時(shí)滯機(jī)床顫振模型的穩(wěn)定性與Hopf分支分析

楊紀(jì)華, 張二麗, 劉 媚(. 寧夏師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 寧夏 固原 756000;2. 北京師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 北京 00875; . 鄭州財(cái)經(jīng)學(xué)院 計(jì)算機(jī)系, 河南 鄭州 45000)

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時(shí)滯機(jī)床顫振模型的穩(wěn)定性與Hopf分支分析

楊紀(jì)華1,2, 張二麗3, 劉 媚1
(1. 寧夏師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 寧夏 固原 756000;2. 北京師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 北京 100875; 3. 鄭州財(cái)經(jīng)學(xué)院 計(jì)算機(jī)系, 河南 鄭州 450001)

從模型線性化方程的特征方程根的分布分析入手,討論模型平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性,確定平衡點(diǎn)的線性穩(wěn)定性區(qū)域,當(dāng)模型中時(shí)滯經(jīng)過(guò)一系列臨界值時(shí),模型在平衡點(diǎn)附近經(jīng)歷Hopf分支,時(shí)滯較大,出現(xiàn)混沌吸引子,數(shù)值模擬驗(yàn)證了結(jié)論.

時(shí)滯; 穩(wěn)定性; Hopf分支; 混沌吸引子

1 預(yù)備知識(shí)及模型建立

機(jī)床是金屬切削加工時(shí)的主要工具,在機(jī)床加工過(guò)程中,刀具和工件所組成的系統(tǒng)中存在著不可避免的振動(dòng)現(xiàn)象.一般把機(jī)床切削加工過(guò)程中工件和刀具之間的相對(duì)自激振動(dòng)稱為“顫振”[1].在機(jī)床的加工過(guò)程中,顫振會(huì)導(dǎo)致一系列不好的影響,有時(shí)甚至?xí)?lái)非常嚴(yán)重的后果,例如,顫振會(huì)對(duì)零部件的加工質(zhì)量有影響,嚴(yán)重時(shí)甚至?xí)贡患庸さ牧悴考?bào)廢,還會(huì)引起崩刃等等,因此對(duì)機(jī)床加工過(guò)程中顫振問(wèn)題的研究是當(dāng)代學(xué)者和工程技術(shù)人員研究的熱點(diǎn)之一[2-6].本文從穩(wěn)定性與分支的角度,主要運(yùn)用特征值方法來(lái)研究具時(shí)滯的機(jī)床顫振模型[7-8],并借鑒文獻(xiàn)[9-10]中的方法,探討機(jī)床顫振模型的穩(wěn)定性和Hopf分支的存在性.

2004年,R.Szalai等[11]研究了高速銑床的動(dòng)力學(xué)特性,研究認(rèn)為參與切削的時(shí)間和未參加切削的時(shí)間的比值是一個(gè)小量.在這種情況下,有關(guān)機(jī)床振動(dòng)的傳統(tǒng)再生顫振模型被簡(jiǎn)化為一個(gè)離散的數(shù)學(xué)模型,其對(duì)應(yīng)的非線性模型首先是由M. A. Davies等[12]建立的.雖然建立的非線性模型很簡(jiǎn)單,但很接近實(shí)際.2007年,D. A. W. Barton等[13]又在此基礎(chǔ)上提出了一個(gè)更準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型

(1)

其中,m是模態(tài)質(zhì)量,Fx和Fy分別是沿x和y方向的切割力,cx和cy分別是沿x和y方向的模態(tài)阻尼,kx和Ky分別是沿x和y方向的模態(tài)剛度,Kx和Ky分別是沿x和y方向的切削系數(shù),ω是切削寬度,h是切削厚度,p是一個(gè)指數(shù).

在這個(gè)模型中,假設(shè)刀具從來(lái)沒(méi)有離開(kāi)過(guò)工件.由于再生顫振的影響,h不是一個(gè)常量.設(shè)ν是進(jìn)給速度,τ是時(shí)滯,則有

(2)

另外

RΩτ=2πR+x(t)-x(t-τ),

(3)

其中,ω是主軸轉(zhuǎn)速,R是工件半徑.由(1)～(3)式可得

(4)

本文不考慮機(jī)床刀具末端的螺旋角,并假設(shè)機(jī)床刀具具有對(duì)稱性,即cx=xy=a,kx=ky=b,則方程(4)變?yōu)?/p>

(5)

2 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性和Hopf分支存在性分析

(7)

顯然,當(dāng)τ=0時(shí),方程(6)的平衡點(diǎn)(x0,φ0,y0,ψ0)是局部漸近穩(wěn)定的.為了討論方便,記

M

N

引理 2.1 (i) 如果M2-N<0,或者M(jìn)>0且N>0,則方程(7)沒(méi)有純虛根;

(ii) 如果M2-N=0且M<0,或者N<0,則當(dāng)τ=τj時(shí),方程(7)有一對(duì)簡(jiǎn)單純虛根±iβ0,其中

(8)

(iii) 如果M<0,M2-N>0且N>0,則當(dāng)τ=τ1j(或τ=τ2j)時(shí),方程(7)有一對(duì)簡(jiǎn)單純虛根±iβ1(或±iβ2),其中

(9)

證明λ=iβ(β>0)是方程(7)的根的充要條件是β滿足

(10)

平方相加可得

(11)

進(jìn)而可得

(12)

(i) 如果M2-N<0,或M>0且N>0,則方程(11)沒(méi)有正實(shí)根,從而方程(7)無(wú)純虛根;

(iii) 如果M<0,M2-N>0且N>0,方程(11)僅有2個(gè)正根

令τ1j和τ2j如(9)式所定義,則(τ1j,β1)和(τ2j,β2)是方程(10)的解,即λ=±iβ1(或λ=±iβ2)是τ=τ1j(或τ=τ2j)時(shí)方程(7)的一對(duì)純虛根.

由隱函數(shù)定理,存在ε0>0,使得當(dāng)|τ-τj|<ε0時(shí),方程(7)有一對(duì)共軛根λ(τ)=α(τ)±iβ(τ),且滿足α(τj)=0,β(τj)=β0.同理,存在εk>0(k=1,2),使得當(dāng)|τ-τkj|<εk(k=1,2)時(shí),方程(7)有一對(duì)共軛根λ(τ)=α(τ)±iβ(τ),且滿足α(τkj)=0,β(τkj)=βk(k=1,2).

引理 2.2 如果M2-N>0,則

證明 對(duì)方程(7)兩邊關(guān)于τ求導(dǎo)得

所以

其中

i=0,1,2,

由M2-N>0可得結(jié)論成立.

引理 2.3[15]設(shè)f(λ,τ)=λ2+a1λ+a2λe-λτ+a3e-λτ+a4,則當(dāng)τ變化時(shí),f(λ,τ)在右半平面上的零點(diǎn)重?cái)?shù)之和當(dāng)且僅當(dāng)有零根穿過(guò)虛軸時(shí)才發(fā)生變化,其中a1,a2,a3,a4∈R且τ>0.

由引理2.1～2.3和文獻(xiàn)[16]中第11章的定理1.1,可以得到如下2個(gè)定理.

定理 2.1 如果M2-N<0,或者M(jìn)>0且N>0,則對(duì)任意τ≥0,系統(tǒng)(5)的平衡點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的.如果N<0有:

(i) 當(dāng)τ∈[0,τ0)時(shí),系統(tǒng)(5)的平衡點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的;

(ii) 當(dāng)τ>τ0時(shí),系統(tǒng)(5)的平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的;

(iii) 當(dāng)τ=τj(j=0,1,2,…)時(shí),系統(tǒng)(5)在平衡點(diǎn)附近經(jīng)歷Hopf分支.

定理 2.2 如果M<0,M2-N>0且N>0有

時(shí),系統(tǒng)(5)的平衡點(diǎn)不穩(wěn)定;

(ii) 當(dāng)τ=τkj(k=1,2;j=0,1,2,…)時(shí),系統(tǒng)(5)在平衡點(diǎn)附近經(jīng)歷Hopf分支.

3 數(shù)值模擬及結(jié)論

在方程(5)中,取a=18.13,b=220,Kx=55 000,Ky=20 000,d=0.02,m=2.586,p=0.75,r=0.05和ν/ω=0.5.計(jì)算可得β0=7.692 8,τ0=0.116 4.根據(jù)定理2.1知,當(dāng)τ=0.02時(shí),系統(tǒng)(5)的平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的,如圖1所示.當(dāng)τ=0.112時(shí),系統(tǒng)(5)在平衡點(diǎn)附近經(jīng)歷了Hopf分支,如圖2所示.當(dāng)τ=7.816時(shí),系統(tǒng)(5)的平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的.此時(shí)出現(xiàn)了混沌吸引子,如圖3所示.

本文研究時(shí)滯機(jī)床顫振模型的動(dòng)力學(xué)行為.以時(shí)滯為參數(shù),應(yīng)用特征值方法對(duì)該模型的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析,發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)(5)中存在穩(wěn)定性開(kāi)關(guān),并給出了系統(tǒng)(5)存在Hopf分支的充分條件.計(jì)算機(jī)的模擬結(jié)果很好地支持了本文的理論結(jié)果.理論分析和計(jì)算機(jī)模擬表明,時(shí)滯在機(jī)床顫振模型中起著非常重要的作用.數(shù)值模擬揭示了時(shí)滯對(duì)機(jī)床顫振系統(tǒng)的穩(wěn)定、振蕩和混沌狀態(tài)的影響(見(jiàn)圖1～3).即使是在線性穩(wěn)定邊界上,混沌狀態(tài)也可以使機(jī)床系統(tǒng)產(chǎn)生顫振.圖1～3表明時(shí)滯可以調(diào)節(jié)系統(tǒng)的混沌狀態(tài),通過(guò)選取合適的時(shí)滯,可以使系統(tǒng)(5)從混沌狀態(tài)轉(zhuǎn)化為穩(wěn)定狀態(tài)或周期循環(huán)狀態(tài),所以在機(jī)床系統(tǒng)中考慮時(shí)滯的影響是很必要的.

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2010 MSC：34C07

(編輯 鄭月蓉)

Stability and Hopf Bifurcation Analysis of Machine Tool Chatter Model with Time Delay

YANG Jihua1,2, ZHANG Erli3, LIU Mei1
(1.SchoolofMathematicsandComputerScience,NingxiaNormalCollege,Guyuan756000,Ningxia;2.SchoolofMathematicalScience,BeijingNormalUniversity,Beijing100875;3.DepartmentofComputerScience,ZhengzhouInstituteofFinanceandEconomics,Zhengzhou450001,Henan)

The stability of the equilibrium is discussed by analyzing the characteristic equation of the linearized system of original system at the equilibrium, the regions of linear stability of equilibrium are given. It is found that Hopf bifurcation exists when the delay passes through a sequence of critical values, the chaotic attractor appears when delay increases further. In the end, the results are confirmed by numerical simulations.

time delay; stability; Hopf bifurcation; chaotic attractor

2013-04-22

國(guó)家自然科學(xué)基金(11361046)、寧夏科技支撐計(jì)劃(寧科計(jì)字[2015]26號(hào)(4))、寧夏自然科學(xué)基金(NZ13213)和寧夏高等學(xué)

楊紀(jì)華(1983—),男,講師,主要從事時(shí)滯微分方程的穩(wěn)定性與分支的研究,E-mail:jihua1113@163.com

O175.14

A

1001-8395(2015)06-0838-05

10.3969/j.issn.1001-8395.2015.06.009

校科研項(xiàng)目(寧教高[2014]222號(hào)(17))