基于遺傳算法的3-DOF并聯機床機構的結構參數優化

張虎，郭志飛，張錚，徐安林

(1.無錫職業技術學院機械技術學院，江蘇無錫 214121;2.江蘇大學機械工程學院，江蘇鎮江 212013)

0 前言

并聯機床具有結構緊湊、動態特性好、剛度大等優點，其中三自由度并聯機床應用最為廣泛［1－3］。并聯機床機構的設計中，一般以機床的結構對稱性、工作空間、靈活度、速度與承載能力等作為評價指標。依據機構學相關理論，機床結構參數(如桿長、機床床身尺寸)直接影響上述指標，因此在選型結束后，需要對機床結構參數的進行優化［4－6］。

要獲得較大的工作空間、高靈活度等多個優化目標時，可將這一問題轉化成多目標優化問題。遺傳算法［7］非常適用于解決復雜非線性和多維空間最優解等問題，在計算科學、模式識別等方面有著廣泛應用。

本文作者是在選定3-P-(2U-2S)這一并聯機構構型后，以工作空間、運動特性作為評價指標，將機床床身半徑R、連桿桿長L作為優化設計參數，應用遺傳算法來實現3-P-(2U-2S)機床機構的優化設計。

1 并聯機床機構基本特征介紹

并聯機床機構結構簡圖如圖1。移動副作為機床的驅動副，通過伺服電機驅動3個滑塊沿導軌直線移動，進而帶動動平臺實現三自由度平動，從而改變激光光頭的位置參數，與激光系統配合后，可實現三自由度平動激光加工(激光切割或焊接)。

圖1 機床結構簡圖

2 并聯機床機構的位置方程

設定機架定平臺OPi=R，O'Ai=r桿長為L，機床位置結構簡圖如圖2所示。設定動平臺中心O'在靜坐標系O－XYZ下的坐標為(x，y，z)，各滑塊點Bi在{O}坐標系內的坐標:

［Bi］o=(R cosαi-R sinαiZi)T

圖2 機床位置結構簡圖

根據桿長約束方程可得到機床機構位置反解方程如下:

3 機床機構工作空間求解

并聯機床的工作空間求解，通用的方法一般可分為幾何解法和數值分析法。

數值分析法是根據約束條件(比如桿長約束、轉角約束)，利用位置逆解來搜索邊界和工作空間的內部點集的方法。該方法得到的工作空間是空間點的集合，一般是通過計算機計算獲得，其優點在于程序化、可以通過改變相關參數，得到不同參數下的工作空間。取表1中的機床參數進行計算。

表1 機床結構參數

利用MATLAB計算得到工作空間和XOY方向投影的最大截面如圖3。

圖3 并聯機床工作空間與最大截面

同時，工作空間最大截面與機床結構參數的關系分析如下。

根據運動學原理，3個支鏈末端最大回轉工作空間的交集，即為工作空間的最大截面如圖4，3個圓的方程如下:

圖4 工作空間最大截面

最大截面面積Smax，經計算可得:

導軌長度一定時，Smax與工作空間大小成正相關。

4 機床機構運動學特性求解

由于機床機構具有三平動自由度，輸入與輸出均為線速度。設定輸入輸出速度矢量分別為vin，vout，得Jvin=vout，雅克比矩陣J反映了機床滑塊輸入運動與動平臺輸出運動的映射關系。

由式(1)可得到雅克比矩陣J如下:

得到:

設定κ(J)=cond(J)=‖J‖·‖J－1‖稱為雅克比矩陣條件數，反映了速度傳遞時的相對誤差可能的放大率［8］。

條件數的倒數，η(J)=1/κ(J)，稱為線速度傳遞各向同性(LCⅠ)，其值越大，則各項同性越好，速度傳遞性能在該點的傳遞性能越好，η(J)≤1，當η(J)=1，則各向同性處于最佳狀態。

應用MATLAB軟件求解η(J)=1/κ(J)，得到LCⅠ。圖5是在LCⅠ在工作空間XOY面上的分布云圖與等高線圖。

從圖5中可以直觀地看出動平臺在機床中心附近時，機床的LCⅠ較高，沿中心向外圍擴散，即傳遞性能在機床機構中心最好，沿直徑方向逐漸變差。在中心區域300 mm×300 mm(XOY平面)內LCⅠ值較大，同時中心點與邊緣點的差值較小、分布均勻，說明機床加工工件時，運動的穩定性好。

另一方面，對于在規定工作空間W下的綜合運動學性能，可通過全局條件指標GCⅠ來表示:

圖5 LCⅠ在分布云圖與等高線圖(R=500，L=700)

5 基于遺傳算法的機床機構參數優化

5.1 基本原理

遺傳算法［9］基于自然進化規則搜索和計算問題，能夠收斂得到全局最優解，基本操作包括選擇、交叉和變異。BP神經網絡算法有很強的映射能力，常常用于函數逼近、模式識別等。將遺傳算法與BP網絡算法結合，可以充分發揮神經網絡的泛化的映射能力。通過BP網絡算法構建目標函數模型，來作為遺傳算法的尋優函數。

5.2 具體步驟

設定機床機構參數半徑R、桿長L為變量，分別取范圍為L∈［700，800］，R∈［500，600］(單位:mm)。

通過求解規定的工作空間(300 mm×300 mm×Z)的全局條件指標GCⅠ值，比較優化機床機構參數。通過求解可以到不同組合L、R得到的離散點(L，R，GCⅠ)，應用BP網絡算法構建映射關系構造目標函數，因此GCⅠ作為機床機構運動特性的評價指標;另一方面，取工作空間最大截面Smax可以作為工作空間的評價指標。

將上述兩種指標，構建評價函數通過“加權”的方式，來轉換成單目標優化問題，通過遺傳算法訓練，得到一組工作空間與GCⅠ值較好的組合解，從而將多目標優化轉換成單目標優化問題［97，104］，其數學模型如下:

其中ω1、ω2是賦給工作空間與GCⅠ的權值，f1、f2是參照滿意度函數法［10］構造的對應于工作空間與GCⅠ的子函數，稱為評估函數。由于兩者均期望為最大值，函數定義的方法如下。

其中，是響應^yi是經GCⅠ或Smax得到的一個任意值，Ui對應最大值，Li對應最小值，αi是常數。這樣經過上述數值轉換后，工作空間與GCⅠ對應的的評估函數f1、f2的任意數值是fi(^yi)，其大小在一個數量級，從而不會使工作空間與GCⅠ本身數值大小影響優化效果。設權值與參數值ω1=ω2=1，α1=α2=1。

采用MATLAB遺傳算法GAOT工具箱，作為求解最優值的求解工具。通過ga()相關語句，進行求優計算。經過100代的進化之后，得到最優值收斂于1.259 7。

5.3 優化結果

圖6是GCⅠ與工作空間在遺傳算法下的尋優性能跟蹤圖，圖中虛線代表適應度函數的最佳值(Best fitness)和實線代表平均值(Mean fitness)。

最優參數值為:L=796.56;R=570.57

圖6 遺傳算法下的尋優性能跟蹤圖

將上述優化的機床機構參數尺寸代入到式(3)，求解得到優化后的工作空間最大截面，如圖其面積為4.219 7e+005 mm2，優化后的LCⅠ在工作空間的分布如圖8。

分析圖3、5與圖7、8，說明優化后機床機構在保證工作空間下，運動特性條件指標得到了提高，這樣既能使并聯機床在工作空間上滿足加工要求，又能保證機床機構的運動學性能。綜上，文中的機床機構的參數優化基本完成，優化結果令人滿意。

圖7 優化后，最大工作空間截面圖

圖8 LCⅠ在優化后分布云圖與等高線圖

6 結論

通過計算給出了并聯機床機構3-P-(2U-2S)的反解方程，應用邊界搜索的方法得到機床機構的工作空間，接著通過雅克比矩陣的求解得到并聯機床機構的條件數方程。最后，應用BP網絡算法構建映射函數，通過遺傳算法對機床機構的結構參數(機床半徑R與桿長L)進行了尺寸優化。通過優化，并聯機床在工作空間和全局運動條件指標GCⅠ兩個綜合性能得到了提高。

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