基于灰色馬爾可夫鏈模型的水質預測

劉冰

摘要 GM（1，1）模型由于其原始數據的起伏性和無序性，預測結果不是很理想。針對這一情況，采用馬爾可夫鏈模型對GM（1，1）模型結果進行優化，并應用該模型對太子河干流化學需氧量進行預測。結果表明，應用灰色馬爾可夫鏈模型進行預測，化學需氧量成逐年下降的趨勢，2012年實際化學需氧量為11.4 mg/L，結果在（9.97，12.59）的預測區間，說明應用灰色馬爾可夫鏈對水質進行預測是可行的。

關鍵詞 GM（1，1）；馬爾可夫鏈模型；水質預測

中圖分類號 S181.3；X8 文獻標識碼 A 文章編號 0517-6611（2015）11-259-02

水質預測是水環境研究的重要內容，其目的是預測未來的發展趨勢，是水環境管理、保護和治理的一項重要的基礎性工作。目前，常用的預測方法主要有時間序列法、灰色系統模型法、回歸分析法、模糊分析方法、馬爾可夫鏈方法、小波分析方法、人工神經網絡方法等。在選擇了某種預測方法的同時，既接受了該方法的優點，又默認了該方法的缺點。灰色模型預測由于其原始數據的起伏性和無序性，且原始數據的個數有限，難以將預測帶限制在一個較小的范圍之內，導致灰色預測模型在大多數情況之下是粗糙的[1]。國內外學者專家在灰色模型基礎上，進一步運用馬爾可夫鏈模型對其結果進行優化，即用灰色模型預測曲線來反映其發展規律，用馬爾可夫鏈模型來反映波動規律，給出預測值的大體范圍，兩者相結合能很好地解決實際問題。筆者應用灰色馬爾可夫鏈模型對太子河干流化學需氧量進行水質預測。

1 GM（1，1）模型

GM（1，1）模型是利用隨機過程中的潛在規律性建立灰色模型對灰色系統進行預測，是基于GM模型作出的定量預測。目前常用的灰色模型包括GM（1，1）、GM（l，N）、GM（0，N）等。其中，GM（l，1）是基本預測模型，應用最為廣泛。GM（1，1）模型的特點是利用單變量時間序列數據進行預測，將無規律的原始數據經過生成后，使其變為較有規律的生成數列再建模[2]。

筆者采用2002～2011年太子河干流化學需氧量的年度均值作為基礎數據，對化學需氧量進行預測，以2012 年數據驗證模型。2002～2011年太子河化學需氧量各年度均值分別為22.7、24.2、25.5、22.4、22.4、22.7、17.3、16.3、11.9、11.4 mg/L。

設原始數據：X（0）=（x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n））=（22.7，24.2，25.5，22.4，22.4，22.7，17.3，16.3，11.9，11.4）。

1.1 X（1）為X（0）的1-AGO序列X（1）=（x（1）（1），x（1）（2），…，x（1）（n））。

其中，x（1）（k）=ki=1x（0）（i），k=1，2，…，n。Z（1）為X（1）的緊鄰均值生成序列：

Z（1）=（z（1）（1），z（1）（2），…，z（1）（n））；

z（1）（k）=0.5（x（1）（k）+x（1）（k-1）），k=2，3，…，n）。

X（1）=（22.7，46.9，72.4，94.8，117.2，139.9，157.2，173.5，185.4，196.8）。

1.2 對X（1）作準光滑性檢驗由ρ=x（0）（k）x（1）（k-1），得ρ（2）≈1.066，ρ（3）≈0.54，ρ（4）≈0.31<0.5。

當k>3時，準光滑條件滿足。

1.3 檢驗X（1）是否具有準指數規律由σ=x（0）（k）x（1）（k-1），得σ（1）（2）≈2.06，σ（1）（3）≈1.54，σ（1）（4）≈0.31。

當k>3時，σ（1）（k）∈[1，1.5]，δ=0.5，準指數規律滿足，可以對X（1）建立GM（1，1）模型。

1.4 確定數據矩陣B，Y

B=

-12[X（1）（1）+X（1）（2）]1

-12[X（1）（2）+X（1）（3）]1

……

-12[X（1）（N-1）+X（1）（N）]1

YN=[X（0）（2），X（0）（3），…，X（0）（N）]T

1.5 建立GM（1，1）模型的微分方程

dX（1）dt+aX（1）=u

記系數向量=[a，u]T，用最小二乘法原理對求解：=（BTB）-1BTYN。

參數a稱為發展系數，它反映X^（1）、X^（0）發展態勢。

1.6 GM（1，1）模型的時間響應函數

X^（1）（t+1）=X（0）（1）-uae-at+ua

計算可得：

X^（1）（t+1）=-318.08e（-0.088k）+340.78。

擬合結果見表1。

1.7 模型識別檢驗由表1和表2[3]可知，化學需氧量的平均相對誤差為8.74%，為3級精度。用GM（1，1）模型預測化學需氧量，預測精度為3級，勉強合格，這就需要應用馬爾可夫模型進行修正預測。

2 灰色馬爾可夫模型步驟

該模型針對灰色數據序列首先建立GM（1，l）模型進行趨勢預測，然后利用馬爾可夫狀態概率轉移矩陣預報方法對其預測值進行二次擬合，由GM（l，l）模型結果的一個預測數值，修正成為區間和概率組成的預測范圍，增加預測的可信性[4]。具體步驟如下：

2.1 建立GM（1，l）模型X^（1）（t+1）=-318.08e（-0.088k）+340.78。

2.2 劃分狀態根據GM（1，1）模型求出相應的預測值X^（0）（k），然后求出殘差ε=X^（0）-X（0） ，殘差相對值為Δ=X^（0）-X（0）X（0）×100%。對殘差相對值進行狀態劃分，求出殘差相對值序列各值所對應狀態，對殘差相對值序列建立馬爾可夫鏈模型。GM（1，1）模型的預測值和實際值的殘差相對序列Δ（k）的范圍為（-16.78%，21.76%）。對于殘差相對值序列算出樣本均值=1.9和樣本均方差s=1n-1ni=1（xi-）2=11.52，采用均值-方差方法，根據實際情況，分成3個狀態：E1=（-16.78%，-0.5s]，E2=（-0.5s，+0.5s]，E3=（+0.5s，21.76%）。即：E1=（-16.78%，-3.86%]，

E2=（-3.86%，7.66%]，E3=（7.66%，21.76%）。

2002～2011年太子河干流化學需氧量年數據見表3。

2.3 馬氏性檢驗

χ^2=2mi=1mj=1fijlnP^ijP^*j

當α取0.05時，χ20.05（（3-1）2）=0.871 1。2>χ2α（（m-1）2），所以太子河干流化學需氧量序列具備“馬氏性”。

2.4 計算轉移概率矩陣計算一步轉移矩陣：

P1=1/21/201/52/52/501/21/2

預測對象現在（2011年）處于狀態3，那么下一年的絕對分布：

P（1）=（p0（1），p0（2），…，p0（n））P1=（0，0，1）1/21/201/52/52/501/21/2=（0，0.5，0.5）

于是2012年太子河干流化學需氧量最有可能處于狀態2或是狀態3。根據

Δ（k）=X^（0）（k）-X（0）（k）X（0）（k）

，則X（0）（k）=X^（0）（k）1-Δ，得出X（0）（11）∈（9.97，11.31）且概率為0.5，處于區間（11.31，12.59）的概率為0.5。實際監測中2012年太子河干流化學需氧量11.4 mg/L∈（9.97，12.59），結果在計算的范圍內，比較準確。

3 結論

（1）使用GM（1，1）預測模型對太子河干流化學需氧量進行預測，預測精度為3級，勉強合格，主要是因為原始數據波動性較大。

（2）應用灰色馬爾可夫鏈模型對太子河干流化學需氧量進行預測，預測結果是在一個區間范圍內。灰色馬爾可夫鏈模型由GM（l，l）模型結果的一個預測數值，修正成為區間和概率組成的預測范圍，增加預測的可信性，提高了波動性較大的隨機變量的預測精度。所以應用灰色馬爾可夫鏈對太子河干流化學需氧量進行預測是可行的。

（3）經過預測，太子河干流化學需氧量年度均值是呈現下降趨勢，說明太子河治理措施取得了一定的效果，需要進一步整治。

參考文獻

[1] 林曉言，陳有孝.基于灰色-馬爾可夫鏈改進方法的鐵路貨運量預測研究[J].鐵道學報，2005，27（3）：16-19.

[2] 鄧聚龍.灰色理論基礎[M].武漢：華中科技大學出版社，2002.

[3] 于慧，孫寶盛，李亞楠，等.應用灰色模糊馬爾科夫鏈預測海河水質變化趨勢[J].中國環境科學，2014，34（3）：810-816.

[4] 劉次華.隨機過程[M].武漢：華中科技大學出版社，2001.

責任編輯 李菲菲 責任校對 況玲玲