明渠湍流的分形特征研究

摘 要：采用PIV實(shí)驗(yàn)技術(shù)對(duì)明渠流動(dòng)的湍流場(chǎng)進(jìn)行了測(cè)量，表明湍流速度的分布相當(dāng)無(wú)序，隨著時(shí)間和空間位置做很不規(guī)則的、突變式的脈動(dòng)。求解速度沿流向的分維數(shù)為1.4723，相關(guān)系數(shù)達(dá)0.91，說(shuō)明湍流速度確實(shí)存在某一尺度范圍的自相似性。并且這一分維數(shù)隨著湍流的流向發(fā)展逐漸減小，反映出湍流能量逐漸耗散的過(guò)程。

關(guān)鍵詞：湍流；分形；PIV

1 概述

明渠流是最常見(jiàn)的水流形式之一，在天然河道和人工輸水渠道中都常常見(jiàn)到。明渠中的水流運(yùn)動(dòng)以湍流為主，研究明渠湍流的分形特征，是從機(jī)理層面解決明渠的流態(tài)問(wèn)題，為水環(huán)境管理控制和工程應(yīng)用提供理論指導(dǎo)和技術(shù)支持。分形理論最早在1982年由羅德布羅特（Mandelbrot）提出，其研究對(duì)象是沒(méi)有特征長(zhǎng)度、局部和整體自相似的圖形。湍流的嵌套結(jié)構(gòu)和耗散結(jié)構(gòu)即是具有自相似性的證據(jù)，自1926年Richardson就猜測(cè)，在相當(dāng)大的標(biāo)度范圍內(nèi)，湍流由自相似的渦旋組成，1941年Kolmogorov提出了反映自相似結(jié)構(gòu)的能譜和結(jié)構(gòu)函數(shù)的分析表達(dá)式，隨后Mandelbrot和Frisch將均勻各向同性的Kolmogorov湍流模型擴(kuò)展到間歇性湍流模型，為利用分形這一新數(shù)學(xué)方法研究湍流奠定了理論基礎(chǔ)。隨著圖形圖像技術(shù)的發(fā)展，湍流信息越來(lái)越易于獲取，極大推動(dòng)了湍流分形特征研究的發(fā)展。2005年，Ali Naghi Ziaei測(cè)定了實(shí)驗(yàn)室水槽中Re=29000～85000的湍流速度分量ux，uy，以及雷諾切應(yīng)力的分形維數(shù)，分別為1.615，1.657和1.559，這與Kolmogorov模型中的流速度信號(hào)理論分形維數(shù)Df=5/3非常接近，為利用分形理論研究湍流運(yùn)動(dòng)指明了方向。

本論文中，采用有機(jī)玻璃模型模擬明渠，在水流中投入示蹤粒子跟隨水流運(yùn)動(dòng)，采用PIV技術(shù)測(cè)量水流速度場(chǎng)，通過(guò)分析水流的瞬時(shí)速度沿流線的發(fā)展規(guī)律，研究湍流速度場(chǎng)的分形特征。

2 實(shí)驗(yàn)裝置和研究方法

2.1 實(shí)驗(yàn)裝置

本論文的明渠模型采用有機(jī)玻璃和UPVC板制成，其構(gòu)造如圖1所示。模型主要分為三部分：進(jìn)水腔室、矩形斷面流槽和出流腔室。

圖1 明渠模型

試驗(yàn)水流首先經(jīng)進(jìn)水腔室消能后才能保證模型內(nèi)水流為重力流，腔室內(nèi)的水流為上向流，進(jìn)水口設(shè)在腔室底部，出水口設(shè)在上端，出流采用穿孔花墻布水，充分達(dá)到消能和穩(wěn)定進(jìn)水的功能。示蹤粒子與進(jìn)水的混合也在進(jìn)水腔室中完成，利用進(jìn)水的余壓，投加的示蹤粒子能夠與水流充分混合均勻。矩形斷面流槽是明渠模型的核心部分，流槽前段采用UPVC板制成，其主要功能是進(jìn)一步穩(wěn)定進(jìn)水水流；后段流槽由有機(jī)玻璃板制成，在此部分完成PIV的拍攝和測(cè)量。出流腔室的末端安裝堰板，通過(guò)調(diào)節(jié)堰板的高度，控制流槽內(nèi)的水位，從而達(dá)到控制流槽中水流速度的目的。本實(shí)驗(yàn)中考慮到工程流體中的常見(jiàn)水深和PIV系統(tǒng)拍攝范圍，控制流槽水深為400mm，平均水流速度約0.2m/s。

管道模型中的水流運(yùn)動(dòng)由PIV系統(tǒng)測(cè)量記錄，本論文的PIV系統(tǒng)包括空心玻璃微珠示蹤粒子、CCD視頻照相機(jī)、激光器、激光同步器以及二維PIV分析軟件等。試驗(yàn)通過(guò)拍攝示蹤粒子隨水流的運(yùn)動(dòng)，得到多組時(shí)間序列二維流場(chǎng)圖。

2.2 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法

圖2為流槽內(nèi)的速度場(chǎng)測(cè)量結(jié)果，測(cè)量范圍為靠近流槽底部190mm×160mm的區(qū)域，X軸為明渠流的流向方向，Y軸為垂向方向，流速速率的大小采用顏色區(qū)分。從速度矢量圖可以看出，流槽內(nèi)的水流狀態(tài)為湍流，水流速度的分布相當(dāng)無(wú)序，在不同的位置和時(shí)間上其大小和方向均不相同。同時(shí)能夠看出其中伴隨的渦旋運(yùn)動(dòng)，并且渦旋的大小均不相同，跨越尺度較大。

速度信號(hào)記錄同樣能夠反映出湍流是由不同的湍流渦旋所構(gòu)成的。雖然從狹義上講和流體湍流的運(yùn)動(dòng)圖像有所不同，但實(shí)際上這種信號(hào)序列反映的同樣是一種湍流。通過(guò)PIV測(cè)量計(jì)算，可以得到湍流速度在空間和時(shí)間上的分布，是湍流渦旋嵌套結(jié)構(gòu)的另一種反應(yīng)，測(cè)量湍流速度的分維采用“數(shù)盒子法”，主要分三個(gè)步驟進(jìn)行。第一步：根據(jù)PIV測(cè)量結(jié)果，繪制湍流瞬時(shí)速度在流向上的分布曲線。第二步：分別用邊長(zhǎng)ε=0.5、1.0、1.5、2.0、2.5、3.0、3.5、4.0、4.5、5.0的正方形網(wǎng)格分割速度分布曲線，數(shù)出含有曲線的正方形網(wǎng)格數(shù)N（ε）。第三步：繪制ε與N（ε）的雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖，求解斜率即為湍流速度信號(hào)的分維數(shù)。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析討論

3.1 速度在時(shí)間上的分維數(shù)求解

通過(guò)PIV速度場(chǎng)測(cè)量結(jié)果，得到湍流瞬時(shí)速度在流向上的分布曲線，如圖3所示。速度信號(hào)的變化曲線曲曲折折，與以往受統(tǒng)計(jì)理論影響，試驗(yàn)獲得的數(shù)據(jù)我們都習(xí)慣將它們描繪成光滑曲線完全不同，彎曲復(fù)雜的曲線實(shí)際上包含了湍流運(yùn)動(dòng)的大量信息，湍流速度變化用傳統(tǒng)思路來(lái)看是混亂、隨機(jī)的，但引入分形的概念，這種隨機(jī)混亂的程度可以用分?jǐn)?shù)維來(lái)表示。

利用“數(shù)盒子法”，得到網(wǎng)格邊長(zhǎng)ε與含有曲線的網(wǎng)格數(shù)N（ε）的雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖，求解湍流速度信號(hào)的分維數(shù)如圖4所示。

湍流速度沿著流向的發(fā)展，存在某一尺度范圍的自相似性，在網(wǎng)格ε=0.5～5mm范圍內(nèi)，流向速度在流向上的分維數(shù)D=1.4723，回歸相關(guān)系數(shù)為0.9144。

3.2 速度分形維數(shù)隨流向發(fā)展的變化

維數(shù)在空間上的沿程變化，發(fā)現(xiàn)其規(guī)律也是有所不同的。如圖5所示。

圖5 速度在不同區(qū)域中的分維測(cè)量結(jié)果

從圖中可以看出速度信號(hào)分維D在空間沿程方向上是逐漸減小的，隨著湍流的發(fā)展，能量逐漸耗散，反映為速度變化趨于平緩，分維D也逐漸減小，這是容易理解的。應(yīng)該注意的是，對(duì)于湍流運(yùn)動(dòng)，其湍流特征尺度如積分尺度、耗散尺度，Kolmogorov尺度等都是隨空間變化的，并不是一個(gè)固定值。

4 結(jié)束語(yǔ)

本論文利用PIV技術(shù)的測(cè)量結(jié)果進(jìn)行了分形維數(shù)的測(cè)算，研究了明渠湍流速度信號(hào)的分形特征，主要形成了以下結(jié)論。（1）求解了明渠湍流速度信號(hào)在流向上的速度分維數(shù)為1.4723。（2） 對(duì)于明渠恒定流，沿著流向方向，隨著湍流的發(fā)展，速度信號(hào)的分形維數(shù)逐漸減小，反應(yīng)出湍流能量逐漸耗散衰減的過(guò)程。（3）測(cè)量分形對(duì)象的盒維數(shù)，網(wǎng)格大小ε決定了測(cè)量的精度，對(duì)于自相似程度不同的分形對(duì)象，所需要的測(cè)量尺度是不同的。

參考文獻(xiàn)

[1]黃真理.湍流的分形特征[J].力學(xué)進(jìn)展，2000，30（4）：581-595.

[2]S. Orey Z. Wahrscheinlichkeitstheorie[M]. Verw. Geb， 1970.

[3]黃真理，李玉梁，余常昭.湍流射流的分維測(cè)量[J].科學(xué)通報(bào)，1994，39（6）：567-570.

[4]黃真理，李玉梁，余常昭.圓形湍流射流的分維測(cè)量和分析[J].自然科學(xué)進(jìn)展—國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室通訊，1995，5（2）：191-195.

[5]Ali Naghi Ziaei， Ali Reza Keshavarzi， Emdad Homayoun. Fractal scaling and simulation of velocity components and turbulent shear stress in open channel flow[J]. Chaos， Solitons and fractals， 2005， 24：1031-1045.

[6]李蕊言.基于PIV技術(shù)的明渠湍流分形特征研究[D].重慶大學(xué)，2013.

[7]梁東方，李玉梁，江春波.測(cè)量分維的“數(shù)盒子”算法研究[J].中國(guó)圖象圖形學(xué)報(bào)，2002，7（3）：246～250.