含非線性擾動的變時滯隨機微分系統的均方漸近穩定性

柴雙龍, 李樹勇(1. 四川師范大學 數學與軟件科學學院, 四川 成都 610066; 2. 綿陽師范學院 數學與計算機科學學院, 四川 綿陽 621006)

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含非線性擾動的變時滯隨機微分系統的均方漸近穩定性

柴雙龍1,2, 李樹勇1*
(1. 四川師范大學 數學與軟件科學學院, 四川 成都 610066; 2. 綿陽師范學院 數學與計算機科學學院, 四川 綿陽 621006)

研究一類含有非線性擾動的變時滯隨機系統的均方漸近穩定性問題.通過構造Lyapnov-Krasovskii泛函,運用It公式,借助Lyapunov穩定性理論思想,利用Riccati矩陣方程相關知識,建立該系統的均方漸近穩定的充分條件.最后給出數值實例,驗證所得結果的有效性.

非線性擾動; 變時滯; 隨機微分系統; Riccati矩陣方程; 均方漸近穩定

1 預備知識

近幾十年來,時滯隨機微分系統的穩定性研究一直是人們關注的重點,并取得了豐碩的研究成果[1-13],建立了時滯隨機微分系統穩定性的技巧,如Riccati矩陣方程[3]、Moon不等式技巧[4]、比較原理[5]、Lasalle不變原理[6]、線性矩陣不等式(LMI)[7-9]、自由權矩陣[10-11]、非負半鞅收斂定理[12]、不等式分析技巧[13].Riccati矩陣方程是研究時滯隨機系統的一個有力工具.利用Riccati矩陣方程性質研究穩定性能夠巧妙的構造出Lyapnov泛函,以克服構造Lyapnov泛函不易的困難.文獻[3]展示了利用Riccati方程研究時滯隨機微分系統均方漸近穩定性的優點.本文利用Riccati矩陣方程的性質研究一類含有非線性擾動的變時滯隨機系統的均方漸近穩定性,通過構造Lyapnov-Krasovskii泛函,運用It公式,引入適當的自由權矩陣,借助Lyapunov穩定性定理獲得系統的均方漸近穩定的充分條件,通過例子顯示本文方法的有效性.

2 系統描述

考慮具有非線性擾動的時變時滯隨機微分系統

(1)

其中,x(t)∈Rn是狀態向量;A,B∈Rn×n,C,D∈Rm×n是不確定的常數矩陣,時變向量函數f:[0,+∞)×Rn×Rn→Rn,w(t)是定義在具有自然濾波{Ft}t≥0且完備的概率空間(Ω,F,P)上的1維標準Brownian運動;初始條件φ(t)是定義在[-τ,0]上的連續向量值函數.τ(t)表示時變時滯,并滿足如下條件:

變時滯τ(t)可微并滿足

(2)

其中,τ是正常數,μ是常數.

假設矩陣B滿足條件

(3)

時變向量函數f(t,x(t),x(t-τ(t)))是具有系統當前狀態和時滯狀態的非線性擾動,滿足下面的不等式條件

(4)

其中αi≥0(i=0,1).

3 基本準備

考慮時滯隨機系統

dx(t)=h(t,xt)dt+g(t,xt)dw(t),t>0,

(5)

其中,x(t)∈Rn,w(t)是(Ω,F,P)上m維的布朗運動,h:R+×C|→Rn,g:R+×C|→Rn×m.(5)式的初始函數為x(s)=φ(s)∈Rn是隨機變量,s∈[-τ,0],這里τ為正常數.取泛函V∈C1,2(R+×C;R+),通過定義(5)式生成的微分算子LV為

其中Tr表示矩陣的跡.

本文的目的是研究(1)式在滿足條件(2)～(4)式的均方漸近穩定性.為此,需要引用下列引理.

引理3.1[3]若存在一個泛函V(t,xt):[0,∞)×C→R+滿足如下條件

ELV(t,xt)≤ExT(t)D(t)x(t)+

矩陣

其中K是以ki,(i=1,…,n)為對角元素的對角型矩陣,若G(t)是一致負定矩陣.即:xTG(t)x≤-c|x|2,c>0,x∈Rn,則(1)式的零解是均方漸近穩定的.

引理3.2[13]對具有適當維數的任意向量a、b及任意對稱正定矩陣X>0有

aTb+bTa≤aTXa+bTX-1b.

4 主要結果

定理4.1 在假設(2)和(4)式成立的條件下,如果存在適當維數實對稱矩陣P>0,以及任意n×n維的正定矩陣R1、R2、R3、Q,使得Riccati矩陣方程

(6)

成立,且

(7)

(8)

則具有非線性擾動(4)式,滿足時滯約束條件(2)式的變時滯隨機系統(1)式是均方漸近穩定的.

證明 構造如下Lyapunov-Krasovskii泛函

V(t,xt)=xT(t)Px(t),

(9)

其中P∈Rn×n是對稱正定矩陣.

LV(t,xt)=[Ax(t)+Bx(t-τ(t))+

f(t,x(t),x(t-τ(t)))]TPx(t)+xTP[Ax(t)+

Bx(t-τ(t))+f(t,x(t),x(t-τ(t)))]+[Cx(t)+Dx(t-τ(t))]TP[Cx(t)+Dx(t-τ(t))]=

xT(t)[ATP+PA+CTPC]x(t)+

xT(t-τ(t))DTPDx(t-τ(t))+

xT(t-τ(t))BTPx(t)+xT(t)PBx(t-τ(t))+

xT(t-τ(t))DTPCx(t)+

xT(t)CTPDx(t-τ(t))+fT(t,x(t),x(t-

τ(t)))Px(t)+xTPf(t,x(t),x(t-τ(t))).

(10)

由引理3.2,若取a=x(t-τ(t)),b=BTPx(t),知對任意的對稱正定矩陣R1使得下面不等式成立

xT(t-τ(t))BTPx(t)+xT(t)PBx(t-τ(t))≤

xT(t-τ(t))R1x(t-τ(t))+

(11)

若取a=x(t-τ(t)),b=DTPCx(t),則對任意的對稱正定矩陣R2有下面不等式成立

xT(t-τ(t))DTPCx(t)+xT(t)CTPDx(t-τ(t))≤

xT(t-τ(t))R2x(t-τ(t))+

(12)

若取a=f(t,x(t),x(t-τ(t))),b=Px(t),可得對任意的對稱正定矩陣R3有

fT(t,x(t),x(t-τ(t)))Px(t)+

xTPf(t,x(t),x(t-τ(t)))≤

fT(t,x(t),x(t-τ(t)))R3f(t,x(t),

(13)

由非線性擾動條件(4)式有

(14)

綜合(11)～(14)式可得

ELV(t,xt)≤E{xT(t)[ATP+PA+CTPC+

R1+R2+α12R3]x(t-τ(t))}.

由(6)～(8)式有

(15)

成立,則由引理3.1知,(1)式的零解是均方漸近穩定的,即只要(6)～(8)式成立,則具有非線性擾動(4)式,滿足時滯約束條件(2)式的變時滯隨機系統(1)式是均方漸近穩定的.定理得證.

推論 4.1 在假設(2)和(4)式成立的條件下,如果存在n×n維實對稱矩陣P>0,以及任意的n×n維正定矩陣R1、R2、R3、Q,使得Riccati矩陣方程

ATP+PA+CTPC+PR1P+CPR2PC+

(16)

成立,且

ATP+PA+CTPC+PR1P+

(17)

則具有非線性擾動(4)式,滿足時滯約束條件(2)式的變時滯隨機系統(1)式是均方漸近穩定的.

證明 利用引理3.2,對于R1,取a=Px(t),b=Bx(t-τ(t));對于R2,取a=PCx(t),b=Dx(t-τ(t)).替換(11)和(12)式得

ELV(t,xt)≤E{xT(t)[ATP+PA+CTPC+

由(16)～(18)式知

D(t)=ATP+PA+CTPC+PR1P+

(19)

成立.則由引理3.1知,(1)式的零解是均方漸近穩定的,即只要(16)～(18)式成立,則有(2)式,滿足(2)式的變時滯隨機系統(1)是均方漸近穩定的.定理得證.

定理 4.2 若常數μ<0,在假設(2)～(4)式成立的條件下,如果存在適當維數實對稱矩陣P,H4,H5,H6>0,以及任意n×n維的正定矩陣H1、H2、H3、Q,使得Riccati矩陣方程

P(A+B)+(A+B)TP+CTPC+H1+

成立,則有(4)式,滿足時滯約束條件(2)和(3)式的變時滯隨機系統(1)是均方漸近穩定的.

證明 現將系統(1)改寫為如下的中立型時滯隨機系統

(21)

構造Lyapunov-Krasovskii泛函V(t,xt)=V1(t,xt)+V2(t,xt),其中

V1(t,xt)=zT(t)Pz(t),

計算V1(t,xt)沿著(21)式的軌線生成的算子LV1(t,xt).

LV1(t,xt)=zT(t)P[(A+B)x(t)+

x(t-τ(t)))]TPz(t)+[Cx(t)+

Dx(t-τ(t))]TP[Cx(t)+Dx(t-τ(t))]=

xT(t)[P(A+B)+(A+B)TP+CTPC]x(t)+

xT(t-τ(t))DTPDx(t-τ(t))+

xT(t)CTPDx(t-τ(t))+

xT(t-τ(t))DTPCx(t)+

xT(t-τ(t))BTPx(t)]+

xT(t)Pf(t,x(t),x(t-τ(t)))+fT(t,x(t),

x(t-τ(t)))Px(t)+

xT(t)(A+B)TPBx(s)]ds+

xT(t-τ(t))BTPBx(s)]ds+

fT(t,x(t),x(t-τ(t)))PBx(s)]ds.

(22)

利用引理3.2,對于任意n×n維的正定矩陣H1:取a=x(t),b=CTPDx(t-τ(t));H2:取a=x(t),b=PBx(t-τ(t));H3:取a=x(t),b=Pf(t,x(t),x(t-τ(t)));H4:取a=x(s),b=BTP(A+B)x(t);H5:取a=x(s),b=BTPBx(t-τ(t));H6:取a=x(s),b=BTPf(t,x(t),x(t-τ(t))),得到不等式

xT(t)CTPDx(t-τ(t))+

xT(t-τ(t))DTPCx(t)≤xT(t)H1x(t)+

(24)

xT(t)Pf(t,x(t),x(t-τ(t)))+fT(t,x(t),

x(t-τ(t)))Px(t)≤xT(t)H3x(t)+fT(t,x(t),

xT(t)(A+B)TPBx(s)]ds≤

(26)

xT(t-τ(t))BTPBx(s)]ds≤

fT(t,x(t),x(t-τ(t)))PBx(s)]ds≤

(28)

由非線性擾動條件(4)式有

(29)

(30)

綜合(22)～(30)式可得

ELV1(t,xt)≤E{xT(t)[P(A+B)+(A+B)TP+

(31)

沿著系統(21)式的軌線計算生成的算子LV2(t,xt),

xT(t)Ωx(t)-xT(t-τ(t))Ωx(t-τ(t)).

(32)

由(31)和(32)式得

ELV(t,xt)≤E{xT(t)[P(A+B)+

由條件(20)式知

G(t)=D(t)=P(A+B)+(A+B)TP+

成立.則由引理3.1知,系統(1)式的零解是均方漸近穩定的.定理得證.

P(A+B)+(A+B)TP+CTPC+

(33)

成立.則具有非線性擾動(4)式,滿足條件(2)和(3)式的變時滯隨機系統(1)式是均方漸近穩定的.

注 1 推論4.2的證明類似于定理4.2.當α0=α1=0時,定理4.1和4.2得到了無非線性擾動的均方漸近穩定的充分條件.

5 數值實例

考慮如下具有非線性擾動的變時滯隨機微分系統

驗證了本文方法的有效性.

[1] Mao X R. Stochastic Differential Equation and Their Applications[M]. Chichester:Horwood,1997.

[2] 胡適耕,黃乘明,吳付科. 隨機微分方程[M]. 北京:科學出版社,2008.

[3] Shaikhet L. Lyapunov Functionals and Stability of Stochastic Functional Differential Equations[M]. New York:Spinger International Publishing,2013.

[4] Huang H, Ho D W C. Delay-dependent robust control of uncertain stochastic fuzzy with time-varying delay[J]. ITE Control Theory Appl,2007,1(4):1075-1085.

[5] 江明輝,沈軼,蹇繼貴. 時滯隨機線性大系統的指數穩定性[J]. 系統工程學報,2005,20(6):564-569.

[6] 江明輝,沈軼,廖曉昕. 不確定中立型線性隨機時滯系統的魯棒穩定性[J]. 應用數學和力學,2007,28(6):741-748.

[7] Chienyu L, Gwojia J, Tejen S A. An LMI-based approach for robust stabilization of uncertain stochastic systems with time-varying delays[J]. IEEE Transactions on Automatic Control,2003,48(2):286-289.

[8] Chienyu L, Tejen S, Jason S H T. On robust stabilization of uncertain stochastic time-delay systems:an LMI-based approach[J]. J Franklin Institute,2005,342(5):473-487.

[9] Zhao X D, Ling M X, Zeng Q S. Delay-dependent robust control for uncertain stochastic systems with Markovian switching and multiple delays[J]. J Systems Engineering Electronics,2010,21(2):287-295.

[10] 吳立剛,王常虹,高會軍,等. 時滯不確定隨機系統基于參數依賴Lyapunov函數的穩定條件[J]. 控制理論與應用,2007,24(4):607-612.

[11] 劉寶晶,趙立英. 時滯隨機系統的穩定性分析[J]. 計算技術與自動化,2010,29(2):5-8.

[12] 趙亮,李樹勇,張秀英,等. 一類含連續分布時滯的隨機Hopfiled神經網絡模型的幾乎必然指數穩定性和p階矩指數穩定性[J]. 四川師范大學學報:自然科學版,2013,36(3):1-5.

[13] Cao Y Y, Sun Y X, Cheng C W. Delay-dependent robust stabilization of uncertain systems with multiple state delays[J]. IEEE Transactions on Automatic Control,1998,43(11):1608-1612.

2010 MSC：65C30; 34K20; 60H35

(編輯 鄭月蓉)

Asymptotically Mean-Square Stability for Stochastic Differential Systems with Nonlinear Perturbation and Time-Varying Delay

CHAI Shuanglong1,2, LI Shuyong2
(1.CollegeofMathematicsandSoftwareScience,SichuanNormalUniversity,Chengdu610066,Sichuan;2.InstituteofMathematicsandComputerScience,MiangyangNormalCollege,Mianyang621006,Sichuan)

In this paper, the asymptotically mean-square stability for stochastic differential systems with nonlinear perturbation and time-varying delay is concerned. By establishing a Lyapunov-Krasovskii functional, using the Itformula and by virtue of Lyapunov stability theory, the sufficient conditions for the asymptotically mean-square stability of the system are obtained in terms of the matrix Riccati equation. Finally, the numerical example is provided to demonstrate the effectiveness of the result received.

nonlinear perturbation; time-varying delay; stochastic differential systems; matrix Riccati equation; asymptotically mean-square stability

2014-10-09

國家自然科學基金(11271270)和四川省教育廳自然科學重點課題(10ZA125)

O211.63

A

1001-8395(2015)06-0791-06

10.3969/j.issn.1001-8395.2015.06.001

*通信作者簡介：李樹勇(1964—),男,教授,主要從事時滯隨機微分系統穩定性的研究,E-mail:shuyongli@263.net