2.55乘100，結果竟不是255！

彌塵

很久以前，程序員成心文同學遇到了他編程史上的第一個浮點數誤差Bug，這個Bug正如標題所述，在他的程序下2.55*100的結果竟是254.99999999999997，而非255。因為是初次遇到，所以他也不知道是怎么回事，但在請教中外倆.NET大牛無果后，他果斷拍板決定“自己動手，豐衣足食”。

后來他終于找到了原因，簡單地說：

計算機將小數部分0.55轉換成二進制時會形成一個“0011”組合的無限循環，從而造成誤差。解決辦法是盡量用decimal類型替換double類型。

這位年輕的程序員將他的這次編程經歷記錄在了微博上，一不小心被小編扒了出來，于是IT之家就有了這篇關于“世界上只有10種人，一種懂二進制、另一種不懂”的文章（如圖1）。

當然，除了上面的這位同學之外，小編還發現一位名叫周花卷的大牛也遇到了類似的問題，他在谷歌Chrome瀏覽器的開發者控制臺（Win環境下F12/Mac環境按Command+Option+I可以打開一個“開發者工具”窗口，然后點上面的“Console”標簽，你會看到一個控制臺窗口）里輸入“0.1+0.1+0.1+0.1+0.1+0.1+0.1+0.1+0.1+0.1”（一共10個0.1），按下回車后結果竟是0.99999999999999，這個問題同樣也是二進制造成的（如圖2）。

OK，下面進入正題，小編接下來要用更專業的解釋來帶大家飛，不懂二進制的也可以學習一下哈。

要搞清楚這個問題，我們先來理解一下進制的概念。在十進制中，一位數字我們可以使用0到9，比9多的時候就會變成10，這就是一個兩位數了，也就是進位了，二進制也是一樣，只不過一位數字只能使用0和1，再多就要進位了。那么進制的本質又是什么呢？我們隨便拿一個十進制的數字來看一看（如圖3）：

看懂了沒？一個十進制數實際上就是其中每一位數依次乘以10的0、1、2…次冪（權重），然后再把結果加起來，那么以此類推，二進制里面就是把上面的10換成2唄，我們來看一個（如圖4）：

于是二進制數1001也就是十進制數的9。到這里似乎還沒什么問題，因為我們只討論了整數呢，每一個十進制整數都可以轉換成一個二進制整數，反過來，每一個二進制整數也都可以轉換成一個十進制整數。不過，如果把小數也加進來呢？先看一個十進制的小數（如圖5）：

看懂了沒？其實就是把10上面的指數變成了負數而已，不難吧。那么以此類推，二進制的小數也就是把10換成2唄，我們來看一個（如圖6）：

上面我們理解了進制的一些本質特性，算不過來也沒關系，我們暫且先不管它，不過，這跟我們遇到的問題到底有什么關系？別急，我們再看一下當引入小數之后，進制之間的轉換到底出了什么Bug。我們知道實數的數軸是連續的，每兩個數字之間的部分是可以被無限分割的，舉個例子，0和1之間的這部分，如果用十進制一位小數來分割的話，可以分成10份，也就是0.1、0.2、0.3……0.9、1，如果用二進制一位小數來分割的話，則只能分成兩份，也就是0.1（十進制的0.5）、1。你發現了什么問題？無論小數點后面增加多少位數字，二進制永遠只能以2來分割數軸，而十進制則是以10來分割數軸。

讓我們回想一下小學的數學知識，在十進制中，如果要用有限小數來表示一個分數的值，那么這個分數的分母（化簡之后）一定不能包含除了2和5以外的其他質因數，因為十進制以10來分割數軸，而10分解質因數的結果為2×5。舉個例子：1/8、1/10、1/25都可以換算成有限小數（分別是0.125、0.1、0.04），因為這些分數的分母分解質因數之后只包含2或者5（8=2×2×2、10=2×5、25=5×5），而當分母包含其他質因數時，例如1/3、1/7、1/18這些則無法用有限小數來表示（也就是俗話說的“除不盡”）。如果我們把這個規律套用到二進制上會怎么樣呢？2本身就是一個質數，無法分解質因數了，因此在二進制中，如果要用有限小數來表示一個分數的值，那么這個分數的分母一定只能包含2這一個質因數，換句話說，分母必須為2的冪（2、4、8、16、32……）。

好了，我們回頭看看開頭的題目，0.1換算成分數就是1/10，而1/10的分母是10，10并不是2的冪，因此，在二進制中并不能用有限小數來表示1/10這個值。事實上，如果將0.1轉換成二進制，我們會得到一個無限循環小數：0.000110011001100……看到這里，很多人估計已經想明白了，沒錯，計算機的精度是有限的，并不能直接處理無限小數，對于無限小數必須要截短到某個位置把它變成有限小數，但截短之后這個數就不準了，必然就產生了一點誤差，而連續加10次會將這種誤差放大，當誤差被放大到一定程度時，計算的結果就會出問題了，于是我們就看到了開頭的那一幕。如果用十進制來類比的話，大家可以想象一下，1/3+1/3+1/3=1，但1/3只能用無限循環小數來表示，即0.333333……，如果我們將它截短到某一位，假設截到0.333，那么0.333+0.333+0.333=0.999，你看，同樣也會出問題。

問題的原因總算搞清楚了，不過感覺很坑爹啊，計算機居然算不準小數，但為什么平時大家很少因此遇到問題呢？那是因為大多數用戶都不用編寫程序，但對于整天編寫程序的程序員來說，這樣的問題其實經常遇到。比如說，如果你在一段程序中需要讓計算機判斷0.1+0.1+0.1+0.1+0.1+0.1+0.1+ 0.1+0.1+0.1是否等于1，計算機會告訴你不等于1，坑爹吧？如果這段程序涉及算錢，有時候就會錯得很離譜，因此有經驗的程序員在碰到小數計算的時候都會特別小心。當然，作為一般用戶我們平時根本不需要關心這樣的問題，不過計算機居然會算錯數，怎么想都覺得挺奇妙的吧？