伯努利兄弟（上）

17世紀末，牛頓和萊布尼茨獨立地發明了微積分，從此數學進入到高等數學階段.高等數學“高”在哪里呢？我想至少有兩點值得注意：一是高等數學難學難懂，不像中學學的那個初等數學.是個腦袋就能學會.從小學到中學的12年，年年都得學數學，可學過來學過去還是初等數學.也就是算術、代數、幾何、三角、概率、統計，到解析幾何已經算是登峰造極了.初等數學中當然也有難題，比如數獨、奧數什么的，最難的當然是中學生國際數學奧林匹克（IMO）了.30年來中國的數學尖子在那上面幾乎是年年拿名次、拿金牌，這說明中國中學生的數學頭腦還真不錯.可是一到高等數學，也就是18、19、20世紀的數學，中國學生的水平就有不小的差距了.為什么？難嘛！而且其難度不能和初等數學同日而語，它需要天才性的創造.二是高等數學十分有用.世界上難學難懂的東西多的是.例如只有少數人使用的語言以及佛經等，這些東西呀少數人去學習、研究就可以了，用處不算太大.可是高等數學卻是進入現代自然科學之門的鑰匙.沒有微積分和其后發展出來的微分方程與數學分析，那就沒辦法解釋牛頓力學，更得不出什么電磁波（從電視到手機都得靠它），也不會有數值天氣預報.因此，現在上大學要學理工科的話就非得啃高等數學不可，不喜歡數學或害怕學、討厭學數學的學生那就只好學文科嘍.不過。有的文科，像經濟、金融等也得學高等數學.“金融數學”非常前沿，要不然那些投資家怎么能賺夠那么多錢、那么招恨呢？

大家知道，牛頓是最偉大的科學家，他一只手創建了牛頓力學.另一只手創建了微積分.雖然他也是最偉大的數學家之一，但他的數學著眼于應用，并沒有建立起一套完整的數學理論體系.這就忙壞了18世紀和19世紀的數學家，他們一方面要發展牛頓的微積分，另一方面要為“數學分析”建立一個嚴格的基礎.這項工作一直到了19世紀末才正式宣告完成.這兩個世紀，至少有100位數學家為有關的事情做出過貢獻.

我們還是先從18世紀講起.談起近代史，人們往往總是回憶起鴉片戰爭以后那些屈辱的歷史.可是在18世紀中國可不是那個樣，那時候，中國是世界頭號超級大國，GDP（國內生產總值）也是世界第一.領土比現在大一半還多呢.當時，西方人很樂意學習中國文明，也特別喜歡中國的東西，特別是瓷器.那時的中國皇帝很牛，英國的使節來見了，他們得下跪.他們要求貿易，乾隆皇帝對他們說，我們是天朝大國，什么都有，用不著跟你們做什么買賣呀.現在看來.乾隆的話有99%對，也有1%不對：至少三種物質器物和三種精神成果中國沒有.三種器物是鐘表、望遠鏡和顯微鏡，三種精神成果是宇宙觀（地球和太陽）、牛頓力學和微積分.這六種東西其實可以概括為兩個字：科學.不過，在18世紀不止是中國的科學（特別包括高等數學）不行，全世界基本上都不行，只有極少數國家，例如英國、法國、德國有那么幾位大科學家，其他國家的人才只能說是鳳毛麟角了.說來也奇怪，在18世紀上半葉，僅有一二百萬人口的瑞士居然出了好多頂尖的數學家，其中最棒的就是那個大名鼎鼎的歐拉.在歐拉之前，瑞士有許多數學家都姓伯努利.他們是一家子，這就是科學史上赫赫有名的伯努利家族.

數學家扎堆兒出現有點讓人費解，有沒有數學基因起作用還真不好說.爸爸有錢，兒子可以是富二代，他只要不是敗家子，也許還會傳下去.可數學不能遺傳.爸爸是數學家，兒子可能學數學會有困難；反過來，也有大數學家，老爹竟是文盲或數盲.每個人學數學都得從1+2=3學起，靠啃老去掌握數學，沒門兒！可是，要想學好數學，沒錢也是萬萬不能的，因為學數學。特別是學高等數學，沒有好的環境是不行的，這里面包括好的老師，更正確地說，是好的導師.有時，他們一兩句話就能讓你開竅.1800年以前的數學家，大都靠自學成才.而自學時必須去讀一些經典著作，特別是一些大師的著作.啃原著不容易，但也因此會激發學習者的獨創性.

一、五代拼搏

當伯努利家族的第一位數學家雅各·伯努利（圖1）在1754年出生時，他家已經是一個有錢又有文化的大家族了.達到這個境地經歷了五代人的努力.當然，每一代人的努力都為社會、為家族做出了應有的貢獻.

16世紀初到17世紀中的歐洲是一個亂世.兵荒馬亂的時期，人是很難安下心來鉆研學問的.這個時期的歐洲有點兒像中國的春秋戰國時代.天天打仗.但打仗的理由讓我們中國人有點兒費解.有些戰爭并不是為了爭奪土地，也不是為了掠奪勞動力、占領市場、爭奪資源和財富而戰的，而是為信仰而戰.現在多數中國人沒有什么信仰，難以理解基督教的事情.西方人大多都信仰基督教，而基督教的權威機構是教會.教會的領袖人物則是教皇.14世紀到15世紀，教會內部十分腐敗，激起了中下層人士的強烈不滿.1517年.德國人馬丁·路德在教堂門口貼出大字報，反對教會權威，由此掀起了轟轟烈烈的宗教改革運動.于是，每一個人都必須選邊站，贊成改革的稱為新教徒，反對改革維護教會權威的，稱為天主教徒.兩邊的人勢不兩立，進行著你死我活的斗爭.從16世紀初到17世紀中。整個歐洲都在上演著不斷的戰爭和大屠殺，尤其是歐洲大陸，簡直是血流成河.社會動亂使歐洲學者難以坐下來安心研究.

伯努利家族的第一代原來生活在尼德蘭.尼德蘭比現在的荷蘭要大得多，包括現在的荷蘭、比利時、盧森堡以及附近的一些地方.當時統治這個地方的是西班牙人，他們是鐵桿保皇教派.在他們的統治下，新教徒要么改變信仰，要么滾蛋，否則只能挨刀.偏偏第一代伯努利信了新教，他也不想改變信仰.不過，他是位受人尊敬的外科醫生。因此得以在安特衛普安然過世.第一代去世后不久.尼德蘭來了一個新的總督。叫阿爾瓦公爵.這個人可是個鐵腕人物，來了后堅決鎮壓新教徒.第二代實在呆不下去了，只得逃亡，來到了德國法蘭克福.這兒當時是新教徒的一個中心.他在這里經營藥店和藥廠.在他去世時，家族已經積累了相當多的財富.第三代子繼父業，事業也很發達.第四代同樣不敢怠慢，兢兢業業，生意越做越大.不過人算不如天算，1618年到1648年，德國境內打起了著名的“三十年戰爭”，其結果使德國荒蕪一片，生產力遭到徹底破壞，人口也大大減少.幸虧祖上有德，第四代伯努利帶著他們家族的巨大的財富和人口遷徙到了世外桃源——瑞士.當然，瑞士也不能遠離宗教改革的風暴，只不過他們處理的方法更明智，避免了一場劫難.瑞士主要由日耳曼、法蘭西、意大利三個民族構成。它的天主教徒和新教徒各占一半.由于他們和平共處，因此使國家能夠和平發展.1620年第四代伯努利到了巴塞爾，在此安頓了下來，并且不久后成為了瑞士公民.但不管怎么說。他們還是“外來戶”，必須先在瑞士站住腳.第五代伯努利不敢懈怠，好好地把自己的藥材生意做強做大，對當地的老百姓也做出了實實在在的貢獻.因此，他受到當地百姓的擁戴，被選為巴塞爾市議員，后來還擔任了高級行政職務.伯努利家族經過五代人的努力，成為巴塞爾上流社會的一員.他還迎娶了本地銀行家的女兒，“強強聯手”使伯努利家族成為巴塞爾有名的大戶人家.

二、雅各·伯努利

17世紀，科學家與數學家可不是一個正常的職業.科學和數學實際上是一種公益事業，干這種事業必須有錢、有閑、有自由.除非對科學和數學有強烈的興趣，否則一個人不會愿意花時間和精力用在這上面.

經過雅各的上五代人的拼搏.終于可以讓雅各去從事他所喜歡的數學研究了.可在當時，事情也沒有這么簡單.體面人家的子弟當然要上大學，大學的三大專業——神學、法學和醫學是他們未來人生的職業訓練.雅各的父親讓他學神學，以便將來好去當牧師，牧師在當時是一個高尚而穩定的職業.雅各沒有意見，遵從父命上了巴塞爾大學的神學院.要知道，當時的學校并沒有太多的知識可教，所以在正常情形下，15歲左右就能上大學.進入神學院之前，要先讀兩三年“預科”，學習所謂的“七藝”.這七藝中有三藝是文科——文法、修辭學和辯論術，另外四藝可以說是理科——算術、幾何、天文、樂理.在學習這些課程時，雅各對數學和天文產生了興趣.雅各在1671年修完七藝并獲得藝術碩士學位后，進入了神學院，然后規規矩矩地讀了五年.1676年，他獲得神學碩士學位.但他沒有像其他同學那樣去找一個固定的工作，因為他很喜歡數學和天文，還想進一步學習高等數學.要知道，當時牛頓和萊布尼茨都還沒有發表他們的微積分著作，所以更沒人教他了，他只能靠自學.17世紀的數學里初等數學中最高級的部分，也是高等數學中最基礎的部分。就是笛卡爾的解析幾何，另外還有牛頓的老師巴羅以及沃利斯的著作.自學高等數學是個苦差事，但他卻樂此不疲.從1677年起，他把自己的心得體會寫成日記（稱為“沉思錄”）.這些日記后來成為他許多著作的基礎.前面我們提到，高等數學如果沒人指點，很難開竅.于是，他開始到各個先進國家去游學.在17世紀，數學和科學先進的國家共有四個：英國、法國、尼德蘭（荷蘭）以及德國（當時還沒有統一）.在每個學術中心他都呆了很長的時間，去結識當地的學者、專家.比如，他在德國一呆就是兩年.雖說他家里很有錢。可他并不是啃老族.他在國外一邊學，一邊工作.那時同現在差不多，合適的工作不好找.雅各找到了兩種工作.一是當私人數學教師，一是當臨時牧師幫助布道.工作之余他深人研究數學，不久就發表了論文，名氣也越來越大.1683年，巴塞爾大學請雅各任教.1687年他升為數學教授，一直干到50歲英年早逝.當時.他的名氣僅次于牛頓和萊布尼茨.1799年，他們三位都被選為法國科學院的第一批國外院士（共有8位）.

雅各·伯努利的貢獻很多，按學科分有解析幾何、微積分、變分法、無窮級數、微分幾何、組合理論以及概率論等.但其中有些成就，特別是微積分和變分法，我們很難分辨是雅各的成就還是他弟弟約翰的成就.為此兄弟兩人也打的不可開交.而在其他方面，特別是那些掛上伯努利名字的，可以說都是雅各的貢獻，比方像伯努利數、伯努利多項式、伯努利雙紐線（圖2）、伯努利試驗、伯努利分布、伯努利大數定律。甚至伯努利（微分）方程.這些知識也許每個都超出了中學生能夠理解的范圍，然而我還是愿意做一點兒普及，來啟發那些對數學感興趣的同學.

其實，漂亮的數學都是從最簡單的問題開始的.現在，差不多任何人都知道1+2+3+…+100的那個有趣的故事了.如今，差學生和較好學生的差別主要是看誰能較快地得出正確答案來.當然，在較好的學生中還有更好的學生，他能提出更一般的問題，并加以解決.例如，1+2+3+…+200或1+2+3+…+199各等于多少？當然，這些也都不難.更有數學素養的人則會探討1+2+3+…+n的一般公式.其實，早在高斯之前，早在伯努利之前，數學家們就已經知道，這只不過就是一個最簡單的等差級數求和問題.

數學家和普通人的不同之處就在于他們會考慮更一般的問題——等冪和的問題：

1²+2²+3²+…+n²=？

1³+2³+3³+…+n³=？

……

1^k+2^k+3^k+…+n^k=？

這樣，一下子所有人都傻了.能提出問題當然不錯，但能解決問題就更棒了.這個時候，所有人都變成了“高斯的同學”，會先一個一個地傻算，然后造出個表來.從理論上講，只要你有足夠的耐心，愿意花足夠多的時間，就可以得出結果來.在雅各·伯努利之前，已經有人編寫出了前幾位數的2次方到6次方的和的表了.這可是一大本書，想想看吧.雅各·伯努利就相當于算等冪和的高斯，他得出了所有等冪和的公式！比如，他算出

1¹⁰+2¹⁰…+1000¹⁰

=91 409 924 241 424 243 424 241 924 242 500.雅各的公式中出現了一系列的分數B₀，B₁，B₂，…，B_n，…，它們被后人稱為伯努利數.在沒有計算機的時代，算等冪和十分鐘也就了事！神吧？伯努利數可不止這點兒用處，從代數數論到微分拓撲，好多地方都有它的身影.喏，這就是高等數學了.

三、約翰·伯努利

伯努利家族經過五代的拼搏.產生了第一位偉大的數學家——雅各·伯努利.但第一有第一的難處，一切都要從頭做起.以微積分為例，雖然是牛頓首先發明了微積分，但一直沒有發表論文.別人問他，他也不會仔細地告訴他們.到了17世紀80年代，德國的萊布尼茨發表了他獨立發明的微積分，但論文也很難懂.雅各在1687年寫信向萊布尼茨求教.萊布尼茨可不像牛頓，他喜歡同別人溝通、交流，但可惜萊布尼茨這時正在各地旅游，沒有收到信.于是雅各只好自己鉆研，最后終于搞明白了萊布尼茨的兩篇論文.雅各又把自己的心得體會加了進去。并教給別人，其中就包括他的弟弟約翰·伯努利.到了1690年以后，兄弟兩人都和萊布尼茨通上了信，這便開始發展成為人數眾多的“大陸學派”.

雅各和約翰的父親沒有搞獨生子女政策，他一共有十個子女，雅各是老五，約翰則差不多是最小的.父親同樣也干涉約翰的志愿，他希望約翰子承父業去經商.年輕人多少都有點兒叛逆心理.同哥哥一樣，約翰反倒選擇了學術事業.1683年約翰進入巴塞爾大學，1685年取得藝術碩士學位.在三大專業中，他又選擇了醫學專業，讀了五年，1690年取得醫學碩士學位，并在1694年取得博士學位.博士論文是關于肌肉生理學方面的.顯然這是醫學的一個重要課題.不過他并沒有去當醫生，而是同他哥哥一塊兒搞起了數學研究.1687年是關鍵的一年，那一年最重要的事情當然是牛頓出版了他的巨著《自然哲學的數學原理》.顯然，伯努利兄弟還不能很快地理解它.雅各剛剛弄懂萊布尼茨發表的兩篇微積分論文，便興高采烈地教給了他的弟弟約翰.那年約翰剛滿20歲，跟著哥哥成為了懂微積分的第四個人.兄弟兩人都有足夠的天分，他們不僅能夠理解萊布尼茨的開創性工作，而且能夠加以發展，用來解決各種前沿問題.

師傅領進門，修行在個人.約翰很快就感覺到生活在哥哥的影子中并不愉快.雅各比約翰大12歲還多.人們自然會以為約翰的論文少不了哥哥的幫忙.為了擺脫哥哥的影響，既然雅各已經取得了巴塞爾大學的數學教席，約翰就只好去別處找工作了.

（未完待續）