題(1)的基態解.由于I(u*)=m<0,顯然可得在Ω中u*(x)?0.下面分3步證明u*是問題(1)的基態解.

(8)

由中值定理可得

其中當t→0+時,θ→0+,η→0+,且

(9)

而由Lebesgue控制收斂定理可得

(10)

▽u*,▽φ)dx-

(11)

特別地,在(11)式中取φ=e1有

這就意味著u*>0在Ω中幾乎處處成立.

φ′(0)=‖u*‖2-

(12)

(u*+φ)+=max{u*+φ,0}.

顯然,Ψ≥0.在(11)式中用Ψ替代φ,結合(12)式可得

▽u*,▽Ψ)dx-

其中，Ω1={u*+φ>0},Ω2={u*+φ≤0}.因為當→0+時meas(Ω2)→0,則上式兩邊同時除以并讓→0+,有

因此,不等式對-φ也成立,從而可得u*滿足(2)式,即u*是問題(1)的解.

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2010 MSC：35H20

(編輯 陶志寧)

Existence of Ground State Solutions for a Class of Singular Sublinear Elliptic Equation

LIAO Jiafeng1,2ZHANG Peng1
(1.SchoolofMathematicsandComputationalScience,ZunyiNormalCollege,Zunyi563002,Guizhou;2.SchoolofMathematicsandStatistics,SouthwestUniversity,Chongqingi400715)

Singular elliptic problems are originated from the study of non-Newtonian mechanics, the theories of boundary layer phenomena for viscous fluids, and heat conduction in electrically materials. In the present paper, a class of singular sublinear elliptic problem is considered, and a ground state solution is obtained for this problem by the varaitional method. This result supplements the theory of the existence of positive solutions for the singular elliptic problems.

singular sublinear elliptic equations; ground stae solution; varaitional method

2014-09-06

貴州省教育廳自然科學基金(黔教科2010086)和貴州省科學技術科學基金(LKZS[2014]22、LKZS[2014]30和LH[2015]7001)

廖家鋒(1983—),男,副教授,主要從事非線性分析研究,E-mail:liaojiafeng@163.com

O175.25

A

1001-8395(2015)06-0867-04

10.3969/j.issn.1001-8395.2015.06.015