怎樣快、準、狠求二次函數解析式

【摘 要】解二次函數解析式是中學數學綜合應用題的重點內容。本文通過舉例分析、歸納了如何靈活運用待定系數法快速、準確地求二次函數解析式的五種方法：一般式法、交點式法、頂點式法、平移法、旋轉法。

【關鍵詞】二次函數 解析式 解法技巧

【中圖分類號】 G 【文獻標識碼】 A

【文章編號】0450-9889（2015）03B-0075-02

二次函數在中學數學中占據重要地位。歷年來，二次函數綜合題都作為重要的題目出現在考試中。解決這類綜合題關鍵一步是求二次函數解析式。求二次函數解析式是難點，求法也錯綜復雜，無論采用哪種方法求解，都可歸納為待定系數法。根據筆者的教學經驗，在此講解求二次函數解析式的五種常用的方法：一般式法、頂點式法、交點式法、平移法、旋轉法。

首先要記住二次函數解析式有三種表達式：

1.一般式：y=ax2+bx+c （a≠0）。

2.頂點式：y=a（x-h）2+k （a≠0），頂點（h，k）。

3.交點式：y=a（x-x1）（x-x2） （a≠0）（其中x1，x2是拋物線與x軸兩個交點的橫坐標）。

下面以實例說明，如何快、準、狠求出二次函數解析。

一、靈活運用一般式解題

例1 已知二次函數的圖象經過（1，0），（-2，3），（-1， 4），求這個函數的解析式。

〖技巧點撥〗

本題給出二次函數圖象經過不同三點的坐標，通常可設一般式：y=ax2+bx+c （a≠0）， 其中a表示二次項系數，b表示一次項系數，c表示常數項。因為滿足二次函數解析式的點，一定在這個二次函數的圖象上，反過來，二次函數圖象上點的坐標一定滿足這個二次函數解析式。所以將已知三點的坐標分別代入一般式，構成三元一次方程組，解方程組得a，b，c 的值，再代回所設的函數關系式，即為所求的二次函數解析式。

二、靈活運用頂點式解題

例2 已知二次函數圖象頂點為（1，3），且過點（2，4），求該二次函數的解析式。

〖技巧點撥〗

已知拋物線的頂點坐標或對稱軸或最值，解題時通常可設頂點式：y=a（x-h）2+k （a≠0），其中（h，k）是拋物線的頂點坐標，把頂點坐標和經過的點的坐標分別代入頂點式，即可求出 a 的值，從而求得二次函數的解析式。

當然，頂點式有時也可轉換為一般式，如本題中給出了頂點坐標，從而得出函數的對稱軸為直線x=1，根據二次函數圖象的對稱性，很容易求出點（2，4）關于對稱軸為對稱的對稱點（0，4）。頂點加上兩個對稱點，就得到了三點，也就滿足了二次函數一般式的條件了，這樣也可用一般式求解。顯然，用二次函數頂點式解答比用一般式解答簡便多了。

通常已知兩點的坐標是不能求出 a，b，c 的值的，也就是說不能用一般式來求解析式。由于頂點式中要確定a，h，k 的值，而已知頂點坐標就是h和k 的值。用頂點式時，只要給出另一點的坐標就能確定 a 的值，即可求出二次函數解析式。所以，當已知拋物線的頂點坐標，或能夠先求出拋物線的頂點坐標，對稱軸，最大值或最小值，圖象與x 軸截得的線段長等條件時，設頂點式解題十分簡潔，這樣用已經的點的坐標就能確定未知數 a ，從而求得解析式。在應用題中，有關隧道、橋拱、投籃、彈道曲線等問題，一般用二次函數頂點式求解比較簡便。

三、靈活運用交點式解題

例3 已知拋物線與 x 軸交點坐標為（-1，0），（2，0），且過點（1，2），求二次函數的解析式。

〖技巧點撥〗

本題已知三點坐標，可用一般式求二次函數解析式；又因為已知有兩點是拋物線與x軸的兩個交點，也可用交點式求二次函數解析式，經比較用交點式解答，比較簡便.

例4 已知二次函數圖象經過A（-2，0），B（4，0），C（0，-2）三點，求此二次函數的解析式。

〖技巧點撥〗

很多同學看到此例，會想到用二次函數一般式求解，將已知三點坐標分別代入一般式去，通過解三元一次方程組，求得a，b，c 的值，即可得所求的二次函數解析式。而往往忽略了 A和B 兩點的坐標是二次函數圖象與x軸的交點坐標這個特點，如果利用這個特點，用交點式來求解就相對比較簡單、容易。

例5 若二次函數經過點（2，0），（4，0）且函數最小值是-2，求函數解析式。

〖技巧點撥〗

方法一：本題可直接設為交點式y=a（x-2）（x-4），然后根據最小值為-2，求得頂點坐標為（3，-2），再把頂點坐標代入交點式得a=2，從而得出二次函數解析式為y=2（x-2）（x-4），即y=2x2-12x+16。

方法二：本題也可以（下轉第82頁）（上接第75頁）根據已知條件的兩個交點坐標，求出對稱軸x=3，從而求出頂點坐標（3，-2），可設二次函數頂點式解題，較為簡便。

方法三：從上面兩種方法可知頂點坐標是容易求出來的，因有三點坐標，可用一般式求解，但這種解法太麻煩。

通常，若已知拋物線與x軸有兩個交點，或對稱軸時，選交點式解答比較簡單。

四、用平移法解題

例6 把函數y=x 2+4x-5的圖象向右平移3 個單位，再向上平移2 個單位，求平移后拋物線的解析式。

〖技巧點撥〗

先把函數y=x 2+4x-5 進行配方，得到頂點式：y=（x+2）2-9，把圖象向右平移2 個單位，得到y=（x+2-2）2-9，再向上平移3 個單位，得到y=（x+2-2）2-9+3，化簡得二次函數解析式為y=x2-6 。

用平移法求二次函數解析式時，要先通過配方把解析式化為頂點式，牢記：在平移過程中，二次項的系數不變，只是拋物線的頂點位置發生改變。在平移過程中，按左加，右減，上加，下減的方法進行。

五、用180°旋轉法解題

〖技巧點撥〗

記住： 旋轉180°，只是拋物線的開口方向發生了變化，由開口向上（下）變為開口向下（上），但拋物線的頂點位置沒有改變，所以可用頂點式：y=a（x-h）2+k求解，只要將 a 的符號改變，即可求出二次函數解析式。

上面介紹了五種求二次函數解析式的方法。這五種求法有利有弊，用頂點式和交點式解題比較簡單，但是受條件限制，不是所有題目都能用。如果題目出現頂點或與頂點有關的條件時，用頂點式解題，比較簡便；如果題目出現與x軸相交的交點坐標，或隱含與交點坐標有關的條件時，就用交點式解答比較簡便；如果條件是給出經過不同的三點的坐標時，則用一般式解答，比較明了，但解題時要用到三元一次方程組的解法（在初中階段是選學內容），很多同學不掌握。雖然用一般式求二次函數解析式是易掌握易理解運用，但三元一次方程組難解，也成為學生的難點。

總之，求二次函數解析式的方法比較靈活，在解答有關二次函數的綜合題時，采用哪種方法解答比較簡便，就必須仔細分析題目給出的已知條件，結合圖形以及二次函數的有關性質來選擇解法。平時訓練時要注意總結解題規律，看有多少種基本解法，要做到心中有數。只有這樣才能選擇適當方法來解答，使計算過程簡單化，達到迅速解題的目的。這就是快、準、狠求二次函數解析式的技巧。

（責編 盧建龍）