一種創意平板折疊桌的設計

摘 要：文章針對折疊桌的加工設計問題，在三維直角空間坐標系中運用MATLAB軟件描繪出了折疊桌折疊后的三維圖和長方形平板的俯視圖，并對構建的模型進行了推廣。

關鍵詞：折疊桌設計；三維坐標；幾何分析法；動態變化

1 符號說明（表1）

2 模型的建立與求解

2.1 模型的建立與求解

2.1.1 模型準備

根據2014年高教社杯全國大學生數學建模競賽B題[1]，首先以桌面下平面的幾何中心為原點建立了三維空間直角坐標系。然后將圓邊上任意一點到鋼筋的向量及每根木條長度的向量在y、z平面上的投影用坐標表示。最后，根據折疊桌面與木條以及鋼筋的空間幾何關系運用MATLAB編程得到了每根木條的開槽長度和每根木條鉸鏈端到圓形桌面直徑的距離。并根據其中的一些參數畫出了平板折疊前的俯視圖。

2.1.2 模型假設

（1）木條平直時，各槽頂端均緊貼鋼筋。（2）木條折疊完成后各槽底端緊貼鋼筋。（3）木條寬的中間點與桌面圓相交。

2.1.3 模型建立

根據已知條件：木板寬50cm，則圓盤的半徑為木板寬的一半即25cm。我們以桌面下平面的幾何中心為原點建立三維空間直角坐標系。則桌面圓的方程為：■=25。將鋼筋、木條、桌面垂直投影于y、z平面上（下面僅標出y、z坐標）。

則第一根木條與桌面圓相交的一點的坐標為：（■，0即（7.806，0）；

最長木條的長度2d為：A/2-■，d=26.097。

根據幾何關系可得鋼筋的坐標為：（dcos？墜+A/2-2d，dsin？墜）；

圓邊上任意一點到鋼筋的向量為：（dcos？墜+A/2-2d-■，dsin？墜）；（-25？燮x？燮25，-60？燮y？燮60）

將上述向量延長至長度與所對應的木條長度相等得：

（A/2-■）/■×（dcos？墜

+A/2-2d-■，dsin？墜）；

則木條末端的坐標為：

（y，z）=（A/2-■）/■×（dcos？墜+A/2-2d-■，dsin？墜）+（■，0）；

運用幾何關系再根據以上的坐標可以得出桌腳邊緣線在y、z平面投影的兩個坐標分別為：

y=（A/2-■）/■×（dcos？墜+A/2-2d-■）+■；

z=（A/2-■）/■×dcos？墜；（0？燮？墜？燮1.2798）

給定一個？墜，便可得到一個桌腳邊緣空間曲線。因此，參數方程可以描述整個動態過程。

2.1.4 模型求解

（1）桌腳邊緣線的三維坐標可表示折疊桌任一角度的狀態，根據以上所求的坐標即可描述此折疊桌的動態變化過程，圖1為折疊桌最終折疊后的三維模型。

（2）求得1～20號木條的開槽長度、木條鉸鏈端到圓形桌面直徑的距離列表如下。

表2 每根木條的開槽長度（cm）

（3）在求得木條開槽長度、木條鉸鏈端到圓形桌面直徑的距離的基礎上，用MATLAB軟件做出了平板折疊前的俯視圖如下：其中陰影部分為開槽部分，圖中僅標出一半，另一半與之關于圓形桌面的直徑對稱。

3 模型推廣

文章所構建的數學模型與實際情況基本相符合，對實際問題具有一定的指導性。同時可針對模型進行更深層次的分析，如在原來的基礎上，增加多目標表達式中的變量個數可對折疊桌的穩定性及用料作出更加準確的判斷。總體而言，模型具有一定的一般性，便于進一步推廣，不僅可以用于折疊桌的加工設計，同樣可以應用于整個家具領域的評價探究。

參考文獻

[1]2014年高教社杯全國大學生數學建模竟賽賽題B題.http：//www.mcm.edu.cn/problem/2014/cumcm2014problems.rar.

[2]呂林根，許子道. 解析幾何[M].北京：高等教育出版社，2006.

[3]丘維聲.解析幾何（第二版）[M].北京：北京大學出版社，2004.

[4]韓佳成.Robert Van embricqs.平板折疊邊桌[J].設計，2012（8）.

[5]楊媛媛.折疊網殼結構的穩定性分析[D].西安：長安大學，2006.

作者簡介：許英強（1993-），男，河南省周口市人，工作單位：華北電力大學（保定），職務：學生，研究方向：電氣工程及其自動化。