冪級(jí)數(shù)在不等式證明中的一些應(yīng)用

【摘 要】以兩個(gè)冪級(jí)數(shù)展開式，x∈（-1，1）和，x∈（-∞，+∞）得出的結(jié)果為基礎(chǔ)，探討冪級(jí)數(shù)在不等式證明中的一些應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】?jī)缂?jí)數(shù) 展開式 不等式

【中圖分類號(hào)】G【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2015）03B-0073-02

不等式的證明在數(shù)學(xué)中有著舉足輕重的作用和地位，是數(shù)學(xué)內(nèi)容的重要組成部分，引起許多學(xué)者的廣泛關(guān)注。冪級(jí)數(shù)又是分析數(shù)學(xué)的重要工具，其在不等式的證明、函數(shù)逼近論等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，其中，結(jié)合冪級(jí)數(shù)展開式，x∈（-1，1），獲得如下結(jié)果：

定理A 對(duì)任意的a，b，c∈（-1，1），恒有

，及

結(jié)合冪級(jí)數(shù)展開式，x∈（-∞，+∞），可獲得如下結(jié)果：

定理1 對(duì)任意的a，b，c∈（-∞，+∞），恒有

定理2 對(duì)任意的a，b，c∈（-1，1），恒有

定理3 對(duì)任意的x，y，z∈（-∞，+∞），恒有

受以上啟發(fā)，本文結(jié)合一些新的冪級(jí)數(shù)的展開式，給出了一些新的不等式及其證明，并推廣了以上的結(jié)果。為了獲得本文的結(jié)果，先給出如下幾個(gè)關(guān)鍵引理：

引理1 對(duì)任意的a，b，c∈（-∞，+∞），n∈N（自然數(shù)集），恒有

引理2 對(duì)任意的a，b，c∈（-1，1），n∈N（自然數(shù)集），恒有

引理3 對(duì)任意的x，y，z∈（-∞，+∞），n∈N（自然數(shù)集），恒有

引理4 ，x∈（-∞，+∞），a>0

引理5 ，x∈（-1，1）

引理6 ，x∈（-1，1）

引理7

主要結(jié)果及其證明如下：

定理2.1 對(duì)任意的a，b，c∈（-∞，+∞），d>2，恒有

證明 由引理1可得

上式關(guān)于n累加可得

結(jié)合引理4可得

定理2.2 對(duì)任意的a，b，c∈（-1，1），d>1，恒有

證明 由引理2可得

，n=0，1，2，···

上式關(guān)于n累加可得

結(jié)合引理4可得

定理2.3 對(duì)任意的x，y，z∈（-∞，+∞），恒有

證明 由引理3可得

n=0，1，2，···

上式關(guān)于n累加可得

結(jié)合引理4可得

注1：如果取d=e，則定理2.1，定理2.2，定理2.3分別變?yōu)槲牡亩ɡ?，定理2，定理3.

結(jié)合引理7，類似定理2.2和定理2.3的證明，可得

定理2.4 對(duì)任意的a，b，c∈（-d，d），這里d>0，恒有

及

注2：在定理2.4中，如果取d=1，則定理2.4變成文中的定理A。

結(jié)合引理5，類似定理2.1、定理2.2、定理2.3的證明，可得

定理2.5 對(duì)任意的a，b，c∈（-1，1），恒有

定理2.6 對(duì)任意的a，b，c∈（-1，1），恒有

定理2.7 對(duì)任意的x，y，z∈（-1，1），恒有

結(jié)合引理6，類似定理2.1、定理2.2、定理2.3的證明，可得

定理2.8 對(duì)任意的a，b，c∈（-1，1），恒有

定理2.9 對(duì)任意的a，b，c∈（-1，1），恒有

定理2.10 對(duì)任意的x，y，z∈（-1，1），恒有

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（責(zé)編 盧建龍）