待遇預定制養老基金資產組合與繳費計劃最優決策
——基于隨機波動率Heston模型及Legendre對偶變換法

肖建武，尹希明

(1.中南林業科技大學商學院，湖南 長沙 410004; 2.上海交通大學數學系，上海 200240)

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待遇預定制養老基金資產組合與繳費計劃最優決策
——基于隨機波動率Heston模型及Legendre對偶變換法

肖建武1，尹希明2

(1.中南林業科技大學商學院，湖南 長沙 410004; 2.上海交通大學數學系，上海 200240)

待遇預定制養老金制度在中國應用非常廣泛，繳費制定和資產配置是此類養老金管理的兩大核心問題。由此，面對隨機波動的現實市場，文章針對待遇預定制養老基金的資產組合管理問題，應用最優控制理論，選用對數效用函數，建立Heston隨機波動率模型；在難以求解隨機微分Bellman方程的情況下，應用Legendre變換，將原來問題轉化為對偶問題，從而求得原問題的解析解。在理論上，進一步豐富了資產組合問題的隨機最優控制模型的構建和隨機微分方程的求解理論。在實踐上，確定了養老金管理風險資產配置比例和繳費水平，給出了最優決策與總資產、發放待遇、凈資產與風險溢價之間的數量關系，從而實現養老基金管理的最優資產配置和最低繳費水平的效用目標。

待遇預定制養老金；資產組合；隨機波動率；Heston模型；Legendre變換

1 引言

養老金制度是為社會成員提供養老金的社會化制度安排，分為兩種基本類型：(1)待遇預定計劃(DB，Defined Benefit Plan)，即預先規定退休后的養老金水平，繳費水平需經過精算估計；(2)繳費預定計劃(DC，Defined Contribution Plan)，即預先確定繳費水平，退休后以繳費和投資收益為基礎發放養老金。那么，繳費制定和資產組合便成了DB計劃養老金管理的兩大核心問題[1]。國內外有大量文獻針對養老基金的資產組合、繳費和待遇發放等資金管理問題進行了研究，相對來說，更多的研究主要集中于BC計劃，但也有不少的文獻成果針對DB計劃進行了研究，國外的Josa-Fombellida等[2]、Boulier等[3]、Haberman等[4-5]分別根據不同市場條件和應用不同隨機控制方法研究了待遇預定制養老金的最優投資組合和繳費水平問題；筆者等[6-7]也就待遇預定制養老金的投資繳費問題建立了隨機波動率的常方差彈性(CEV)模型，并探討了數值模擬和Legendre變換-對偶解析解法。

在養老基金的資產配置決策中，由于大量不確定性因素影響著投資的收益與方差，所以，實際的投資市場是一個隨機波動的市場。如何突破靜態的分析方法和常波動率限制，更好地描繪實際金融市場的隨機波動性，使資產組合模型能更接近實際問題，其中，具有隨機波動率的模型就能較好地描述實際隨機金融市場，如CEV模型和Heston模型。CEV模型最早由Cox和Ross提出[8]，考慮了風險資產市場價格因素，能很好地描繪實際市場隱含波動的不對稱性(An Implied Volatility Skew)[6-7]。Heston[9]模型最早由Heston研究，能較好地反映風險資產收益和方差的隨機波動性，在基于風險資產價格服從Heston隨機波動率條件下，李靜[10]、Han Jiguang等[11]和Kim等[12]研究了期權定價問題，Li Zhongfei等[13]和李艷方等[14]研究了最優投資和再保險問題，林祥和楊益[15]研究了確定DC計劃養老金的最優投資問題。

應用隨機控制求解Hamilton-Jacobi-Bellman方程是一個比較復雜的數學過程，特別是在增加控制量和應用隨機波動率的情況下，往往會得到更加復雜的非線性偏微方程，而借助Legendre變換將原問題轉化為對偶問題加以研究分析，可以解決部分模型的求解問題。事實上，在熱力學、統計力學和量子論領域應用此類方法的學術工作比較廣泛，而在近年中也逐步延伸到了金融投資決策領域。Chaulli和Hurd[16]對金融中的Hellinger過程應用Legendre變換，針對三種效用函數分析了原問題與對偶問題的相互關系以及理論性質；Jonsson和Sircar[17]將Legendre變換引入到了資產配置和對沖期權問題；筆者也曾在研究[7，18-19]中應用Legendre變換探討了養老基金管理服從常方差彈性(CEV)的隨機波動率模型。本文與之前的研究[7，18-19]工作相比，相同的是，都是針對養老基金的管理建立了隨機波動率控制模型，可以更好地描繪實際金融市場的隨機波動性；另外，都是應用Legendre變換和對偶理論探討最優決策的解析解，從而突破傳統隨機偏微方程求解難的問題。不同的是，CEV、Heston分別描述了不同的市場條件和市場過程，本文構建的是Heston模型，在風險資產滿足Heston條件下，研究養老金的管理問題；另外，也進一步研究了Legendre變換和對偶理論在更多類型的隨機控制模型求解方面的應用。

基于上述的應用背景和理論方法，本工作將針對待遇預定制養老金的管理，采用對數效用函數，建立Heston隨機波動率模型，結合最優控制理論和Legendre變換，將原來問題轉化為對偶問題，通過對偶問題的求解，求得原問題的解析解，從而確定風險資產比例μ和繳費水平C。理論上，建立了更加符合實際市場隨機變化條件的隨機波動率模型，并應用Legendre變換克服了復雜的非線性偏微方程的求解過程，達到最優控制決策。應用上，探討了待遇預定制養老基金的資產組合和繳費問題，滿足基金成員獲得既定受益條件下繳費最少的社會福利。

2 隨機控制模型

2.1 主要假設

考慮待遇預定制養老金的管理，即預先規定退休后的養老金發放水平，基金管理者依靠總繳費和投資收益兌現預先承諾，假設固定發放水平為P。

在不考慮消費的情形之下，養老基金的資產組合分成風險資產(μtVt)和無風險資產((1-μt)Vt)。其中，總資產價值記作Vt，μt表示風險資產所占總資產的比例，兩者都是關于時間t的函數，剩余部分(1-μt)Vt投向無風險資產。

無風險資產收益率假設為常數r(r>0)，常見的如銀行儲蓄利率或債券利率，則無風險資產在t時刻的價格Bt滿足如下常微分方程：

dBt=rBtdt

(1)

(2)

其中，Wt是標準布朗運動，λ>0為常數，Dt是一個均值回復平方根過程，也稱CIR過程[9]，滿足如下方程：

(3)

其中，k，θ，σ均為正常數，θ是Dt的長期平均值(theLong-TermMean)，k是Dt的均值回歸率(aMean-RevertingSpeedParameter)，σ表示Dt的波動率(theVolatilityofVolatility)，且假設2kθ>σ2，D(0)>0，從而保證Dt>0；Wt′是標準布朗運動，不妨假設它與Wt之間的相關系數為ρ，即(dWt,dWt′)=ρdt。

2.2 最優問題

在待遇預定計劃中，養老基金管理者在能保證發放水平的條件下，通過投資收益，盡量降低繳費水平；同時還要考慮到未來價值貼現，也就是要使得累計繳費現值最小，故選擇對數效用函數：

(4)

其中，β表示貼現率,設為常數；Ct表示在t時刻的養老金繳費水平。

定義值函數：

(5)

所以，待遇預定制養老基金管理的最優問題就可以表述為：在t時刻給定風險資產價格St和總資產價值Vt的條件下，確定控制——繳費水平Ct和風險資產比例μt，使得負效用期望最大[7]。

3 模型求解

3.1 HJB方程

考慮到養老基金投資于風險資產與無風險資產，以及繳費與待遇發放，其總資產的價值變化則滿足以下微分方程：

(6)

其中，第一項表示風險資產收益，第二項表示無風險資產收益，第三項表示基金繳費，最后一項表示待遇發放。將無風險資產模型和風險資產Heston模型帶入式(6)，則有：

(7)

對以上最優問題求得關于值函數H(t,S,V)的HJB(Hamilton-Jacobi-Bellman)偏微方程：

(8)

式中，H(t,S,V)簡單記作H，Ht，HV，HD，HVV，HVD，HDD分別表示對t，V，D的各階偏導；大括號部分是關于μ和C的多項式，則最優控制(μ*,C*)滿足：

λHV+μVHVV+ρσHVD=0

(9)

由此可得：

(10)

(11)

將(10)和(11)帶入(8)得：

(12)

這是一個比較復雜非線性偏微方程，很難采取經典的分離變量法解得直觀的解析解，下面將應用Legendre變換將其轉化為對偶問題，通過對偶問題的求解從而取定原問題的最優控制解。

3.2 對偶問題

定義原問題值函數的對偶函數：

(13)

(14)

其中，Z>0表示V的對偶變量。

(15)

定義效用函數的對偶函數：

(16)

(17)

借助Cox和Huang[20]和Kramkov等[21]的分析，我們容易說明函數U(C)和U(Z)可以通過Legendre變換相互轉化：

(18)

按照Z=U′(C)，上式成立的最優值C*、Z*之間的相互關系為：

(19)

效用函數定義為具有連續導數的嚴格遞增凹函數，那么對偶函數是一個嚴格遞減的凸函數，則原問題可以化為對偶問題：

(20)

將(15)代入HJB方程(12)得以下偏微方程：

(21)

(22)

3.3 方程求解

按照上述Legendre變換定義的對偶函數為：

(23)

所以，對上述偏微方程(22)求可分離變量形式的解：

(24)

滿足初始條件：f(0)=1，φ(0)=0，將其帶入式(22)則有：

(25)

則有：

(26)

即滿足：

(27)

(28)

可得：

(29)

即得：

(1-e-rt)

(30)

3.4 最優決策

按照以上推導，風險資產投資比例和繳費水平可以重新表示為：

(31)

(32)

4 結語

考慮繳費水平P的影響，對待遇預定制養老基金，隨著社會進步，以及考慮通貨膨脹和人們生活水平的提高，養老金待遇隨之提高。在其它條件不變的情況下，該決策式表明，養老金的繳費水平要隨著待遇水平的提高而降低，這也恰好滿足了養老基金追求的最優問題：通過投資收益，盡量降低繳費水平。同時，投資風險資產的比例也要隨著待遇水平的提高而降低，進一步論證了養老基金投資應該遵循的基本原則：滿足收益性的前提是安全性和流動性。

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TheOptimalPortfolioDecisionandContributionPlanofDefinedBenefitPensionFundsBasedonaHestonStochasticVolatilityModelandLegendreDualTransformMethod

XIAO Jian-wu1，YIN Xi-ming2

(1.Business School, Central South University of Forestry &Technology, Hunan Changsha 410004, China；2. Department of Mathematics, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China)

The defined benefit pension system applies widely in China. The portfolio and the contribution plan are the two core issues in this system. Thus, a Heston stochastic volatility control model with the logarithm utility function for the portfolio of the defined benefit pension funds is created in this paper, and a stochastic differential Bellman equation by applying optimal control theory is obtained. But this equation is very difficult to solve, so it transfers the primal problem to the dual problem and provides an analytic solution to the primal optimal problem by applying the Legendre transform and the dual theory. In theory, the paper enriches the methods of the model specification and the model solution for the stochastic volatility control model about the portfolio. In practical level, an optimal asset allocation strategy (between a risky asset and a reckless asset) and the least contribution policy, and expressions of quantity relations between the optimal decisions and the total assets, the pension benefit, the net assets and the risk premium to achieve the utility goal are found in this paper.

defined benefit pension funds; portfolio; stochastic volatility; Heston model; Legendre transform

2013-01-18；

2013-07-17

教育部人文社會科學研究項目(10YJC790296)

肖建武(1973-)，男(漢族)，湖南株洲人，中南林業科技大學商學院，教授，博士，碩士生導師，研究方向：投融資管理.

1003-207(2015)03-0042-05

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2015.03.005

F224.11

A