模塊主成分分析在人臉重建中的應用

王亞楠等

摘 要： 模塊主成分分析是人臉重建中一種重要的子空間學習方法，魯棒性不足是傳統的基于L2范數的模塊主成分分析（BPCA-L2）的主要問題。為此，提出了一種新的基于L1范數的模塊主成分分析（BPCA-L1）方法。該方法使用了對奇異值不太敏感的L1范數。基于L1范數的模塊主成分分析方法簡單并易于實現，在一些人臉數據集上的重建實驗驗證了其有效性。

關鍵詞： 模塊主成分分析； L1范數； 主成分分析； 魯棒性

中圖分類號：TP393 文獻標志碼：A 文章編號：1006-8228（2015）02-24-02

Application of block principal component analysis in face reconstruction

Wang Ya'nan， Lou Hanxiao， Chen Daben， Xu Shuhua

（School of Maths and Physics， Shaoxin College， Shaoxing 312000）

Abstract： The block principal component analysis is an important subspace learning method in face reconstruction. Lacking robustness is a main problem of the traditional L2-norm （L2-BPCA）. In this paper， a method of block principal component analysis （BPCA） based on a new L1-norm is introduced. L1-norm is used， which is less sensitive to abnormal values. The proposed block principal component analysis based on L1-norm is simple and easy to be implemented. Experimental reconstruction on several face databases are conductive to verifying the validity of L1-BPCA.

Key words： BPCA； L1-norm； principal component analysis； robustness

0 引言

主成分分析（PCA）[1]是多元數據分析中廣泛使用的降維方法，其主要目的是尋求具有最大方差的一組正交基。楊等人[2]首先提出了二維主成分分析（2DPCA），是二維（2D）圖像分析中的一種有效的降維方法。它不同于PCA，2DPCA直接基于原始二維圖像的向量基礎進行分析，避免了從矩陣到向量變化過程中的矢量化。2DPCA根據計算圖像的協方差矩陣的特征向量，得到個數比圖像矩陣的行數少的投影方向。近年來，2DPCA在圖像表示和識別的應用引起了越來越多人的興趣。

然而，2DPCA僅提取像素排列中的行向量的圖像信息，而與特征提取具有同等地位的列向量空間排列是完全被忽略的。一般來說，模塊PCA（BPCA）[3]是將每個圖像分成若干個塊，然后在這些模塊中使用PCA進行處理。如果模塊作為行向量，那BPCA就是2DPCA，那么BPCA在這個意義上泛化為2DPCA。

上述所有方法中，由于使用了L2范數[4]，導致其對異常值十分敏感。為了解決魯棒建模問題， Ding等人[5]提出了基于L1范數PCA，該方法使用了簡單有效的迭代算法求解基向量。李等人[6]將2DPCA的適用范圍擴展到L1范數并應用于圖像重建，稱之為2DPCA-L1。此外，彭等人[7]考慮了基于L1范數的張量分析。

2DPCA-L1和PCA-L1之間的關系正像2DPCA和PCA之間的關系一樣，2DPCA-L1是PCA-L1的一個特例。當PCA-L1應用到圖像矩陣的行向量中，PCA-L1就變成了2DPCA-L1。受此啟發，把PCA-L1應用于圖像小塊中的這種方法可以稱為BPCA-L1。BPCA-L1具有三個特征。①它是2DPCA-L1的一般表示。由于它有效地結合了行和列的圖像信息，更多的空間信息被保存。不像2DPCA-L1那樣只在行向量上起作用，BPCA-L1是應用在圖像的小塊中。其投影過程實際上是一個在原始圖像上進行本地過濾操作。因此，需要尋求一個行和列的信息之間的權衡。②由于使用了L1范數，BPCA-L1是魯棒的。③不需要構建協方差矩陣和分解密集的特征，BPCA-L1使用一個簡單的迭代算法并且收斂很快。在本文中，BPCA不是使用基于L2-范數最大化方差，而是使用了一種更簡單快捷的L1-范數。實驗表明，BPCA-L1算法具有更好的圖像重構性能。

1 基于L1-范數的模塊PCA

1.1 理論分析

將每張圖像Xi（i=1，…，n）分成m個小模塊形成集合{，…，}。這些模塊必須包含h個像素點。用{，…，}表示這些模塊圖像的向量，也就是說，依字母順序排列每一個小模塊中的像素點。我們的目標是找到一個h維單位長度向量ψ*使L1范數離差達到最大，ψ*由下式給出：

⑴

通過迭代算法求解ψ*。首先，構建一個極性函數：

⑵

更新第（t+1）次迭代的投影向量ψ（t+1）為：

⑶

在圖像重建中，圖像塊{，…，}不能重疊，并且要求覆蓋整個圖像。但通常情況下，圖像塊不一定有相同的矩形形狀或覆蓋整個圖像。例如，模塊可能是部分重疊的圓圈。

為了提取第（l+1）個基向量， 其中l?1，根據如下公式更新訓練數據：

⑷

其中并且有ψ1=ψ*。

1.2 算法步驟

⑴ 初始化：圖像Xi（i=1，…，n）分成m塊，記為{，…，}。

⑵ 極性檢驗：對于所有的i∈（1，2，…，n），j∈（1，2，…，m），如果，pi（t）=1，否則pi（t）=-1。

⑶ 迭代和最大化：令t←t+1，。

⑷ 收斂性檢驗：

（a） 如果ψ（t）≠ψ（t-1），則執行第二步；

（b） 否則如果存在i和j使得，令，繼續執行第二步，其中Δψ是一個小的非零隨機向量；

（c） 否則，令ψ*=ψ（t），最后算法結束。

2 實驗

2.1 實驗數據

本文采用ORL人臉圖像集，由40人組成，每個人包括10張不同的圖像，共有400張圖像樣本。原始圖像的大小為112×92像素，灰度值為256。在我們的實驗中，圖像采樣為64×64像素。

本實驗的目的是評估當訓練數據被噪聲污染時的線性子空間方法的重建能力。隨機選擇80張圖像樣本，對每個選定的圖像在隨機的位置上添加矩形噪聲污染，如圖1所示。噪聲值為0或255，矩形的大小至少為15×15。

2.2 實驗結果與分析

對于每個數據集，我們進行了20次實驗并計算平均重構誤差。實驗前，對每個輸入變量進行標準化，它們具有零均值和單位方差。

不同特征數量下使用BPCA-L1和BPCA-L2子空間方法進行圖像重構時的平均重構誤差如圖2所示。圖像塊的大小設置為8×8。可以看出，特征數超過一定的閾值時，基于L1范數的方法優于相應的基于L2范數的方法。當特征數較少時，基于L2范數的方法和基于L1范數的方法效果相當（不相上下）。奇異圖像對L2范數的影響比L1范數更大，這表明引入L1范數到BPCA具有明顯的優勢。

圖3顯示了一個原始的圖像和BPCA-L1、BPCA-L2方法下不同投影向量重構的圖像。在圖3中可以看到，盡管基于L1的方法重建圖像和對應的基于L2的方法的視覺效果差不多，但是兩者平均重建誤差有所不同。

圖3中，第一行使用BPCA-L2，第二行使用BPCA-L1。第一列是原始圖像，第二、三和四列是重構的圖像，它們投影向量分別是5、10和30。

3 結束語

本文使用BPCA-L1方法對部分人臉受到遮蓋的圖像進行重構，由于該方法使用了塊或整體-局部表示法，通過結合行信息和列信息有效地利用了圖像空間結構，并且L1范數的實現采用一種簡單的迭代算法，有較好的收斂性，該方法的平均重構誤差低于BPCA-L2方法，BPCA-L1方法對異常值有魯棒性。

參考文獻：

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