發散思維教學法在高中“圓錐曲線和方程”教學中的應用

【摘 要】文章簡要講解發散思維的概念，從三個方面闡述在高中數學課堂中培養發散思維的方法，并以一道典型的圓錐曲線和方程的例題來進行詳細講解，為同行提供參考。

【關鍵詞】發散思維 高中數學 圓錐曲線和方程

【中圖分類號】G【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2015）10B-0086-02

數學是一門工具學科，數學能力的培養對于其他學科的學習也有著很大的幫助。隨著素質教育的推進，新時期的教育越來越重視學生綜合能力的培養。發散思維能力是創新思維的重要內容，尤其是在高中數學教學中培養學生發散思維能力的意義重大。為此筆者以“圓錐曲線和方程”一課為例，探索在高中教學中培養學生發散思維能力的方法。文章從一道典型的圓錐曲線和方程例題為切入點，總結和歸納數學課堂發散思維教學的策略和方法。

一、發散思維的概念

思維是人類大腦對客觀事物規律和特性做出的直接或間接概括性反應，是人類在經驗基礎上對客觀事物的進一步認知。發散性思維就是能夠在已有信息和知識結構的基礎上進行思維發散，從更多的角度和方向去思考問題。體現在數學問題以及數學能力中，就是能在已知數學知識體系和結構的基礎上，使用更多的方法或者思路去解決數學問題。發散思維不僅是創新能力的組成，同時也是判定一個人創新能力的重要標準，對學生的未來發展有著重要的意義。

二、高中課堂教學中發散思維能力的培養方式

發散思維能力的培養有著重要的意義，發散思維能夠輔助創建良好的教學氛圍和情景，通過一題多解、一題多變、一圖多用等多種變換的方式激發學生的學習興趣和積極性，充分調動學生的求知欲，讓學生的思維更加活躍。

（一）從情感上給予啟迪

每個人都有個人的情感，思維是在情感活躍的基礎上進行的，人的情緒受到壓抑或阻礙下是很難進行思維發散和創新的，這一點在教學中是必須要注意的地方。為此在教學中必須注意對學生進行情感上的啟發，具體的做法大致有以下幾種：首先構建良好的師生關系，其次能夠有效地激發學生的學習動力和探索激情，最后讓學生維持學習的熱情。在課堂上讓學生情緒和思維處在一個活躍的狀態，是發散思維教學的重點。

（二）培養思考問題的方式

很多時候學生拿到題目后就下手做題，這種方式通常來說比較湊效，但是這種方式并不利于培養學生的發散思維能力。為了讓學生能夠在短時間內使用最為合理有效的方式解決問題，必須對學生進行發散思維能力的培養，積極引導和鼓勵學生從多個角度來分析和思考問題，抓住問題的核心和關鍵點，盡量避免從單一原因或者單一解題思路去解決問題。打破傳統的、中規中矩的思維模式，讓學生養成多角度思考問題的習慣，并在思維中尋求最佳的解決方案。特備是在高中階段，這對教師提出了更高的要求。教師可以通過逆向思維、探究思維等多種思維模式進行積極嘗試，培養學生思考問題的方式。

（三）創新解決問題的方式

解題的過程是學生思維運用的過程，通過培養學生一題多解、一題多變的能力，來提高學生的創新能力，從而提高學生的發散思維能力。在一題多解的教學過程中，大家公認的解題方式和解題角度是有創新點的，所以要鼓勵學生充分地發散思維，找出與其他人不同的解題思路和方法。因為每個人的知識基礎和掌握知識的重點不同，會從不同的角度來思考問題，也會從中找到不同的解決問題的方法。通過這種方式在課堂上集合眾人之力，集思廣益，找出創新的思維和解題方法，達到發散思維的教學目的。

三、基于培養發散思維的教學案例分析

這里以高中數學人教版2003A版中第二冊復習參考題B組的一道題為例，通過該題的階梯方法教學過程，進行總結和歸納，探討高中數學課堂教學中發散思維能力的培養方法。

〖題目〗過拋物線 y=2px（p>0）焦點的直線與拋物線的交點分別為A和B，過A和B與拋物線的準線做垂線，垂足分別為A'和B'，求證：∠A'FB'為直角。（見圖1）

〖教學分析〗

在拿到這個題目的時候，教師不應該急于上手讓學生做題，而是要展開發散思維，讓學生思考此題的解法。教師可以在課堂上提問：什么定理和性質與直角有關系？有的學生回答直線和圓的關系，有的回答成直角的直線斜率乘積為-1等，教師要注意發現學生思維中的閃光點，充分留給學生時間進行思考。素質教育的核心就是培養學生的創新能力，發散思維是創新意識的基礎，啟動思維，讓一題多解，一題多變。

〖解法教學〗

方法2，向量法：

向量法的證明重點是歸納到FA·FB=0。

方法3，斜率法：

通過兩條直線的斜率乘積等于0證明可得。

方法4，勾股定理法：

由反向勾股定理求得。

這道例題的目的在于，通過一道典型的圓錐曲線的多種解題思路為學生構建一個發散思維的環境和氛圍，來激發學生發散思維的興趣和動力。環境和氣氛對學生的影響很大，是一個教學引導的重要階段，突出教學的重點方向。隨后我們對這道題目進行了發散，對題目進行了變換。同一道題目進行變換的好處在于，在已知知識點和充分熟悉本題的基礎上，形成知識的內在聯系，讓學生充分掌握知識點的同時，能夠發散思維，充分發揮學生的現象力。教學如下：

變題1：在原題的基礎上，過AB的中點M向準線做垂線，垂足為M'，證明∠AM'B為直角。

這里讓學生考慮，開始我們用到的幾種解法還適用嗎？讓學生自己完成計算和驗證，如有學生說可以，則讓這部分學生到黑板板書自己的解題過程。

變題2：以AB為直徑做一個圓，求證圓與切線相切，且切點為M'。（如右圖2所示）

這里主要考察學生對圓空間關系和圓錐曲線知識的綜合運用。

變題3：如果將題目中的拋物線換成其他的圓錐曲線，那么同樣的方式以焦點弦做一個圓的話，該圓和準線的位置關系如何，請求證。

變題3對綜合能力的考察是最強的，是本次發散思維教學的重要延伸，也就是通過審視一道題目，在充分理解題目的基礎上進行發散思維。而不再僅僅限制在題目本身，知識的教學也不再僅僅限制在常規的教學模式下，而是一場探究式的教學，是師生共同研究和發現問題的過程。對于同一個題目要鼓勵學生嘗試多種解題方法，讓學生思考同一個題目是否還有多種變化，是否有多種其他的考題和知識點。這里回到教學中，變題3的解法該如何解決呢？這里提出了其中一種解法如下。

然后結合e的取值范圍就可以知道以不同的圓錐曲線的焦點弦為直徑的圓和對應準線之間的位置關系了，通過這些變題可以讓學生充分地發散思維，利用圓錐曲線和方程的知識點進行發散思維教學。

〖教學評價〗

教學評價是常規教學活動中重要的環節，教學評價是判定本次教學目標和目的是否完成的過程。本次教學的核心任務是培養學生的發散思維能力，我們在了解學生對基礎知識點掌握情況的基礎上，檢測學生是否從中得到啟發，通過學生回答評定本次教學的效果。

〖課后思考〗

讓學生思考，當圓錐曲線是雙曲線的時候，焦點弦對應的圓心角有什么特點？（實際上為一個定值，留給學生課后思考）

〖教學總結〗

首先，本次教學中我們一開始就為學生營造了一個良好的探究式的氣氛。其次，發散思維的學習能極大地促進學生打破常規思維方式，打破思維定式，在充分理解概念和基礎知識上取得更好的學習效果。最后，能夠拓寬學生的知識面，本次教學中對圓錐曲線題目進行了很大的擴充，包含了多個知識點的靈活應用，讓學生在讀題、解題的過程中對知識點進行橫向和縱向對比，將知識點充分聯系起來，為思維總結和歸納創新的基礎，并在思維總結的基礎上開始創新思路。

社會需要具備發散性思維能力的創新性人才，所以在高中階段要在數學教學中培養學生的發散性思維。這樣不僅便于學生對數學知識的理解，提升其創新能力，而且更能培養出適應社會需要的人才。以上就一道經典的圓錐曲線例題的教學設計和安排進行了討論，將教學理論和教學實踐相結合，為在課堂教學中培養學生發散思維的方法提供了參考。

（責編 盧建龍）