自立倒立擺系統的自擺起及穩定控制

劉繼光，王麗軍，袁 浩

（天津大學 電氣與自動化工程學院，天津 300072）

倒立擺系統是自動控制領域的一個典型的控制對象，它的結構簡單，成本較低，對象比較明確。倒立擺是非線性、強耦合多變量和自然不穩定的系統［1］，與其相似的旋轉機架已在工程上廣泛應用［2］，有著數種控制方案，如極點配置［3］、線性最優二次型［4］以及模糊控制［2］等。

近年來，對于倒立擺的控制研究也是控制領域的一大熱點，其控制過程能有效地反映諸如可鎮定性、魯棒性、隨動性以及跟蹤等多種控制中的關鍵問題［5］。S.E.Oltean，等［6］利用當代的微處理器實現了基于模糊－比例微分的旋轉倒立擺的自起擺控制；M.El－Bardini等［7］則提出了模糊－PID智能控制算法來對倒立擺系統進行控制；V.Kumar E等［8］對于倒立擺系統提出了魯棒LQR控制方法；I.M.Arkhipova等［9］則是借助振動穩定性理論來對一個二級倒立擺系統進行平衡穩定控制。我國的李洪興教授已經成功地實現了4級倒立擺控制的仿真實驗及實物控制［10］，具有良好的穩定性和定位功能。這表明在倒立擺控制領域，我國在世界上已經達到了一定的技術水平。

本文通過對自立倒立擺的不同狀態進行分析控制，應用開關控制器使得整個自立倒立擺系統能夠從靜止下垂的平衡位置起擺并穩定在不穩定的垂直倒立狀態。

1 自立倒立擺系統

如圖1所示，系統由SRV02－E伺服裝置驅動。橫臂的一端安裝在伺服裝置適當的齒輪軸上，用螺釘固定牢固。在橫臂的另一端則安裝了一根轉軸，豎直的擺桿固定在這根轉軸上，可以自由擺動。倒立擺擺桿的轉角以及橫臂的轉角分別通過2個傳感編碼器測得。

本系統的控制目標是通過控制橫臂擺動時擺桿平穩快速擺起，并最終將擺桿穩定在垂直倒立位置。

1.1 角度定義

圖1 自立倒立擺系統物理模型

擺角的“full”角度αf的零位置對應初始時擺桿自然下垂狀態，當擺逆時針旋轉時αf增大，順時針旋轉時減小，其值可以超過360°，這一角度值可以從編碼器得到。擺桿的“down”角度αd，它與αf相同定義，但要控制在±180°范圍內。擺桿的“up”角度αu，其零角度對應于擺桿垂直倒立位置。當擺桿從垂直位置向左方向傾斜時，此角度對應為正值。

1.2 機理建模

對系統的2個自由度θ和α分別列寫Lagrange方程。廣義坐標為θ和α，廣義力為轉矩［11］。先對系統處于機架狀態時建模得：

對（1），（2）進行線性化處理，因α很小，有cosα＝1，sinα≈α，得：

將系統的各參數值代入式（5）后得到

由于垂直倒立擺位置只是將擺桿反向倒立，故其方程與上式只是符號上的差別，垂直倒立位置的狀態方程為

2 控制器設計

2.1 自擺起控制

倒立擺的自擺起控制實質上就是通過控制橫臂的位置使倒立擺從下垂位置開始振蕩。假設橫臂偏離原來位置的角度為θ，擺桿偏離豎直狀態的角度為θd，擺桿擺動的角速度為α·d，那么可以得到橫臂與擺桿的關系為θ＝Pαd＋Dα·d。這樣可以通過合適選擇比例系數Kp和微分系數Kd的大小控制橫臂擺動使倒立擺開始振蕩，也就是說要基于擺桿的位置和速度來調整θ，最終通過橫臂的左右擺動使擺桿完成自擺起。

為了將橫臂固定在一定位置，需要設計一個PD控制器［12］：Vd＝Kp（θd－θ）＋Kdθ·，即設計一個閉環來控制電機的輸出電壓Vd，使θ最終達到θd。

通過多次實驗得出，當 Kd＝0.55、Kp＝－0.01、P＝0.5、D＝0.001時，擺桿的擺起效果最好。自擺起控制器仿真結構圖如圖2所示。

圖2 自擺起控制器仿真結構圖

要想讓橫桿快速擺起，最好的辦法是給橫臂加離散的力，即靜止狀態時給橫臂力、當擺桿升到最高點時給橫臂反方向力，這樣效果最好。經過多次實驗，得出控制激勵仿真結構圖如圖3所示。

圖3 自擺起控制激勵仿真結構圖

2.2 穩定控制器

本控制器采用LQR控制［13］。為了保證良好的控制效果，選擇θ及其變化率θ·、α及其變化率α·這4個參數都進行控制。經過多次實驗，選擇Q＝diag［5 30 0 0］，R取1.5，在 Matlab里運行k＝lqr（A，B，Q，R）［14］，系統會自動計算出反饋矩陣K。

2.3 開關控制器

本文開關控制的目的在于判斷是由自擺起控制器的輸出反饋到電機還是由穩定控制器的輸出反饋到電機。在初始狀態時，應由自擺起控制器的輸出反饋到電機，使擺桿起擺，當達到穩定控制器控制條件時，再由開關控制器決定把穩定控制器輸出反饋到電機。

圖4 開關控制仿真電路

2.4 仿真及實時控制

自立倒立擺系統的全部仿真電路如圖5所示。仿真得到α及θ的波形分別見圖6和圖7。

在仿真的基礎上，對自立倒立擺系統進行實時控制，首先通過由Quanser公司提供的嵌入到Matlab中的Wincon組件建立系統的實時控制模型，然后進行實時控制。運行仿真模型，發現擺桿并不能自擺到垂直倒立位置，這是因為模型的問題，導致激勵給定的時間不準確，通過調整給定時間，并通過多次調試，得到實時控制的波形見圖8和圖9。

圖5 系統完全仿真圖

圖6 α仿真圖

圖7 θ仿真圖

圖8 α實際波形圖

圖9 θ實際波形圖

由圖8和圖9可知，擺桿經過2次振動即可達到垂直倒立位置并穩定在該位置，并且具有一定的抗擾性，可見通過PD控制和LQR控制相結合的方法可以很好地控制自立倒立擺系統。

3 結束語

本文介紹了自立倒立擺的控制器的具體結合。該控制器共分為3個模塊，分別是自擺起控制器、穩定控制器和變結構控制器。自擺起控制器主要為PID控制，使橫桿能夠平滑地擺起；變結構控制器為開關控制器，它將所有切換條件用一個與門連接，當所有條件都達到時會實現控制器的切換；穩定控制器為LQR控制器，將擺桿穩定在垂直倒立位置。本文成功實現了對一級旋轉自立倒立擺的控制，具有良好的效果。

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［1］王雪，柴毅，丁寶蒼，等.自動控制原理開放性實驗的開發［J］.實驗室研究與探索，2011，30（7）：242－244.

［2］袁浩，陳曉倩，劉繼光.二自由度旋轉機架模糊控制策略探索［J］.實驗技術與管理，2011，28（12）：32－35.

［3］袁浩，徐真真，王先來.極點配置方法在起重機機架模型中的應用［J］.實驗室研究與探索，2006，25（12）：1492－1494.

［4］袁浩，喬宇亮，李保林，等.LQR控制策略在柔性關節系統中的實現［J］.實驗技術與管理，2006，23（8）：33－35.

［5］黃苑虹.倒立擺系統的穩定性控制研究［D］.廣州：廣東工業大學，2002.

［6］Oltean S E，Duka A V.Balance control system using microcontrollers for rotational inverted pendulum［C］//The 7th International Conference Interdisciplinarity in Engineering.Procedia Technology，2014：11－19.

［7］El－Bardini M，El－Nagar A M.Interval type－2fuzzy PID controller for uncertain nonlinear inverted pendulum system［J］.ISA Tr asactions，2014（53）：732－743.

［8］V Kumar E，Jerome J.Robust LQR Controller Design for Stabilizing and Trajectory Tracking of Inverted Pendulum［J］.Procedia Engineering，2013（64）：169－178.

［9］Arkhipova I M，Luongo A，Seyranian A P.Vibrational stabilization of the upright statically unstable position of a double pendulum［J］.Journal of Sound and Vibration，2012，331（2）：457－469.

［10］李洪興，苗志宏.四級倒立擺的變論域自適應模糊控制［J］.中國科學：E 輯，2002，32（1）：65－75.

［11］周衍柏.理論力學教程［M］.北京：高等教育出版社，1985：268－299.

［12］胡壽松.自動控制原理［M］.4版.北京：科學出版社，2001.

［13］劉豹.現代控制理論［M］.2版.北京：機械工業出版社，2000.272－282.

［14］黃忠霖.控制系統MATLAB計算及仿真［M］.北京：國防工業出版社，2000.