矩陣和關于{1,2}-逆與{1,4}-逆的混合吸收律

李 瑩, 查秀秀, 王方圓(聊城大學 數學科學學院, 山東 聊城 252059)

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矩陣和關于{1,2}-逆與{1,4}-逆的混合吸收律

李 瑩, 查秀秀, 王方圓
(聊城大學 數學科學學院, 山東 聊城 252059)

定義2個矩陣和關于廣義逆的混合第一和第二吸收律的概念,利用矩陣的廣義逆Schur補、秩方法及奇異值分解(SVD)得到2個矩陣和關于{1,2}-逆與{1,4}-逆的混合第一、第二吸收律成立的充要條件.

M-P逆; {i,j,k}-逆; 廣義schur補; 秩方法; SVD; 混合吸收律

1 引言及預備知識

本文中以Cm×n表示所有m×n復矩陣的集合.A*、r(A)、R(A)分別表示矩陣A的共軛轉置、秩與值域.給定矩陣A∈Cm×n,其廣義逆G[1-2]是滿足下列4個方程中某些方程的矩陣

AGA=A,GAG=G,

(AG)*=AG, (GA)*=GA.

令?≠η={i,j,k}?{1,2,3,4},Aη表示滿足以上(i)、(j)、(k)方程的矩陣G的集合,G稱為矩陣A的一個{i,j,k}-逆,記為A(i,j,k).若η={1,2,3,4},則稱G為A的M-P逆,記為A+.EA=I-AA+,FA=I-A+A,分別為A*和A的零空間上的正交投影.

矩陣的廣義逆在概率統計、數學規劃、控制論、測量學、博弈論和網絡理論等領域都有廣泛而重要的應用[3],同時在最小二乘問題、長方及病態線性方程問題、馬爾可夫鏈等統計問題中也是一種基本的研究工具.廣義逆應用的廣泛性要求它自身理論發展不斷地充實完善.

如果A、B為可逆矩陣,則必有A-1+B-1=A-1(A+B)B-1.否則,對于{1}-逆,文獻[4]舉例說明了不一定存在A(1)和B(1),使得A(1)+B(1)=A(1)(A+B)B(1).本文考慮將上式中的{1}-逆換成2種不同的{i,j,k}-逆,若仍有等式成立,則稱矩陣和關于2個廣義逆滿足混合吸收律,定義如下.

定義 1.1 設A,B∈Cm×n,如果存在G∈Aη,H∈Bζ使得

A(G+H)B=A+B,

則稱A、B關于η-逆和ζ-逆滿足混合第一吸收律.若使得

G+H=G(A+B)H,

則稱A、B關于η-逆和ζ-逆滿足混合第二吸收律.

在定義1.1中,若η=ζ,則為矩陣和關于某一種廣義逆的第一、第二吸收律.

文獻[5-12]提出了一種秩方法.該方法被大量應用到廣義逆矩陣、矩陣方程、矩陣不等式、反序律、正序律、最小二乘以及統計量分析等問題的研究中[13-14].本文擬用秩方法、廣義Schur補及矩陣的奇異值分解對矩陣和關于廣義逆的混合吸收律進行研究,推導關于{1,2}-逆與{1,4}-逆的混合第一、第二吸收律成立的充要條件.

引理 1.1[9]設A∈Cm×n,B∈Cm×k,C∈Cl×n,D∈Cl×k,則有

r(D-CA+B)=

(1)

(2)

引理 1.2[10]設A∈Cm×n,B∈Cm×k,C∈Cl×n,D∈Cl×k,則有

min {r(A)+r(D),r(C,D),

(3)

(4)

其中

(5)

(6)

引理 1.3[12]設A∈Cm×n,B∈Cm×k,C∈Cl×n,則有

r(A,B)=r(A)?R(B)?R(A),

引理 1.4[12]設A∈Cm×n,B∈Cm×k,C∈Cl×n,若R(AQ)=R(A),R((PA)*)=R(A*),則有

r(AQ,B)=r(A,B),

2 矩陣和關于{1,2}-逆與{1,4}-逆的混合第一吸收律

定理 2.1 設A,B∈Cm×n,則有

(7)

(8)

證明 由(1)及(3)式

由于

r(A,B)≤r(A)+r(B),

所以

由引理1.4有

又

所以

r(A)+r(B),

而

r(B)≤r(A)+r(B),

因而

(7)式成立.下證(8)式.由(1)及(4)式有

下面對r1和r2進行化簡并比較大小.

所以r2≤r1,從而

r(B)+max{r1,r2}=r(A,B)+

推論 2.1 設A,B∈Cm×n,則下列敘述等價:

1) 任意A(1,2)∈A{1,2},B(1,4)∈B{1,4},都有

A+B=A(A(1,2)+B(1,4))B;

2) 存在A(1,2)∈A{1,2},B(1,4)∈B{1,4}使得

A+B=A(A(1,2)+B(1,4))B;

3 矩陣和關于{1,2}-逆與{1,4}-逆的混合第二吸收律

定理 3.1 設A,B∈Cm×n,則有

min{n,m,n+m-r(A)-r(B)}.

(9)

(10)

證明 由(3)及(5)式有

(-In)A(1,2)(Im-(A+B)B(1,4)))=

min{n,m,n+m-r(A)-r(B)}.

(9)式成立.下證(10)式.由(6)式有

r(B,Im-AA(1,2))).

設

其中

P=(P1,P2),Q=(Q1,Q2),

分別為m和n階酉矩陣,P1∈Cm×r(A),Q1∈Cn×r(A),∑r(A)=diag(σ1,σ2,…,σr(A)),σ1≥σ2≥…≥σr(A)為A的非零奇異值,則有

其中,A12和A21為適當階數的任意矩陣.計算得

r((In-A(1,2)A)B*)=

r(B,Im-AA(1,2))=

r(P*B,P*(Im-AA(1,2))P)=

則有

r(B,Im-AA(1,2)))=

下面分別計算上式中的2個極秩.Q為列滿秩陣,所以

由(2)式,上式等于

又

min{m,m+r(B)-r(A)},

所以

A(1,2)(A+B)B(1,4))=

max {r(B)-r(BQ1),r(A)-r(BQ1)}.

由A的奇異值分解

從而

所以

又

根據引理1.4

故結論成立.

推論 3.1 任意A(1,2)∈A{1,2},B(1,4)∈B{1,4}都有

A(1,2)+B(1,4)=A(1,2)(A+B)B(1,4),

當且僅當A,B為非奇異陣.

推論 3.2 存在A(1,2)∈A{1,2},B(1,4)∈B{1,4}使得

A(1,2)+B(1,4)=A(1,2)(A+B)B(1,4),

當且僅當

證明 存在A(1,2)∈A{1,2},B(1,4)∈B{1,4}使得

A(1,2)+B(1,4)=A(1,2)(A+B)B(1,4),

當且僅當

A(1,2)(A+B)B(1,4))=0.

若r(A)≥r(B),則r(BQ1)=r(A),而r(BQ1)≤r(B),所以r(BQ1)=r(A)=r(B).若r(A)≤r(B),則r(BQ1)=r(B),而

r(BQ1)=r(BA+AB*)≤r(A),

從而r(BQ1)=r(A)=r(B).所以結論成立.

注 3.1 文獻[4]中給出了存在A(1)和B(1)使得

A(1)+B(1)=A(1)(A+B)B(1)

成立的等價條件,即r(A)=r(B).有如下結論,若存在A(1,2)和B(1,4)使得混合第二吸收律成立,則關于A(1)和B(1)的第二吸收律必成立,反之,則不一定.

本文中所有吸收律等式中所涉及的某種廣義逆均為同一個矩陣,若不同,則問題轉化為考察關于矩陣及其廣義逆的表達式構成的2個集合之間的關系,此時問題將復雜得多,也是下一步將要研究的課題.

致謝 聊城大學科研基金(31805)對本文給予了資助,謹致謝意.

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2010 MSC：15A09

(編輯 李德華)

The Mixed Absorption Laws of the Sum of Two Matrices on {1,2}-Inverse and {1,4}-Inverse

LI Ying, CHA Xiuxiu, WANG Fangyuan
(CollegeofMathematicsScience,LiaochengUniversity,Liaocheng252059,Shandong)

The concept of the mixed first absorption laws and the mixed second absorption laws on generalized inverse is given. Using the matrix rank method, the generalized Schur complement and SVD, necessary and sufficient conditions about the mixed first absorption laws and the mixed second absorption laws on {1,2}-inverse and {1,4}-inverse are established.

M-P inverse; {i,j,k}-inverse; generalized Schur complement; matrix rank method; SVD; mixed absorption laws

2014-05-22

國家自然科學基金(11301247)

李 瑩(1974—),女,副教授,主要從事矩陣理論的研究,E-mail:liyingld@163.com

O151.21

A

1001-8395(2015)06-0851-05

10.3969/j.issn.1001-8395.2015.06.012