2-RPS＆PSR并聯機構剛度分析

柴保明，韓紅雨，陳景禮，張保民

(1.河北工程大學機電工程學院，河北邯鄲 056038;2.河北漢光重工有限責任公司設計所，河北邯鄲 056038)

0 前言

目前，在并聯機構的剛度分析中可知，現有的分析方法包括有限元分析法、模型解析法、矢量法、性能分析法等。而文中則以螺旋理論為基礎，求取機構的全雅克比矩陣，進而在此基礎上建立剛度模型，運用Matlab軟件進行仿真。得出其各種直觀曲線，驗證該并聯機器人實現預期運動的可行性，通過實例驗證剛度理論求導的正確性，從而為今后的機構設計打下基礎。

1 2-RPS＆PSR并聯機構坐標系的建立和機構的實物圖

建立機構2-RPS＆PSR的坐標系如圖1所示。

圖中以A、B分別作為ΔA1A2A3、ΔB1B2B3的中心，在固定平臺上，以點A為坐標原點建立起固定坐標系A－xyz，x軸與A1A3平行，y軸與A1A2平行，z軸與ΔA1A2A3所在平面垂直;再以動平臺為基礎，建立以B為坐標系原點的坐標系B－uvw，假設無論在何種瞬時狀態下，建立的動平臺坐標系各坐標系均平行于固定平臺坐標系A－xyz，各個坐標軸的設置同上。

圖1 2-RPS＆PSR并聯機構簡圖

如圖2所示為3D繪圖軟件Crea.2所構建的并聯機構2-RPS＆PSR的實物模型圖。

圖2 2-RPS＆PSR并聯機構實物模型

2 基于螺旋理論并聯機構2-RPS＆PSR的全雅克比矩陣

基于螺旋理論，運動螺旋為:

式中:$pi表示第i條支鏈產生的運動螺旋(i=1，2，3)，且

式中:v，w分別為動平臺的上參考點B的線速度和角速度。

第一條支鏈產生的瞬時運動螺旋在坐標系中表示為:

式中:θj1(j=1，2，3，4，5)表示第一條支鏈的第j個轉動副的角速度;q1表示第一條支鏈主驅動上移動副的線速度。

則第一條支鏈的各個旋量的表達式如下:

由以上各式以及圖1可知，$11、$21、$31的方向分別與球運動副的3個轉動軸線方向一致，且兩兩互相垂直，$31和$41的方向是一致的，二者均為主動副軸線的方向。由圖1可知，$21=$51、$31=$41且$21、$51與$31、$41相垂直，b1=BB1。

根據螺旋理論的對偶性以及機構的特性可知，第一條支鏈具有一個約束反螺旋:

將上式以矩陣的形式表達:

式中:Jc1為第一條支鏈的約束雅克比矩陣

其中Jc1作為第一條支鏈對動平臺所施加的約束力螺旋，其方向與此支鏈的轉動副的運動軸線是一致的，作用力在球運動副的中心上。

假如鎖定第一條支鏈中的移動副，則可以得到此支鏈的一個反螺旋量為:

將上式(9)與(1)作互易積，可得:

將上式以矩陣的形式表達:

式中:Jb1為第一條支鏈的驅動雅克比矩陣

其中Jb1作為第一條支鏈對動平臺所施加的驅動力螺旋與動平臺所施加的約束力螺旋相互垂直。

同理可得:

第二條支鏈產生的瞬時運動螺旋在坐標系中表示為:

第二條支鏈的約束雅克比矩陣為:

第二條支鏈的驅動雅克比矩陣為:

第三條支鏈產生的瞬時運動螺旋在坐標系中表示為:

將上式進行綜合計算，得到并聯機構2-RPS＆PSR的約束雅克比矩陣Jc:

由以上各式以及并聯機構2-RPS＆PSR的性質特征，可得機構中的約束螺旋所構成的矩陣秩為3，即在約束系中三個約束螺旋系是線性不相關的。

將上式進行綜合計算，得到并聯機構2-RPS＆PSR的約束雅克比矩陣Jb:

綜合式(19)和(20)得并聯機構2-RPS＆PSR的全雅克比矩陣為J:

3 并聯機構2-RPS＆PSR的剛度分析

當外力作用于動平臺時，從而使平臺產生螺旋變形，則有虛功原理可得:

式中:Δp表示各個支鏈上的變形;

f表示作用在動平臺的力;

Δx表示動平臺產生的螺旋變形:

τ表示螺旋變形的矢量。

fai表示作用在第i條支鏈上的驅動力;

fci表示作用在第i條支鏈上的約束力;

Δpai表示作用在第i條支鏈上的驅動力方向上的變形;

圖3 并聯機構在x，y，z軸方向的剛度分量(f=0)

Δpci表示作用在第i條支鏈上的約束力方向上的變形。

由胡克定律可得:

而fa=kaΔpafc=kcΔpc

且JΔx=Δp，可得

式中:k表示并聯機構的全剛度矩陣。

4 并聯機構2-RPS＆PSR的剛度仿真

利用Matlab軟件對并聯機構2-RPS＆PSR進行剛度的仿真，kx，ky，kz分別為該機構的剛度在x，y，z方向的分量，考慮兩種情況受力與不受力。

由圖3可知，在不受力作用時，x方向、y方向上的剛度在位形變化時，隨著桿長的減小而增大，在機構的工作空間內中心位置是剛度值是最大的，隨著向邊緣位置的移動，機構的剛度則是逐漸在減小;z方向上的剛度在位形變化時，隨著桿長的減小而增大，在機構的工作空間內中心位置是剛度值是最小的，隨著向邊緣位置的移動，機構的剛度則是逐漸在增大。

由圖4可知;在受力f作用時，x方向、y方向上的剛度在位形變化時，隨著桿長的減小而增大，在機構的工作空間內中心位置是剛度值是最小的，隨著向邊緣位置的移動，機構的剛度則是逐漸在增大;z方向上的剛度在位形變化時，隨著桿長的減小而增大，在機構的工作空間內中心位置是剛度值是最大的，隨著向邊緣位置的移動，機構的剛度則是逐漸在減小。

圖4 并聯機構在x，y，z方向的剛度分量(f=1 000 N)

5 結論

基于螺旋理論為基礎，去求得機構的全雅克比矩陣，進而在此基礎上建立剛度模型，進而通過Matlab對機構的剛度進行分析，從而為今后的機構設計打下基礎。

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