基于認知負荷理論下的對數概念教學的探討

【摘要】從本三個方面詳細講解對數概念的教學方法，讓學生承受的內在負荷與外在負荷降低，增加其相關認知負荷，從而更好地掌握對數概念，并有效地運用對數概念解決數學問題。

【關鍵詞】對數 概念 認知負荷 圖式建構。

【中圖分類號】G【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2015）06B-0072-03

對一個數學概念的學習，并不僅僅在于能記住它、表達出它的定義、認識它的代表符號，而且要真正能夠理解和把握它的本質屬性，并能運用它來解決問題。對數函數是高考的一個熱點。對數概念掌握不好，將會直接影響到學生對很多與對數函數有關的題目的理解和把握，導致各種的錯誤的發生。所以說對數概念是數學的一個基本而又重要的概念。本文將圍繞對數概念的講解策略，從對數概念的應用等方面對對數概念教學進行探討。

一、問題的提出

高三的同步訓練中有這樣一道題：

函數的定義域是（ ）

A.（1，2）∪（2，3） B.（-∞，1）∪（3，+∞）

C.（1，3） D.[1，3]]

解答過程如下：

由解之得，故選 A

這道題的考查目的就是為了讓學生熟練掌握函數的定義域的求法，把握好基礎知識，但結果答對的只有少數幾個，相當多的學生根本不知道怎么入手，看見log就頭痛，20%的學生的答案為C。最后，很多學生對解答過程提出問題：可以理解，那是因為真數要求大于0，但為什么還要這個條件？若把題目換成求函數的定義域，大部分的學生馬上可以回答是。這時候才有同學醒悟過來，原來還要考慮分母不為0。可為什么是≠1？只有極少的學生知道原因所在。

高三了，仍有相當多的學生對對數的定義和性質掌握不好，理解膚淺，有的甚至連最基本的對數和指數的互化都不懂。其他班的情況也好不到那里去。在普通高中里，這種情況不是一屆兩屆學生的問題，而是我們在數學教學中一直都頭痛的問題。那么，我們的對數概念的教學應該如何進行才能讓學生理解并掌握呢？

對數概念是數學的一個基本而又重要的概念。對數概念掌握不好，將會直接影響到學生對對數函數的理解和掌握，影響到很多與對數函數有關的題目的理解和把握，導致各種錯誤的發生。而且，對數函數是高考的一個熱點，通常以選擇題或填空題的形式考查對數函數的圖象和性質；或者與不等式等其它知識相結合，出現在解答題中。但我們知道，學好一個數學概念，并不僅僅在于能記住它，把它背下來，能表達出它的定義、認識它的代表符號，而是要真正能夠理解和把握它的本質屬性，弄清它的內涵和外延，并能運用它來解決問題。而這一點，也正是學生要學好數學的原因所在。

在高一的課程中，首先安排了對數概念和對數的運算法則的教學和學習，然后再安排對數函數的教學和學習。分步教學，逐層加深。而“對數”這個概念對高一的學生而言，是個陌生而且抽象的東西，首先在心理上就對它產生了排斥；再次對新概念不理解，導致對性質、公式的不理解，加上運算能力差，怕麻煩，對對數的計算不耐心，產生放棄的心理。因此，相當多的學生在遇到對數時，情愿放棄也不愿多思考，多總結，多練習。一而再，再而三，也就忽視了對這個概念的理解，導致遇到對數就避開，積累下來，問題就更難以解決了。本文將圍繞對數概念的講解策略結合自己的經驗對對數概念教學進行一點探討。

二、對數的講解策略

學生對概念的學習就是一個對概念的認知過程。從認知理論上來說任何教學都會引起三種認知負荷。澳大利亞心理學家J.Sweller等認為“認知負荷就是將特定工作加在個體認知系統時所產生的負荷量”。認知負荷包括內在認知負荷、外在認知負荷和相關認知負荷三種基本成分。內在認知負荷是指由于元素間交互形成的負荷，內在認知負荷取決于所要學習的材料的本身的難易程度和復雜性與學習者的原有的知識水平之間的交互，教學設計者不能對它產生直接的影響但可以進行控制；外在認知負荷是超越內部認知負荷的額外負荷，它與不合理的教學設計、教材的呈現方式和教學活動的組織有關，也稱為無效負荷或無關負荷。能通過教學內容的重組和設計進行調整，降低額外負荷量；相關認知負荷是指與個體主觀領域相關的信息，指個體在圖式建構和自動化過程中所投入的認知資源的數量，它與個體的認知努力有關，提高學生個體的相關認知負荷，可以引導學生利用剩余認知資源進行深層次的圖式建構，將知識存于長期記憶中，降低工作記憶的負荷量。由于內在認知負荷、外在認知負荷和相關認知負荷具有疊加性，且三者之和不超過工作記憶總的負荷量，若超過工作記憶所能接受的范圍，就會產生焦慮、壓力和煩惱，并影響學習的績效。因此，對于每一個教學內容，若想要獲得好的學習效果，則對該教學內容的設計和活動的組織必須考慮到這三種認知負荷，使學生所承受的總負荷量不超過其工作記憶的總負荷量。對于對數概念的教學，首先要引入得當，對教學設計要合理，這樣就會讓學生承受的內在負荷與外在負荷降低，增加其相關認知負荷。下面將從這三個方面具體談談對數概念教學的一些體會。

（一）充分考慮教材的特點、學生的知識水平和接受能力的交互作用，控制內在負荷量的增加

我們可以先從一個比較常用的問題出發，在講對數的概念之前，先舉一個利息計算的問題的例子。如，你手頭有5萬元，存進銀行，每年的利率為2.25%，試計算需要多久，連本帶利共有10萬元？

這是發生在學生的生活當中一個常見的問題，是他們所熟悉的感興趣的問題，因而會激起學生強烈的好奇心。而且這與所學過的指數運算有關，通過這樣一個平臺，降低學生所承受的內在負荷與外在負荷。再因勢利導，引導他們積極思考問題“應該怎樣去解決這個問題呢？”因而可以這樣分析：

根據題意，我們可以利用方程的思想，由“求什么就設什么”，可設需要x 年，連本帶利共有10萬元，則可列出式子

5×（1+2.25%）x=10

化簡得 1.0225x=2

對于這個指數式，相當多的學生是既熟悉又陌生的，若方程是2x=8，由于23=8，他們可以得出答案為x=3，因為2x=8=23，可求出x=3，但是1.0225x=2中，這個底數1.0225與右邊的2不像2和8那樣具有這種明顯的指數關系，因而要解決這個問題，就得另辟捷徑了。

在解決這個問題之前，我們可以先復習這樣一個問題：若2+x=6，怎樣求出x？這是小學生也能回答的問題。即x=6-2，x=4。提出x+2=6是加法，而求出x時，x=6-2=4所運用的是減法，那么加法和減法有什么關系？學生都可以回答是互為逆運算，進而可以提出，互為逆運算，可以解決加減法的計算問題，同樣的，它也可以解決乘除法的計算問題，那么，它能否解決指數的計算問題呢？

通過這個問題的提出，給學生指出了一條解決問題的路徑，那就是找到指數運算的逆運算。但是它的逆運算是什么呢？此時，我們可以告訴學生，這就是我們將要學習的新內容——對數。

通過這樣的一個課前引入，讓學生在接觸到新的概念之前，就已經有了一個強烈的感知，他們要學的是指數運算的逆運算。減輕他們對新概念的排斥力，從心理上給他們吃下一顆定心丸，降低他們認知的無關負荷，增強他們有效的相關認知負荷。

（二）合理設計教學過程，降低無關負荷對學生的知識的圖式建構和記憶的負面影響

那么，什么是對數呢？引進課本的概念，若a（a>0，a≠1）的b次冪等于N，就是ab=N，那么數b叫做以 a為底N 的對數，記做lagaN=b，其中 a叫做對數的底數，N 叫做真數。

其中“log ”是對數（logarithm）的符號，是對數的拉丁文logarithm的縮寫，與“+”“-”的作用相當。說明了“log ”的作用和來源，減輕了學生對它的恐懼感，增加了學生對對數的理解和認識。這樣，有助于降低外在負荷的影響，增強有效負荷的承受力。

由于概念中是直接由指數式ab=N定義對數式lagaN=b 的，那么這兩者之間的關系必然密不可分，這就讓學生不由自主地回憶起剛才的第一個認識——它們是互為逆運算。再引導學生觀察指數式ab=N和對數式lagaN=b這兩個式子，看看對應的字母的位置有什么變化？

在此過程中，教師的作用僅在于引導學生觀察和分析，讓學生在觀察和分析的過程中建立自己對知識的圖式建構，內化為自己的知識。

然后，通過讓學生自己觀察、填空，分組討論得出以下問題的結論。

（1）42=16 log4（ ）=2

（2）log42=（ ）

（3）102=100log（ ）100=2

（4）m-2=n logm（ ）=-2

（5）log525=25（ ）=25

（6）4-2=（ ）

（7）log1010000=4（ ）4=10000

（8）loge10=2.303e（ ）=10

通過圖形中字母的位置的變化，鞏固學生自己建構起來的知識網絡，增強有效的相關認知負荷；也可以通過圖形中字母的位置的變化，明確指數運算和對數運算這兩個逆運算之間的變化規則，并用于實際計算中。通過這樣數形結合，加強學生的感性認識，掌握指數式和對數式之間的互化的規律，達到掌握概念的目的。然后，因勢利導，引進常用對數（以10為底的對數）和自然對數（以 e為底的對數）的定義，分別簡記為lg N和lnN。

利用表格將指數式的一些性質列出，讓學生對應找出對數式的性質。

學生通過此表格，可以利用指數式和對數式之間的互化，將loga1=0，logaa=1寫出，進而用文字將“零和負數沒有對數”，“1的對數為0”，“底數的對數為1”這幾個性質總結出來。

基于大腦皮層的結構和人腦的認知結構，人腦對圖形語言所反饋的信息的接受力比對文字敘述所反饋的信息的接受力要強得多。利用圖表來建構數學知識，直觀形象，使學生更利于理解和接受，然后內化為自己的更深層次的圖式建構，將信息存于自己的長期記憶中。這對增強學生的有效認知負荷，降低無關負荷的影響，使工作記憶總負荷量達到平衡起到極為重要的作用。

通過圖表的類比策略，不僅幫助學生復習舊的知識，還通過新舊知識的遷移，達到學習新知識的目的。多個類比源多次類比，有助于學生形成更為抽象的圖式，它可以增長學生的類比經驗，幫助學生形成感知知識結構的思維傾向，更好地提取信息的一般規律，用于解決不同表征的問題，降低學生的無關負荷的影響力。

另外，學習環境也影響著學生認知負荷的構成，創設一個良好的學習環境，讓學生伴隨著感知、聆聽、觀察、思維、陳述等認知過程的介入，以及信心、興趣、成功或失敗等情感因素的介入，可以有效地降低無關負荷的影響，增強有效的相關認知負荷。因此，可以在課堂上組織學生進行分組討論，合作學習，將學習的主動權交還給他們自己。這樣不僅促進學生的自主思考，而且通過相互間的交流，鍛煉他們的表達能力和團結協作的精神，這要比教師唱獨角戲要有效得多。

（三）精選例題，鞏固概念，通過對概念的初步感知，將學生建構的概念的圖式存于長期記憶中，降低工作記憶的負荷量，不超出工作記憶所能接受的總負荷量。

總而言之，我們要加強對數學概念教學的研究，合理運用各種教學策略，遵循學生的思維方式和認知特點把復雜的概念簡單化。運用學生熟悉的情景教學，舉例示范，變抽象為具體，能有效降低學生的內在與外在無關認知負荷。讓學生多觀察，多思考，提煉自己對知識的圖式建構。多分析概念中的關鍵詞，幫助學生弄清楚概念的內涵與外延，增加有效的相關認知負荷。從而激發學生的學習興趣，促進學生自主學習，提高課堂效率。

【參考文獻】

[1]陳巧芬.認知負荷理論及其發展[J].教育技術學報，2008（9）

[2]喻平.數學教育心理學[M].北京：北京師范大學出版社，2010

【作者簡介】黃靜（1981- ），女，本科，中教一級，畢業于廣西師范大學數計學院，現就職于玉林高級中學。

（責編 盧建龍）