淺談卷長度的理論算法及應用

一、前言

以卷的方式存在的產品、半成品是極為常見的，例如膠卷、合成革卷、貝斯、離型紙、纖維布卷、紙卷、鋁卷、銅卷，等等。在產險理賠中，常需要計算卷的長度。

二、計算方法理論推導

1.阿基米德螺線法

由于卷是繞以r為半徑的軸芯一圈一圈卷起來的，每繞一圈卷半徑就增加δ。由此我想到了阿基米德螺線（圖1）。阿基米德螺線，亦稱“等速螺線”。當一點P沿動射線OP以等速率運動的同時，該射線又以等角速度繞點O旋轉，點P的軌跡稱為“阿基米德螺線”。這是首次由阿基米德在他著作《論螺線》中給出了定義。阿基米德螺線在極坐標體系的一般方程是

ρ（θ）=ρ0+aθ

ρ代表阿基米德螺線上的點到原點的距離，θ為角度（弧度制），a為常數，螺距等于2πa，即Δθ=2π時，Δρ=2πa。設螺線的螺距為δ，則a=以此為數學模型，考慮到螺線繞一周徑向增大一個δ的特點，以卷起始點內側離圓心距離r的位置作為螺線的起點，則方程為

ρ0=r，ρ（θ）=ρ0+θ

即ρ（θ）= r+θ

假設卷纏繞的圈數為n，根據圖2可知n=，求卷長度就是計算螺線的弧長，ρ（θ）對積分就是弧長，θ使用弧度制。

這是利用阿基米德螺線極坐標方程，求得的卷長度計算公式。

2.面積法

如圖2所示，卷從A點卷至D點時平直卷到B點（即過B點作⊙O切線交于D點），AB即卷的厚度δ，B點卷至E點時平直卷到F點，C點是第2圈開始的地方，從F點到C點假設為以B點為圓心、δ為半徑的圓弧，以此類推。最后第n圈外緣交OX軸于G點，內緣交OX軸于J點。則OA=OD=r，OJ=OH=R，nδ=R-r。

下面計算卷側面積。

設∠AOD=θ，θ采用弧度制，

圖1 阿基米德螺線示意圖 圖2 面積法示意圖

三、應用

【實例1】某合成革廠的貝斯（合成革的中間產品）卷，卷中心是一根外徑8.9cm的鐵軸，貝斯卷外徑100cm，貝斯厚度1.4mm，問該卷貝斯長度為多少米？……