高中數學函數與導數的三種解題技巧

張家權

(貴州省從江縣第二民族高級中學,貴州 黔東南州 557401)

關于函數的相關知識內容在初中階段就有過一定的教學,在高中階段會以初中內容為基礎,為學生提供更加詳細和深入的教學.同時,在新高考環境下對于函數值與導數的相關知識教學重點也有了一定的變化,新老高考對于函數與導數模塊的考法和測驗內容存在一定的差異,同時也具備一些相同點[1].因此在當下的高中數學教學中,必須充分結合新課標以及新高考的教學需求和特點,針對性地解決函數與導數模塊教學所存在的問題,讓學生能夠充分掌握本模塊的知識內容以及解題技巧,從而彰顯新課標和新高考背景下的教育改革實效.

1 常見的輔助函數構建方式

1.1 結合積、商函數求導法則構建函數

(2)關于不等式f′(x)k(x)+f(x)k′(x)<0(或者>0),可以構建輔助函數F(x)=f(x)k(x).

1.2 結合差、和函數求導法則構建函數

(1)關于不等式f′(x)-k′(x)<0(或者>0),可以構建輔助函數F(x)=f(x)-k(x).

(2)關于不等式f′(x)+k′(x)<0(或者>0),可以構建輔助函數F(x)=f(x)+k(x).

(3)關于不等式f′(x)a)(a≠0),可以構建輔助函數F(x)=f(x)-ax.

1.3 結合積、商函數求導法則的特殊情況構建函數

(2)關于不等式xf′(x)+f(x)<0(或者>0),可以構建輔助函數F(x)=xf(x).

(4)關于不等式xf′(x)+af(x)<0(或者>0),可以構建輔助函數F(x)=xaf(x).

(6)關于不等式f′(x)+f(x)<0(或者>0),可以構建輔助函數F(x)=exf(x).

(8)關于不等式f(x)+f′(x)tanx<0(或者>0),可以構建輔助函數F(x)=sinxf(x).

(10)關于不等式f′(x)-f(x)tanx<0(或者>0),可以構建輔助函數F(x)=cosxf(x).

(12)(理)關于不等式f′(x)+af(x)<0(或者>0),可以構建輔助函數F(x)=eaxf(x).

2 構建具體函數進行解題

面對函數與導數相關問題時,一般會將題目中所給的函數解析式直接代入,然后求出不等式的解集.如果在此過程中發現無法求出解集,或者是求解過程過于困難,那么就可以把解題思路放在構建一個新函數的方向上.

例1已知f′(x)為偶函數f(x)(x≠0)的導函數,在x∈(0,+∞)時,xf′(x)-2f(x)>0,那么不等式4f(x+2 021)-(x+2 021)2f(-2)<0的解集是____.

解析根據題目可知xf′(x)-2f(x)>0(x>0).

因此x2f′(x)-2xf(x)>0.

因為4f(x+2 021)-(x+2 021)2f(-2)<0,

因此F(x+2 021)

所以當x∈(0,+∞)時,F′(x)>0.

因此F′(x)在(0,+∞)單調遞增.

所以|x+2 021|<2,可得-2 023

又因為x+2 021≠0,因此x≠-2 021.

故x∈(-2 023,-2 021)∪(-2 021,-2 019).

設k(x)=exf(x),則k(-x)=k(x).

由于當x<0時,f′(x)+f(x)>0,可得

k′(x)=ex[f′(x)+f(x)]>0.

因此函數k(x)在(-∞,0]上單調遞增,在[0,+∞)上單調遞減.

由于ecf(2c+1)≥f(c+1),可得

e2c+1f(2c+1)≥ec+1f(c+1).

所以k(2c+1)≥k(c+1),|2c+1|≤|c+1|.

3 構建抽象函數進行解題

結合題目所給出的條件構建出一個新的輔助函數,這是我們在解答函數與導數相關問題時所應用的一種最為關鍵的技巧.在題干中已經告知了一些方程、最值或者是與導數相關的訊息時,就需要以此為基礎構建出目標函數,同時要擬定變量的限制條件.隨后對函數最值、單調性等條件進行分析,以此來理清解題思路.

例3定義在R上的函數f(x)滿足e4(x+1)f(x+2)=f(-x),同時對任意的x≥1都有f′(x)+2f(x)>0,(f′(x)是f(x)的導數),那么下面的敘述中正確的一項為( ).

A.e6f(3)>f(-1) B.e4f(2)>f(0)

C.e2f(3)>f(2) D.e10f(3)>f(-2)

解析設F(x)=e2xf(x),可得

F′(x)=2e2xf(x)+e2xf′(x)=e2x[2f(x)+f′(x)].

已知f(x)對任意的x≥1都有f′(x)+2f(x)>0,

所以F′(x)>0,那么F(x)在[1,∞)上單調遞增.

F(x+2)=e2(x+2)f(x+2),F(-x)=e-2xf(-x).

由于e4(x+1)f(x+2)=f(-x),因此e2xe2(x+2)·f(x+2)=f(-x),且e2(x+2)f(x+2)=e-2xf(-x).

所以F(x+2)=F(-x).

可得F(x)關于x=1對稱.

因此F(-2)=F(4).

又因為F(x)在[1,+∞)上單調遞增,因此F(3)

所以e6f(3)

也就是說e10f(3)

因為F(3)=F(-1),F(0)=F(2),因此選項A,B也都不對;

因為F(3)>F(2),所以e2f(3)>f(2),故選C.

4 抽象問題具體化

解答函數與導數相關問題時,必須要對函數的單調性和奇偶性做出充分的認知,這些知識貫穿了整個高中數學的教學.因此在解答此類問題時,必須熟練掌握不同表達形式的函數單調性、奇偶性,在解題過程中充分發掘其內在關聯,找到問題的本質,將抽象問題具體化.

解析根據題目可得f(x)是偶函數,同時在[0,+∞)單調遞減.

所以f(2ax-lnx-3)≥2f(3)-f(-2ax+lnx+3)能夠換算成f(2ax-lnx-3)≥f(3)對應于x∈[1,3]恒成立,也就是|2ax-lnx-3|≤3.

所以0≤2ax-lnx≤6對x∈[1,3]恒成立.

5 結束語

總的來說,求解函數與導數相關題型的過程中,會涉及較多的抽象函數問題,許多學生因此降低了答題效率和正確性.但是在面對函數與導數類的問題時,只要能夠按照題目所給的函數與導數關系式,聯想導數的運算法則,然后以構造輔助函數為基礎,通過導數判斷其單調性,就能夠迅速解出這類函數與導數的題目[2].