數學思考力：在“自然境遇”中自由生長

楊友平

摘要：在新課改語境下，數學思考力培養得到重視。但是，數學課堂的常態教學所呈現的學材“程式化”、思維“標準化”、語境“小眾化”、思考“零碎化”等問題制約了學生數學思考力的培養，教師需進一步檢讀“本質”、檢視“形式”、檢行“發現”，引導學生在數學學習活動中與“逆境”相應、與“異境”相融、與“我境”相適，讓數學思考力在“自然境遇”中自由生長。

關鍵詞：數學思考力；自然境遇；自由生長

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2015）04A-0062-04

一、檢讀“本質”：數學思考力的概念再認識

什么是數學思考力？數學思考力實質是一種隱性學力。學者論述頗多，且存在認識差異。我們不妨換個角度，嘗試用解構策略檢讀一下“思考”、“數學思考”、“力”等相關核心概念，以幫助重新認識本質要素。“思考”一詞在《現代漢語詞典》中解釋為“進行比較深刻的、周到的思維活動。”“數學思考”是人們在面臨各種問題情境時從數學的角度去觀察分析問題，發現其中存在的數學信息，并運用數學的知識與方法去解決問題的思考方式。[1]所謂“力”是指學力、能力。日本學者細野真宏認為，“數學思考力”是一種邏輯運用、本質聯系、信息建立的能力，也就是通過消除自己的偏見，整理思考事物結構的能力。[2]不難看出，“數學思考力”的特質指向其思維性。教師應更多地關注思考過程中的獨立性、適應性、敏感性等積極要素作用，學會用數學的思維方式進行思考。

1.關注思維的獨立性

心智自主是重要的思維特質。[3]教師要善于發揮學生“自我”意識在思考過程中的主體作用力，把思考的選擇權還給學生，激發開放的意向與意愿，釋放獨立思考的自由，喚醒學習經驗，主動思考發現數學知識及隱含的思想，用數學的方式去聯系構建“自己意義的”邏輯結構，獨立自主地應對不可預見的現實問題。

2.關注情境的適應性

數學思考力形成是師、生與數學的課堂相遇、相識與相應的過程。無論是建立數感、符號意識、空間觀念和統計觀念，還是發展合情推理和演繹推理、形象思維與抽象思維能力，都需要通過參與觀察、實驗、猜想、證明、綜合實踐等發現活動，建立起“數學常識”和“問題情境”的聯系，逐步在數學形式與發現活動中積淀生長出數學思考力。

3.關注思考的敏感性

敏感性是對某一行為適當性的感知能力，是思維特質的重要成分，其積極作用得到學者們的廣泛認同。[4]因此，在教學過程中，教師應關注思考的敏感性培養，通過充滿了求同與求異、形象與抽象、邏輯與直覺、聯想與猜想等思維方式的動態交融、有機統整，引導學生從不同角度思考問題，尋找信息與問題的聯系，培養他們的思考方向的敏感、信息關聯的敏感、非常規思考的敏感、問題發現的敏感、復雜思維情境的敏感等，不斷改善思維方式、提高思考水平。

二、檢視“形式”：窺探課堂常態的數學思考力“虛實”

法國作家法朗士說：“形式是一只金瓶，思想之花插入其內，便可流芳百世。”當下“課改”，以“改課”推進，“改課”的意義并不在形式本身，重要的是形式背后的實質變革：學生數學思考力及問題解決能力等學力是否得到真正提升。教師需要更理性地觀察自己的課堂，檢視靜態形式下所影射出的動態思考力的虛實。

1.學材“程式化”：“有思路”未必“有出路”

人們總堅信“有思路就有出路”這一由思考轉化為思考力的成功秘訣。但從發展學力的角度看，這樣的邏輯實現需要一個條件支持：“思路”來自學生自己的思考。意味著在數學思考轉化為數學思考力過程中，教師為學生提供適合的啟思學材并幫助學生表達自己的數學思考顯得尤為重要。學材作為思考力轉化的重要媒介，對啟思引學、深化探索有重要意義。但是，不少展示課、家常課所呈現的學材都有意無意地透露著現成思路或模式，問題解決幾乎沒有難度。看似邏輯呈現的學材使教學更順暢，但同時也暴露了思考被動與發現單一的另一面。長期思考現成，只會養成惰性思維。這樣的培養方式未必有出路。

2.思維“標準化”：“沒問題”其實“有問題”

熱衷于尋找“標準答案”不知何時成為群體的思維共性，以唯一性與排他性為特征的“標準化”思維無疑成為一種桎梏創造的文化。窺視課堂，我們不難發現種種思維的“標準化”教學的硬傷。

現象一：質疑環節“走過場”。對“同學們還有什么疑問嗎？”之類的意見征詢，通常無人問津，課堂上不容易聽到不同聲音，與好奇好問的兒童天性不相符合，與更高質量的思考背道而馳。

現象二：思考方式“照這樣”。盡管形式上主張算法多樣化、解法個性化……但最終教師會基于答題風險考慮，對算法、解法作“強勢比較”后，形成統一方式，表面的“尊重”和答題“沒問題”，實質難掩思維僵化和思想失自由。

現象三：速求結果“造公式”。在追求“標準化”的功利驅動下，一些解決實際問題的習題被教師“額外重用”，提煉推導出一大堆更抽象的“衍生公式”：S環=（R2-r2）π、S半圓=πr2÷2、C半圓周=πr、C半圓=5.14r等。當數學思考淪為枯燥推導與符號游戲，所“造公式”只是空有其“殼”，反而會拖累兒童思考與前行。

3.語境“小眾化”：“被思考”實質“無成長”

“語言是思維本身的要素。”[5]通過課堂對話所構筑起來的語境表征學生思考的結果，同時也透露出他們在學習中的話語狀態。數學課堂本是多樣性思維碰撞與激發的自由“場域”，但由于教師偏好合乎己意的學生應答，課堂經常會被少數能言善思者“把控”，“小眾化”的“代言”比比皆是。多數學生在強勢語境中只能淪為旁觀者和迎合者，課堂貌似精彩，實質是一種“被思考”形式。這種“無思想”的盲從行為極不利于思考自覺和批判性思維的自由生成。

4.思考“零碎化”：“無整體”帶來“沒力度”

數學思考是一種數學化、系統化的思維方式，我們需要把整體思考作為認識的出發點和歸宿點，幫助學生養成整體思考與構建的意識和能力，培養更高層次的思維方式，既要用規律解釋與推理，又要用辯證聯系與架構。目前，我們的課堂還顯然偏重于“是不是”、“對不對”的對白式“零碎問”，甚至“滿堂問”，缺少來自學生內部的“是什么”、“怎么辦”的整體性思考，更缺少“我覺得”、“我發現”等自悟式思考，難以喚醒學生的自我參與，難以促進系統思考和深層發現。

三、檢行“發現”：數學思考力在“自然境遇”中自由生長

愛默生說：“人，全都是為‘發現而航行的探尋者”。數學思考的種子究竟投放到何種境遇里，才能生長出自己的思想，并生發出能夠驅動理智行為的數學思考力呢？形式似乎很多，但歸根結底要服從教育的“自然適應性”，將數學知識“形式”與動態“發現”有機結合，面對于“逆境”、立足于“我境”、引發于“異境”，自由穿行在觀察、感知、發現、歸納、演繹、構建等思維過程中，發展和增進數學思考力。

1.“逆境”相應，自己撬開問題的“外殼”

當前對數學課堂的預設與生成討論頗熱，不可忽略的是：教師要把應對“逆境”作為課堂設計的重要線索。因為，“逆境”思考雖艱辛，但從思考過的地方總會生長出自己的智慧來。如，《圓的周長》教學重點環節“探索圓周率”，教師向學生拋出一個整體性問題，引發矛盾，在逆境中探究。

第一步：整問留白，引發“頭腦風暴”。教師在簡要回顧上節課內容，并了解例題3直徑表達輪胎大小規格的信息后，出示整體性探究問題：王伯伯編了個長31.4米的籬笆，要在門前一大塊空地上圍個盡可能大的圓形菜園，這個圓的規格（直徑）是多少？請你幫他出主意。

生1：用籬笆直接圍一個圓形。

生2：不行，沒有圓規的幫忙，不容易圍成圓。

生1：可以先用一根繩子拉直畫個圓再圍嘛。

生3：繩子畫的圓可能太小，也可能超過籬笆的長度。

生4：多畫幾個圓試試就行了。

生5：王伯伯把籬笆圍來圍去太辛苦！

師提示：文具盒里的細線能幫助圍圓嗎？

生6：可以用31.4厘米的細線圍一圍，找找直徑多少就行了。

通過大問題覆蓋所知所感，讓所學知識與經驗在“逆境”中思考“突圍”——找合適的直徑，避免問題咀嚼過細，臺階過于細小，反而制約了思考的腳步。

第二步：操作留意，嘗試“直感調適”。用31.4厘米的棉線最大可圍成直徑多少的圓？學生用直感參與操作思考，嘗試與調整：先估一估周長與直徑的關系，再借助圓規畫圓，用線圍一圍，量一量周長與直徑；棉線有剩余再調整直徑畫圓……嘗試中用操作、直感、形象等發現方式探究周長與直徑存在的聯系。第三步：觀察留心，系統“聯系信息”。用數學的眼光觀察是數學思考的重要特征。學生通過系統收集圓周長與對應直徑的信息，通過計算觀察，發現“圓周長/直徑的值都是大約3”，在尋找“圍最大的圓”的探索調整過程中發展了數學思考力。

2.“我境”相適，自主構建發現的“意義”

研究表明，數學思維不是靠傳授而得，必須從“自我”參與下的數學知識發現與理解過程中獲得。用王國維先生“有我之境”的觀點就是“以我觀物”、“物皆著我之色彩”。因此，數學教學中應該基于學生的“我思、我義、我決”之境，引導學生用數學的眼光審視、用自適的方式發現、用自己的體驗感悟，達成內部與外部的自然相適，體驗思考過程的發現樂趣與意義感知。如，《長方形和正方形面積計算》教學：

第一步：學材催化，“我”先思一步。學材一：拼一拼，面積變了嗎？拿出6個1cm2的小正方形紙片，觀察感知兩種長方形面積不變。發現：面積的大小就是單位面積的多少（方格數）。學材二：數一數，面積是多少？呈現長方形方格圖，尋找快捷的數面積方法。發現：長方形面積大小取決于長與寬的格數。學習材料的合理投放能夠有效激活經驗背景，支持學生獨立思考，使其廣泛獲得“什么是長方形面積”“面積與長寬相關”等基本經驗。

第二步：問題轉化，“我”多想一步。教師出示長6cm寬4cm的長方形，讓學生用小正方形紙片擺一擺算面積。活動中有幾個學生想到只擺長邊與寬邊求面積，教師肯定“少擺”的智慧后順勢追問：擺的小方格還可以再少嗎？在“少擺”的問題驅動下引發全體思考，更多學生生成創見性擺法（圖1），通過“擺滿—少擺—只擺一個”等問題轉化，學生發現用一個方格動態量一量長邊與寬邊并作標記，同樣可以求長方形面積，讓數學思考走向抽象與動態，不斷突破思考層級。

第三步：思考優化，“我”少做一步。數學是模式的科學。教師需要幫助學生在優化思考策略中，超越現實情境，從具象走向抽象，從特殊走向一般。教師在第一步與第二步探究基礎上，繼續引導思考：如果我們要知道教室的面積，還用1平方厘米的小方塊測量合適嗎？該怎么辦？

生1：太不合適了，教室有好幾米長，量幾百次，人都要累趴下啦。

生2：用1平方米的小方塊量合適。

師：1平方米的方塊小嗎？（笑）用這樣的大方塊量面積就方便嗎？觀察一下前面方法，有什么求長方形面積的捷徑？

生3：都是量出長方形的長和寬里各有幾塊方格，再用方格數相乘求面積。

生4：我覺得教室面積可以用米尺或卷尺量教室的長和寬是幾米，就知道長邊與寬邊各擺幾個1平方米的“大方塊”了……

通過實際應用中的思考“少操作一步”，以邏輯關聯的遞進式探究逐步將求長方形面積模型化，不斷將數學思考引向深層。

3.“異境”相融，自由感悟隱含的思想

數學思想是數學知識的發現和理解過程中最重要之力。只有充分展開知識發生發展的過程，通過不同視角、不同立場、不同維度的“異境”探索與視界相融，才能感悟到知識背后的隱含思想與數學思考的發現魅力。

策略一：走點“彎路”找“不同”。在一無所知的陌生境遇中，對學生來說是一種“最富成效的學習時刻”，或許就是走向創造的開始。因此，教師不要懼怕學生的方法麻煩甚至易錯，要通過支持學生找“不同”，跳出思維慣性束縛。教學《梯形面積計算》，教師未采用教材思路（指定轉化成平行四邊形）操作，而是讓學生利用前面所學自己探尋。學生在沒有“定向”的制約下發現將任意梯形分割成兩個三角形，也能推導出梯形面積計算公式。引導學生“回頭看”：用“分割法”找一找長方形、平行四邊形、三角形、梯形面積公式存在什么聯系？學生驚奇地發現：幾種圖形都可以轉化成三角形計算面積，而且計算公式都可以看成梯形面積計算公式。不僅在走“彎路”中找到“不同”，還從“不同”中找到“相同”，觸碰模型思想與推理，盡管曲折卻很寶貴。

策略二：換個“角度”尋“更多”。求異思維有多方向與多角度思考等特征。當學生習慣于用一種方法解決數學問題時，容易造成思維僵化。教師不妨經常引導學生換個“角度”思考，聯系更多儲備知識與經驗，尋找更多可能。如指導解題“一輛汽車從甲地開往乙地，4小時行了全程的2/5，照這樣計算，還要幾小時到達乙地？”多數學生順向思考：（1-2/5）÷（2/5÷4），教師繼續啟發：還有其他不同思路嗎？學生換個角度想到更多解法：設未走時間x小時2/5︰4=（1-2/5）︰x；4÷2/5-4；4÷2/5×（1-2/5）；4×（1÷2/5）-4……

策略三：跨越“異境”求“變通”。在一定思維線索下，讓學生的數學思考在知識間、問題間、層級間的“異境”下自由穿越，有利于促發學生的直覺性、跳躍性思考，培養思維的變通力。如，六年級數學活動課，教師設計了一節《吸塵機器人》：校科技組組裝了一個吸塵機器人，身體是圓柱形，底面直徑40厘米，高10厘米，在長8米寬6米的空曠實驗室內作調試。吸塵機器人的體積是多少？如將側面與上面刷上防護漆，需要刷多少面積？讓它以每分鐘2米的速度沿著墻壁轉一圈需要幾分鐘？如果將教室地面全部吸一遍，還有多少面積吸不到？……從面積到體積、周長到時間、顯性到隱性、靜態到動態，跨越在多種“異境”間，感悟著建模、轉化、抽象等多種數學思想，也提升著思考水平。

境遇相適，思考化力。教師需要在數學“形式”與“發現”間構建思維的橋梁，讓學生置身于一個思維自由、充滿探索與創造的數學課堂中，學會數學地思維，不斷在“自然境遇”中生長出靈動思想和思考之力。

參考文獻：

[1]周錫華.有效促進學生“數學思考”的幾個策略[J].小學數學教育，2011（5）.

[2][日]細野真宏.學習的新革命：即使討厭數學也能飛速掌握的數學的思考力[M].錢曉曦，譯.北京：中國輕工業出版社，2010：206.

[3][4]朱新秤.論思維特質的培養與教學變革[J].課程·教材·教法，2006（1）.

[5]萬祎.評述馬克思恩格斯論語言與思維[J].文學教育（上），2012（5）.

責任編輯：石萍