數項級數和的幾種求法

林美娟

（金華職業技術學院師范學院，浙江 金華321007）

1 利用數項級數和的定義求和

2 利用冪級數求和

3 利用歐拉公式求和

分析 這是典型的交錯級數，此題中的和式并非是n個連續正整數的倒數之和，但是可以轉化為奇數項之和（第一部分）減去偶數項的和（第二部分），然后在兩部分中都加上，這樣就可以用歐拉公式來求極限.

4 利用傅里葉級數求和

可以展成傅里葉級數的函數（逐段光滑）要比可以展成冪級數的函數（存在任意階導數）廣泛得多.在函數的傅里葉級數展開式中給定x的一個值就可以得到某個級數的和.

分析 此題用冪級數也可以求和，如果利用函數f(x)=x2在[-π,π]展成的傅里葉級數，那么解題的過程就比較簡捷.

解 因為函數f(x)=x2在[-π,π]展成的傅里葉級數為

以上給出的只是幾種常用的數項級數的求法.在具體問題中可以綜合運用各種方法，一道題也可以有多種解法.

［1］劉玉璉.數學分析講義(第五版)[M].高等教育出版社,2008(4).

［2］費定暉,等.數學分析習題集題解[M].山東科學技術出版社,1980(2).