高中生發散性數學思維品質培養的探索

【摘要】數學與思維有密切的關系，數學課程既是數學思維活動的過程，也是數學思維活動的結果。培養學生良好的數學思維品質，提高高中生的數學素養是當前數學教師應當重視和關注的問題。文中探討培養學生的發散性數學思維品質的有效方法。

【關鍵詞】高中數學 思維 思維品質 發散性數學思維品質 方法 多維度

【中圖分類號】G【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2015）06B-0106-02

數學是高中生的一門重要課程，同時數學也是鍛煉思維的“體操”，數學與思維有密切的關系，數學課程既是數學思維活動的過程，也是數學思維活動的結果。然而，現在相當多的高中生的數學素養卻不盡人意。其中原因之一是廣西的高中數學才進入課改不久，而小學、初中從2002年已經全面進入課改，快十年了，這種現象也造成了高初中知識嚴重脫節，使得剛上高中的學生很難適應高中的學習。這種高初中之間的“磨合期”越長，對學生的學習積極性打擊就越大；“磨合期”越短，對學生的發展就越有利。也因這種“磨合期”太長，使得有的學生甚至放棄了數學的學習，放棄了高考。因此，培養學生良好的數學思維品質，提高高中生的數學素養是當前數學教師應當重視和關注的問題。

一、發散性數學思維品質的內涵

思維的發生和發展，既服從于一般的普遍的規律性，又表現出個性差異。這種個性差異在個體思維活動中的智力特征方面就是思維的品質，而數學思維品質則反映了個體間數學思維發展水平的差異。它是衡量數學思維優劣，判斷數學能力高低的主要指標。發散性數學思維品質是重要的數學思維品質之一。

數學思維的發散性，也叫數學思維的廣闊性，是指思路較為廣闊，善于全面地看問題，不但能夠抓住所研究的問題的本質屬性，而且還能關注且抓住和它有關的細節問題，多維發散思考問題，找到解決問題的方法的思維品質，也稱為“立體思維”。

二、數學發散性思維的特點

數學發散性思維具有流暢性、變通性、獨特性和多感官性等特點。流暢性指思維者在盡可能短的時間內生成并表達出盡可能多的數學思維觀點以及較快地適應、消化新的數學概念和數學思想方法。流暢性反映的是數學發散性思維的速度和數量特征，與數學機智密不可分。變通性就是指思維者根據客觀的或已知條件的變化及時地改變和調整固有的思維框架，按照某一新的方向來思索數學問題的過程。變通性則經常借助類比和比較、命題轉換、觸類旁通等手段，使數學發散性思維沿著不同的方向擴散，呈現出其豐富的多樣性和多面性。獨特性指思維者在思維過程中做出新穎的異于他人的奇特反應的能力。獨特性是數學發散性思維的最高目標。多感官性是指思維者不僅運用視覺思維和聽覺思維，而且也充分利用其他感官接收信息并進行加工，捕捉瞬間靈感。這就要求教師在研究教材和資料上也要多維度、多角度地更深層地挖掘和思考問題，提出適當的問題，引導學生在把握數學問題的基本特征的同時也不要忽略數學問題特殊的因素和重要的細節，以自己以往的知識和經驗，放開思路進行思考，解決問題，以達到培養和鍛煉學生的數學思維的發散性的目的。其實它也同時鍛煉了教師的發散性數學思維品質。

三、培養發散性數學思維品質的方法

在數學的教學過程中，教師可以借助以下的方法去培養學生的發散性數學思維品質。

（一）素材發散法，即以某個素材為發散點，聯想與它有關的其他素材，尋找其中的內在關系，發揮它們的用途，達到解決問題的目的。

案例一：在高三的專題復習中，我們可以給學生提出這樣一個問題：“1”有什么妙用？此時，我們可以給學生分組自由討論的時間，讓他們自己歸納總結，最后教師可以將學生的討論結果，按用途分為幾類：

1.作為中介用于比較法中，例如比較log21.67，log0.350.27的大小，可以由對數的單調性得 log21.67log0.350.35=1 ，因此得log21.67

2.依據“互為倒數的兩個數的積等于 1”用于其他常用的式子或證明中，例如，a·a-1=1，logab·logba=1，tanα·cotα=1，sin α·cseα=1，cse α·sec α=1，等；

3.作為公式中的固定值或性質用于恒等變換中，如，sin2α+cos2α=1，sec2α-tan2α=1，csc2α-cot2α=1，a0=1，logaa=1，，，等；

4.在概率中，兩個對立事件有一個發生的概率為；

5.在正態分布中，正態分布曲線與 x軸所圍成的面積為1；

6.一些特殊的值：sin90°=1，cos0°=1，tan45°=cot45°=1等。

也可以按知識的類別來分，通過這樣的分類發散，再組合，使學生熟悉掌握“1”的特性和“1”的變式，在解題的過程中可以進行廣泛地聯想和發揮，可使解題過程簡潔化，能順利解決問題。

（二）結構發散法，即以題設或結論的結構為發散點，設想出利用該結構的各種可能性，以達到最佳的解題效果。

案例二：已知x1，x2，y1，y2，均為實數，證明

①

從本題的結論的結構看，很多學生比較容易想到去根號、作差法證明不等式等方法，但是這些方法的計算過程非常繁鎖，而且容易出錯。在課堂上如果我們能夠引導學生對題目中的數學關系及結構特征進行細致地觀察和分析研究，擺脫過去的經驗的束縛，拓寬思路，就會發現：（Ⅰ）它與坐標平面上兩點間距離公式的結構極為相似；（Ⅱ）它與向量的模及其性質的結構相似。因此得到兩種解法：

解法一：由（Ⅰ）聯想，不妨設點A（x1，y1），B（x2，y2），O（0，0）

（1）當點O在線段 AB上時，有；

（2）當點O在有向線段AB或BA的延長線上時，則有；

（3）當點O不在直線 AB上時，點A（x1，y1），B（x2，y2），O（0，0）構成△ABO，由三角形性質得，綜上所述，不等式①成立。

解法二：由（Ⅱ）聯想，不妨設向量，，則=，=，=

由向量的性質同樣得到，所以不等式①成立。

對于這兩種證明既簡潔明了，又復習了向量和點線的位置關系，而且避免了復雜的計算，具有獨到之處。對拓展學生思路，活躍學生思維大有益處。

（三）功能發散法，即從某已知條件的功能出發，設想出獲得該功能的各種可能性，依據此功能解決問題。

案例三：對于圓錐曲線的統一定義“曲線上任一點到定點的距離和到定直線的距離的比等于一個常數，即離心率”。它的功能就是將幾何中的距離問題轉化為與離心率有關的計算，通過代數解決幾何問題。

例如，已知橢圓中，A（-1，-1）是橢圓內一點，P為橢圓上任意一點，F為橢圓的右焦點，求的最小值。

分析：對于此問題，如果沒有想到橢圓的第二定義，即圓錐曲線的統一定義，是非常難以解決的，所以它起到了“一兩撥千斤”的作用。

有學生會問，為什么會想到用橢圓的第二定義？因此，我們在解析這道題時，應該引導學生觀察，橢圓的標準方程已經給出，可求出離心率，恰好是的系數，而是橢圓上的點與焦點的距離，有離心率，也有橢圓上的點與焦點的距離，那自然與橢圓的第二定義扯上關系。

解法：由橢圓的第二定義得，則

則將求（）的最小值轉化為求（）的最小值，當A，P，D共線且為右準線的過點A的垂線段時，（）為最小值。因此（）的最小值為。

若將橢圓改為雙曲線、拋物線，仍然可以運用這個統一定義解決與離心率有關的距離計算問題。學生通過這樣的練習，不但可以加深對知識的理解，而且還可以喚起大腦中所熟悉的與新問題相關聯、相類似的模式，進行新舊知識的遷移，達到解決問題的目的。

除此，還有演繹發散、假設發散、方法發散、組合發散等多種發散思維的方法，不管哪一種方法，最終的目標都是為了加強對學生思維的訓練，以達到培養學生的良好的發散性數學思維品質，為培養學生的創造性思維打下良好的應用基礎。

四、避免思維的狹隘性

思維的發散性的反面是思維的狹隘性，具體表現為學生在思考問題時較為呆板，按照一種思路做到底，做不出也不懂換方法，走入了死胡同也不知回頭。思維處于一種封閉狀態，跳不出條條框框，得不到主動發展。這勢必會造成學生的片面和狹隘的思維方法，對培養學生的思維能力帶來極大的消極作用。

案例四：已知函數f（x）在區間[-1，1]上是奇函數，且單調遞增，求不等式的解。

很多學生在解此題時只想到運用奇偶性和單調性解得-1

已知函數f（x）在區間[-1，1]上是偶函數，且在[0，1]上單調遞增，求不等式的解。

這道題的條件改變了，還隱含另一個隱性條件：由于，所以有，若，則。利用這個條件，可以避免分類討論的不完整，使解答更精煉。

通過這種變換和轉化，從不同的維度擴大學生的視野，多角度開拓學生的思維，克服思維定勢的消極作用，使所學的方法可得到廣泛的應用，提高學生的思維能力。

我們在教學過程中，應盡量引導學生多角度觀察和思考問題，象淘寶一樣去淘出尋求解決問題的方法。同時也要求教師不僅要加強自己的專業素養，而且也要加強其他綜合學科的學習，加強對教學過程的調控能力的培養，拓展自己的知識面，做到多才多藝，為培養學生的數學思維品質提供優越條件。

【參考文獻】

[1]朱水根，王延文.中學數學教學導論[M].北京：教育科學出版社，1998.10

【作者簡介】姚明強（1977.11—），男，本科，中教一級，畢業于廣西師范大學數計學院，現就職于玉林高級中學。

（責編 盧建龍）