考慮畸變的開(kāi)口薄壁構(gòu)件變形方程及其應(yīng)用

摘要：

為簡(jiǎn)化考慮截面畸變的薄壁桿件力學(xué)分析，提出一種把薄壁桿件拆分為兩個(gè)較簡(jiǎn)單的部分分別分析、按需綜合的方法。該文重點(diǎn)探討截面畸變變形的效應(yīng)分析：首先基于薄板小撓度彎曲理論，建立矩形板條的面外彎曲變形方程，然后適當(dāng)簡(jiǎn)化截面畸變的變形形式和平衡條件，實(shí)現(xiàn)反映開(kāi)口薄壁桿件畸變和扭轉(zhuǎn)性能的“板件面外彎曲綜合抗力體系”分析，最后與另文探討的薄壁桿件“板件面內(nèi)拉彎綜合抗力體系”的分析進(jìn)行綜合，建立考慮截面畸變的開(kāi)口薄壁桿件常微分變形方程。與目前較為常用的廣義梁理論及有線條法相比，該方法無(wú)需進(jìn)行截面正交分析或假定變形沿桿長(zhǎng)的分布。為提高方法的實(shí)用性，文中還基于該變形方程，探討了薄壁桿件單元?jiǎng)偠确匠痰染仃囄灰品ㄖT實(shí)現(xiàn)要件，據(jù)此編制的通用程序計(jì)算結(jié)論與基于殼單元的ANSYS軟件算例結(jié)論吻合良好。

關(guān)鍵詞：

薄壁結(jié)構(gòu)；畸變；約束扭轉(zhuǎn)；薄板；有限桿元

中圖分類號(hào)：

TU3925； O342

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：16744764（2015）01009608

Deformation equations of thinwalled openprofile members considering distortion and its application

Jin Sheng，Cheng Rui，Hu Jiewen，Cheng Mingyue

（School of Civil Engineering； Key Laboratory of New Technology for Construction of Cities in Mountain Area， Ministry of Education， Chongqing University， Chongqing 400045， P.R.China）

Abstract：

In order to simplify the analysis of thinwalled openprofile bars， a method is presented in which the analysis is split into two parts， dominated by inplane and outplane loading effects respectively. This article focuses on the outplane loading effects. Based on bending theory of thin plate with small deflection， each slab or strip is analyzed separately and the results are integrated into vectors， in which， the deformation shapes and equilibrium conditions are simplified appropriately， thus leading to the slabs outplane bending resistance system of thinwalled bars， which reflects the properties of the bars distortion and torsion. By composing the slabs inplane tensionbending resistance system and the slabs outplane bending resistance system， deformation equations of thinwalled openprofile bars considering distortion are deduced. In order to set up the finite bar element method， stiffness equation and equivalent nodal forces of internode loadings are deduced. Comparative analysis with finite shell element method indicates the high efficiency and accuracy of this method.

Key words：

thinwalled structures； distortion； constraint torsion； thin plate； finite member element

由于局部失穩(wěn)和畸變失穩(wěn)是制約開(kāi)口薄壁桿件承載能力的重要因素[1]，考慮截面畸變的開(kāi)口薄壁桿件分析理論受到重視。符拉索夫針對(duì)閉口截面薄壁桿件，提出可考慮截面變形的廣義坐標(biāo)法[2]，目前廣泛應(yīng)用于箱形梁的分析中。在薄壁桿件約束扭轉(zhuǎn)理論中，桿件不同的彎曲及扭轉(zhuǎn)變形模式下，截面軸向變形相互正交；廣義梁理論[34]對(duì)此進(jìn)行推廣，提出畸變變形模式與彎曲及扭轉(zhuǎn)變形模式下的截面軸向變形也具有正交性，探索了一條薄壁桿件考慮畸變的有效分析途徑；該理論對(duì)于薄壁桿件失穩(wěn)的屈曲模態(tài)辨別能力受到廣泛重視[5]。在廣義梁理論的近期發(fā)展中，解決了當(dāng)截面存在閉室、分支時(shí)的分析方法問(wèn)題[6]。文獻(xiàn)[7]還提出了一種建立廣義梁方程的新方法，并通過(guò)構(gòu)造特征值問(wèn)題獲得解析解。有限條法[8]通過(guò)限定變形沿桿長(zhǎng)分布的線型，在反映翹曲和畸變等變形因素的前提下，極大降低了問(wèn)題的自由度。但由于變形沿桿長(zhǎng)分布線型的限定性，該方法多用于桿件的屈曲[9]或振動(dòng)[10]分析。有限單元法是處理薄壁桿件復(fù)雜變形和內(nèi)力分布的有力工具[11]，但該方法對(duì)單元的選擇、劃分及求解方法等較為敏感，易遺漏變形模式，造成結(jié)論錯(cuò)誤[12]。這就要求分析人員對(duì)薄壁桿件，特別是其畸變的力學(xué)性質(zhì)和變形特點(diǎn)有深入的認(rèn)識(shí)[13]。

由于涉及的應(yīng)變因素較多，上述考慮畸變的分析方法中，結(jié)論均由能量法導(dǎo)出。本研究將薄壁桿件的分析拆分為分別以中面內(nèi)和中面外荷載效應(yīng)為主導(dǎo)的兩個(gè)相互獨(dú)立的部分，使得兩部分分析的應(yīng)力、應(yīng)變和變形條件分別得到充分簡(jiǎn)化。在文獻(xiàn)[14]中探討了其中第1個(gè)部分——反映桿件的拉壓、彎曲和翹曲性質(zhì)的“板件面內(nèi)拉彎綜合抗力體系”，文獻(xiàn)[15]在該體系的基礎(chǔ)上提出了一種計(jì)算桿件約束扭轉(zhuǎn)的方法。本文探討組成開(kāi)口薄壁桿的各板件面外彎曲的變形效應(yīng)，利用矩陣運(yùn)算將單肢或板條的分析進(jìn)行綜合，考察截面畸變及其影響。變形方程采用靜力平衡法建立，以探討薄壁桿件畸變的分析假定、力學(xué)性質(zhì)和變形特點(diǎn)。分析中不進(jìn)行基本變形模式的選擇和正交化處理，不限定變形沿桿長(zhǎng)分布的線型。

金聲，等：考慮畸變的開(kāi)口薄壁構(gòu)件變形方程及其應(yīng)用

1分析模型及其簡(jiǎn)化假定

11開(kāi)口薄壁截面及其節(jié)點(diǎn)

圖1所示開(kāi)口薄壁截面由n個(gè)板件組成，截面中線上共n+1個(gè)關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，其中（2）～（n）號(hào)是各板件截面中線的交點(diǎn)。為推導(dǎo)的簡(jiǎn)便和一致，在關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)（1）和（n+1）處分別虛設(shè)了板件0和n+1，分別垂直于板件1和n；任意實(shí)際板件i在被關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)再分為寬度分別是Ubi、Mbi、Dbi的縱向板條的基礎(chǔ)上，可進(jìn)一步沿寬度方向任意再分，截面相應(yīng)設(shè)置非關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，見(jiàn)圖1。橫向荷載作用于各節(jié)點(diǎn)。

圖1開(kāi)口薄壁截面及其關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)和非關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)

Fig.1Key nodes and other nodes of a thinwalled opensection

12板條邊界荷載條件及其變形的簡(jiǎn)化假定

長(zhǎng)度為l的薄壁桿，其板件i中任意一個(gè)板條ik如圖2所示，寬度為kbi，兩側(cè)邊分別編號(hào)為1和2。對(duì)該板條建立直角坐標(biāo)系Oxyz，見(jiàn)圖2。根據(jù)薄板小撓度彎曲理論[16]，該板條側(cè)邊的荷載條件為

q1y（x）q2y（x）=D（2-ν）3x2y+3y3w（x，0）-w（x，kbi）（1）

m1y（x）m2y（x）=Dν2x2+2y2-w（x，0）w（x，kbi）（2）

A端的荷載條件為

qxA（y）=D3w（0，y）x3+（2-ν）D3w（0，y）xy2（3）

mxA（y）=-D2w（0，y）x2+ν2w（0，y）y2（4）

VA1VA2=2D（1-ν）2xyw（0，0）-w（0，kbi）（5）

圖2板條ik的邊緣荷載條件

Fig.2Loads on the edges of stripe ik

其中：D=E·ti312（1-ν2）為板件i的彎曲剛度；ti為板件i厚度；ν為泊松比；w為板件中面法線向撓度。

為簡(jiǎn)化分析，假設(shè)該板條的任意x截面撓曲線為三次曲線，則若已知該板側(cè)邊的z向撓度w1（x）、w2（x）和x向扭角β1（x）、β2（x），可確定撓曲面方程

wx，y=1 ykbi y2kbi2 y3kbi3·

1 0 0 00 0 1 0-3 3 -2 -12 -2 1 1·w1（x）w2（x）kbi·β1（x）kbi·β2（x）（6）

雖然該板條并無(wú)板面橫向荷載，但由于橫截面線型假定，D4w通常并不為0，所以該假定相當(dāng)于在板面額外施加z向分布荷載Δq（見(jiàn)圖3）。

Δq=D·4w（7）

其中，算子4（·）=4x4（·）+24x2y2（·）+4y4（·）。

圖3簡(jiǎn)化假定對(duì)微段板條ik的影響

Fig.3Effects of simplifying measures on stripe ik

13節(jié)點(diǎn)扭角的確定及其簡(jiǎn)化

將式（6）代入式（2），得到撓曲面簡(jiǎn)化條件下板條ik兩側(cè)的彎矩

my1my2=D6C1b2w1w2+2C2bβ1β2+ν·C3w1w2″（8）

其中C1=1-11-1，C2=2112，C3=-1001。

將式（8）應(yīng)用于薄壁桿各板件的所有板條，并綜合，得到作用在橫截面各節(jié)點(diǎn)的x向外彎矩所組成的列向量myc，其各元素均應(yīng)為0，因此：

myc=E·（D1·vc+D2·βc+νD3·v″c）=0（9）

其中列向量vc由各板件截面的中線向位移v0～vn+1（根據(jù)相鄰板件間夾角關(guān)系，v0～vn+1唯一確定了各關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)的板面法向位移）及非關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)的板面法向位移組成。

由式（9）得節(jié)點(diǎn)的x向扭角所組成的列向量βc

βc=-D4·vc-ν·D5·v″c（10）

為方法的簡(jiǎn)便計(jì)，略去式（10）中vc的二階項(xiàng)，得到βc的近似表達(dá)式

βc=-D4·vc（11）

其中

D4=D2-1·D1（12）

由式（10）簡(jiǎn)化為式（11），對(duì)于板條ik而言，相當(dāng)于忽略式中w關(guān)于x的二階偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，或者相當(dāng)于在板側(cè)額外施加x向彎矩（見(jiàn)圖3）。

Δmy1（x）Δmy2（x）=ν·D·2x2w（x，0）-w（x，kbi）（13）

在廣義梁理論中，考慮相鄰板條間變形協(xié)調(diào)條件時(shí)，采用了類似簡(jiǎn)化措施，因此該理論在分析截面畸變翹曲與畸變橫向變形之間的關(guān)系時(shí)，未考慮板件面外縱向彎曲的影響，從而將板條交線上的扭轉(zhuǎn)角作為從自由度予以消除。因此，廣義梁理論的完備性受到部分研究人員的質(zhì)疑[17]。若在廣義梁理論中取消該簡(jiǎn)化措施，可消除該質(zhì)疑；若在本文中取消該簡(jiǎn)化措施，將致導(dǎo)得的變形方程（26）階次提高二階，但仍可求解。考慮到該簡(jiǎn)化措施帶來(lái)的誤差較小，本文不作進(jìn)一步討論。

2板件面外彎曲綜合抗力體系

21板件面外彎曲綜合抗力體系的變形方程

在上節(jié)的分析中，在薄板小撓度彎曲理論的基礎(chǔ)上對(duì)橫截面的線型和板條間彎矩平衡條件進(jìn)行了簡(jiǎn)化，對(duì)于圖3所示長(zhǎng)度為dx的微段板條ik，這兩個(gè)簡(jiǎn)化措施施加了荷載Δq·dx、Δmx1·dx和Δmx2·dx，假設(shè)由該微段側(cè)邊支反力Δqx1·dx和Δqx2·dx提供平衡，則

Δqx1（x）Δqx2（x）=-Db20C4w1w2Ⅳ+b260C5β1β2Ⅳ+

2-νbC6w1w2″+2C3β1β2″（14）

其中C4=7337，C5=3-22-3，C6=-111-1。

將撓曲面方程式（6）應(yīng)用于式（1），并減去式（14），得到簡(jiǎn)化條件下該板條側(cè)邊的板面法向剪力

q1q2=Db20C4w1w2Ⅳ+b260C2β1β2Ⅳ+

2-νbC6w1w2″+ν·C3β1β2″-12b3C6w1w2+6b2CT1β1β2（15）

式（15）應(yīng)用于各板件的所有板條并綜合，利用式消去扭角項(xiàng)，得到相應(yīng)于vc的節(jié)點(diǎn)剪力qc

qc=E{F1·νⅣc+[（2-ν）F2+νF3]ν″c+F4·νc}（16）

式（16）就是開(kāi)口薄壁桿“板件面外彎曲綜合抗力體系”的橫向變形方程。

22板件面外彎曲綜合抗力體系的端部荷載條件

與板條橫截面線型假定相適應(yīng)，需要將板條端部荷載和約束條件向角點(diǎn)凝聚。

將式（6）應(yīng)用于A端分布剪力式（3），然后向角點(diǎn)凝聚，并與VA1、VA2求和，得到A端剪力條件：

Q1Q2A=Db20C1w1w2A+b260C2β1β2A+

2-νbC3w1w2′A+ν·C4β1β2′A（17）

同法將A端分布彎矩向角點(diǎn)凝聚，得到A端彎矩條件

M1M2A=-Db20C1w1w2″A+b260C2β1β2″A+

νbC3w1w2A+ν·C4β1β2A（18）

式（17）、（18）分別應(yīng)用于所有板條，綜合得到板件面外彎曲綜合抗力體系A(chǔ)端的荷載條件

QAc=EF1·vAc+[（2-ν）F2+ν·F3]·vA′c（19）

MAc=-EF1·vA″c+ν（F2+F3）·vAc（20）

同法得到B端的荷載條件

QBc=-E{F1·vBc+[（2-ν）F2+ν·F3]·vB′c}（21）

MBc=EF1·vB″c+ν（F2+F3）·vBc（22）

3開(kāi)口薄壁桿的變形方程和桿端力

前面所討論的“板件面外彎曲綜合抗力體系”中并未考慮各板件的面內(nèi)變形剛度，而文獻(xiàn)[14]則探討了后者的分析，兩者結(jié)論的綜合可得到薄壁桿件各種變形情況下應(yīng)力和荷載的完整分析結(jié)論。

31考慮畸變的開(kāi)口薄壁桿件變形方程

開(kāi)口薄壁桿板件面內(nèi)拉彎綜合抗力體系的橫向變形方程是[14]

q=E·J·vⅣ（23）

桿端反力是

QA=E·J·vA，QB=-E·J·vB（24）

MA=-E·J·v″A，MB=E·J·v″B（25）

綜合兩種抗力體系的變形方程（23）、（16），得到開(kāi)口薄壁桿的橫向變形方程

qc=E{F5vⅣc+[（2-v）F2+vF3]v″c+F4vc}（26）

這是一個(gè)Sn+1元四階常微分方程（橫截面的節(jié)點(diǎn)總數(shù)計(jì)為Sn）。其中，F(xiàn)5由J和F1按元素對(duì)應(yīng)關(guān)系迭加得到。

另外，桿件的縱向變形方程來(lái)自板件面內(nèi)拉彎綜合抗力體系的分析[14]。

′=EA（27）

32變形方程應(yīng)用舉例

文獻(xiàn)[18]、[19]采用廣義梁理論計(jì)算了截面如圖4所示的簡(jiǎn)支梁跨中處的變形和內(nèi)力，梁長(zhǎng)1 200 mm，壁厚3 mm，頂部作用有滿跨均布線荷載q=001 kN/mm，材料彈性模量E=210 kN/mm2，泊松比ν=03。將式（26）應(yīng)用于該例，并考慮邊界條件，可得到一致結(jié)論。

圖4簡(jiǎn)支梁的截面尺寸及跨中位移

Fig.4Deflections of crosssection at the midspan of a simplysupported beam

首先根據(jù)截面尺寸：確定式（26）中各系數(shù)矩陣（簡(jiǎn)潔起見(jiàn)，將各板件視為單獨(dú)板條，不予再分）；然后確定邊界條件：由于兩端簡(jiǎn)支，并注意到式（20）、（22）和（25），端截面位移vc及其二階導(dǎo)數(shù)均應(yīng)為0；最后采用MATLAB求解該常微分方程邊值問(wèn)題，得到vc及其各階導(dǎo)數(shù)沿桿長(zhǎng)的分布。跨中截面的v0～ v5示于圖4，可據(jù)此得到各節(jié)點(diǎn)的面內(nèi)位移，與文獻(xiàn)[18]、[19]中的廣義梁理論結(jié)論一致；該截面的v″1～v″4依次為-2606×10-6、6509×10-6、-6509×10-6、2606×10-6，根據(jù)文獻(xiàn)[14]中式（33），可知該簡(jiǎn)支梁跨中截面各節(jié)點(diǎn)的正應(yīng)力滿足

σ=-E·JT5·{ v″1v″2v″3v″4}T（28）

其中：

J5=-555555-80-80404040-40-40-408080-5-5-5-555（29）

因此節(jié)點(diǎn)正應(yīng)力與文獻(xiàn)[18]、[19]中的廣義梁理論結(jié)論也是一致的。

對(duì)比兩種方法的分析過(guò)程可以發(fā)現(xiàn)，作為廣義梁理論核心措施的截面變形模式分析，其效果是通過(guò)系數(shù)矩陣對(duì)角化對(duì)式解耦，該措施有利于方程的求解，特別在是手算條件下。但系數(shù)矩陣對(duì)角化并非求解線性方程的最有效方式，特別是以計(jì)算機(jī)作為求解工具時(shí)。而本文的方法則只需根據(jù)截面尺寸就可直接構(gòu)造變形方程系數(shù)矩陣，無(wú)需較為繁瑣的系列模式正交分析及其數(shù)據(jù)抽象，其求解則可交由成熟有效的數(shù)學(xué)計(jì)算工具完成。

33考慮畸變的開(kāi)口薄壁桿件桿端力

綜合兩體系的桿端反力（19）～（22）及（24）、（25），得到桿端橫向力

f=E（F6·δ+F7·λ）（30）

其中：

f=MAcQAcMBcQBc，δ=vA′cvAcvB′cvBc，λ=vAcvA″cvBcvB″c（31）

F6=

ν·0-F2-F3002-ννF2+F3000000F2+F300ν-2νF2-F30（32）

F7=0-F500F5000000F500-F50（33）

桿端縱向力來(lái)自板件面內(nèi)拉彎綜合抗力體系的分析：

AB=EAl1-1-11AB（34）

根據(jù)變形方程（26）、（27）以及桿端力與位移的關(guān)系、，可確定任意荷載和桿端約束條件下桿件的變形、內(nèi)力以及反力。

4開(kāi)口薄壁桿件單元分析

在考慮截面畸變的情況下，由于未知量較多，桿件變形方程求解有一定難度，為此，編制了通用計(jì)算程序以提高其實(shí)用性。

為使本方法能融入常用桿系結(jié)構(gòu)計(jì)算體系，程序的核心是薄壁桿件單元矩陣位移法的實(shí)現(xiàn)。為提高方法的準(zhǔn)確性，并不預(yù)設(shè)而是直接采用MATLAB求解微分方程所得到的數(shù)值形函數(shù)。基于程序的基本計(jì)算過(guò)程是：

首先根據(jù)截面尺寸及板件的再分方式，生成式（26）中諸系數(shù)矩陣，然后利用該方程建立單元?jiǎng)偠染仃嚥⒂?jì)算結(jié)間荷載的等效結(jié)點(diǎn)力，最后在整體剛度方程求解結(jié)論的基礎(chǔ)上，確定單元的變形和內(nèi)力分布。

在有限元法中，桿件單元分析的任務(wù)是：1）建立單元?jiǎng)偠确匠蹋?）計(jì)算結(jié)間荷載的等效結(jié)點(diǎn)力；3）在整體分析結(jié)論的基礎(chǔ)上，確定單元的變形和內(nèi)力分布。這些任務(wù)的基本實(shí)現(xiàn)措施簡(jiǎn)要說(shuō)明如下：

41單元分析的措施

首先對(duì)變形微分方程進(jìn)行降階。通過(guò)構(gòu)造薄壁桿的廣義橫向位移函數(shù)列向量g（x），可將Sn+1元四階常微分方程（26）轉(zhuǎn)化為4Sn+4元一階常微分方程

令：gx=v′c（x）vc（x）vc（x）v″c（x），則：g′x=

0 0 0 II 0 0 00 -F5-1F40 -F5-12-νF2+ν·F30 0 I 0·gx+1E00F5-1qc0（35）

對(duì)應(yīng)于單元分析的3個(gè)任務(wù)：1）在式（35）中，令qc=0，使之成為齊次方程，求解可得薄壁桿件的單元?jiǎng)偠确匠蹋?）qc≠0時(shí)，根據(jù)固端桿的端部位移條件，求解非齊次方程（35），得到qc的等效端部力。3）根據(jù)已知的端部位移條件，求解方程（35），得到廣義橫向位移函數(shù)沿桿長(zhǎng)的分布，從而確定單元的變形和內(nèi)力分布情況。

42開(kāi)口薄壁桿的單元?jiǎng)偠确匠?/p>

任意選取4Sn+4組線性無(wú)關(guān)的初值向量1～4Sn+4gA，采用RoungKutad等數(shù)值方法，確定齊次方程相應(yīng)的4Sn+4組解函數(shù)列向量1～4Sn+4g（x），記它們所組成的函數(shù)陣為

Γ（x）=1g（x）…4Sn+4g（x）（36）

因ΓA各列向量（即1～4Sn+4gA）線性無(wú)關(guān)，Γ（x）和ΓB各列向量均分別線性無(wú)關(guān)。

對(duì)于線性問(wèn)題，廣義橫向位移函數(shù)在兩端的值之間具有線性轉(zhuǎn)換關(guān)系，記為

λ=F8·δ（37）

根據(jù)式（31）可知，桿端變形列向量δ和λ由gA和gB的元素組成，因此，把ΓA和ΓB代入上式，得到轉(zhuǎn)換關(guān)系矩陣

F8=1λ…4Sn+4λ·Ψ-1（38）

其中：

Ψ=1δ…4Sn+4δ（39）

把式（37）代入式（30），得到桿端橫向力與橫向位移間的關(guān)系

f=E·F·δ（40）

其中：

F=F6+F7·F8（41）

綜合式（40）和（34），得到考慮畸變的開(kāi)口薄壁桿單元?jiǎng)偠确匠?/p>

AMAcQAcBMBcQBc=EA/l0-A/l00FUL0FUR-A/l0A/l00FDL0FDRAvA′cvAcBvB′cvBc（42）

式（42）中，2Sn+2階方陣FUL、FUR、FDL、FDR是F的分塊矩陣

F=FULFURFDLFDR（43）

43結(jié)間荷載的等效節(jié)點(diǎn)力及廣義橫向位移函數(shù)沿桿長(zhǎng)的分布

任選一組始端條件0gA，求解非齊次方程（35），得到廣義位移函數(shù)沿桿長(zhǎng)的分布0g（x），特別的，在末端的值0gB。根據(jù)式（30），此時(shí)桿端力是

0f=E（F6·0δ+F7·0λ）（44）

對(duì)于無(wú)結(jié)間荷載的固端桿，當(dāng)桿端位移為Ⅰδ=-0δ時(shí)，根據(jù)式，可知桿端力為

Ⅰf=-E·F·0δ（45）

桿端位移Ⅰδ在以Ψ的各列向量為基的空間中的坐標(biāo)是Ψ-1·Ⅰδ，此時(shí)，廣義橫向位移函數(shù)Ⅰgx在以Γ（x）各列向量為基的函數(shù)空間中的坐標(biāo)與之相同，因此

Ⅰgx=-Γ（x）·Ψ-1·0δ（46）

綜上可知，對(duì)于作用有橫向荷載q的固端桿（桿端位移δ=0），桿端力是

Ⅱf=0f+Ⅰf=E·F7（-F8·0δ+0λ）（47）

廣義橫向位移函數(shù)是

Ⅱg=0g+Ⅰg=0g-Γ（x）·Ψ-1·0δ（48）

可見(jiàn)橫向荷載q的等效結(jié)點(diǎn)力是

fq=-Ⅱf=E·F7（F8·0δ-0λ）（49）

而作用有結(jié)間橫向荷載q，且桿端位移為δ的桿件單元的廣義橫向位移函數(shù)是

g=Γ（x）·Ψ-1·δ+Ⅱg=0g+Γ（x）·Ψ-1（δ-0δ）（50）

根據(jù)其向量構(gòu)成，可知廣義橫向位移函數(shù)描述了位移、內(nèi)力等沿桿長(zhǎng)的分布。

上述計(jì)算過(guò)程具有通用性，可予以程序化，已采用MATLAB實(shí)現(xiàn)。整體剛度方程的合成和求解無(wú)特殊性，不再贅述。

5實(shí)例對(duì)比分析

圖5所示懸臂開(kāi)口薄壁桿，長(zhǎng)度l=6 m，壁厚t=10 mm，橫截面尺寸示于圖6，在自由端橫截面開(kāi)口側(cè)和距自由端25 m的橫截面關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)（2）處，分別作用有平行于y軸的集中荷載Q=50 kN，板件2表面垂直作用有沿其寬度等分線均勻分布的線荷載q=5 kN/m。材料彈性模量E=206 kN/mm2，泊松比ν=03。采用本文所介紹的方法和通用有限元分析軟件ANSYS分別分析該桿件，并對(duì)比兩者結(jié)論。

圖5懸臂開(kāi)口薄壁桿

Fig.5A thinwalled openprofile cantilever

圖6懸臂桿橫截面尺寸及節(jié)點(diǎn)設(shè)置

Fig.6Dimensions and nodes of the crosssection

在ANSYS中，采用三維殼單元Shell63離散該桿件，沿長(zhǎng)度方向等分為120段，沿各板件截面寬度方向分別等分為8段。

在本文的方法中，根據(jù)荷載情況，將桿件劃分為長(zhǎng)度分別是25、35 m的兩個(gè)桿件單元，實(shí)施桿系結(jié)構(gòu)有限元分析并計(jì)算各單元內(nèi)力和位移分布，方法如前所述。在分析中，對(duì)板件2和3分別采用一個(gè)非關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)沿寬度方向各等分為兩個(gè)縱向板條（詳圖6），對(duì)板件1和4未作再分。

兩種方法所得到的桿件整體變形一致，示于圖7。可任選縱、橫向斷面，對(duì)位移、應(yīng)力、應(yīng)變等項(xiàng)沿桿長(zhǎng)或橫截面中線的分布作細(xì)化對(duì)比，如圖8～11。

圖7桿件變形軸測(cè)圖

Fig.7Axonometric drawings of the deformed cantilever

圖8關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)（1）縱向位移沿桿長(zhǎng)的分布

Fig.8Longitudinal displacements of key node（1） along span

圖9自由端截面的板面法向位移展開(kāi)圖

Fig.9Normal displacements along midline of freeend crosssection

圖9、11的橫坐標(biāo)是沿橫截面中線的曲線坐標(biāo)，坐標(biāo)軸上標(biāo)出了各關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)及其相應(yīng)坐標(biāo)值。圖9的各段曲線彎曲程度反映了截面各板件的畸變情況。因?yàn)楸痉椒俣ò寮M截面中線上的正應(yīng)變線性分布，所以在桿端和集中荷載作用點(diǎn)處的應(yīng)變結(jié)論與ANSYS略有出入（圖10），符合預(yù)期。圖8～11的細(xì)化對(duì)比表明本文所所提出的方法準(zhǔn)確度較高。

圖10關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)（2）正應(yīng)變沿桿長(zhǎng)的分布

Fig.10Normal strains of key node（2） along span

圖11固端截面中線正應(yīng)力展開(kāi)圖

Fig.11Normal stresses along midline of fixed end

對(duì)比表明，較之基于殼單元的有限元法，本文所實(shí)現(xiàn)的考慮畸變的桿件有限元法在保持了較高的適用性和準(zhǔn)確性的同時(shí)，還具有建模簡(jiǎn)便，計(jì)算規(guī)模小、效率高的特點(diǎn)。

6結(jié)論

從薄板小撓度彎曲理論出發(fā)，探討了開(kāi)口薄壁桿的板件面外彎曲綜合抗力體系；綜合板件面內(nèi)拉彎綜合抗力體系與板件面外彎曲綜合抗力體系，導(dǎo)出考慮畸變的開(kāi)口薄壁桿件變形控制方程。在此基礎(chǔ)上，推導(dǎo)了桿系有限元法諸實(shí)現(xiàn)要件，如單元?jiǎng)偠确匠蹋取ａ槍?duì)作用有復(fù)雜荷載的具體實(shí)例，與基于殼單元的ANSYS分析結(jié)論進(jìn)行了對(duì)比。得到如下結(jié)論：

1）薄壁桿件的分析可以拆分為分別以薄壁中面內(nèi)荷載效應(yīng)和中面外荷載效應(yīng)為主導(dǎo)的兩個(gè)相互獨(dú)立的部分，使兩部分分析的應(yīng)力、應(yīng)變及變形條件得到充分簡(jiǎn)化，有利于對(duì)薄壁桿件的翹曲、畸變等變形因素形成更明確、直接的認(rèn)識(shí)。

2）板件面外彎曲綜合抗力體系反映了開(kāi)口薄壁桿件的畸變和扭轉(zhuǎn)性能。

3）本文所推導(dǎo)的開(kāi)口薄壁桿件單元?jiǎng)偠确匠讨械臈U端位移與荷載列向量的物理意義明確具體，便于桿件有限元整體分析的實(shí)施。

4）在板件組合型開(kāi)口薄壁桿的分析中，假設(shè)各板件縱向位移沿橫截面中線方向線性分布，并適當(dāng)簡(jiǎn)化截面畸變的變形形式和平衡條件，能有效降低計(jì)算規(guī)模，且滿足工程精度要求。

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（編輯王秀玲）