最小勢能法與極限平衡法的對比分析

胡小兵 羅 惠

(寧波市房屋建筑設計研究院有限公司，浙江 寧波 315040)

最小勢能法與極限平衡法的對比分析

胡小兵 羅 惠

(寧波市房屋建筑設計研究院有限公司，浙江 寧波 315040)

針對圓弧滑裂面最小勢能法與傳統的極限平衡法進行了對比，對比表明：在求解滑裂面上的法向應力方法不一樣，但求得的安全系數基本一致，并通過算例進行了驗證，指出最小勢能法整個求解過程無需劃分條塊，計算過程方便簡潔，是一種比較合理和可行的計算方法。

穩定性分析，最小勢能，極限平衡法

0 引言

邊坡穩定性分析一直是巖土工程的一個重要研究課題，也是巖土工程領域的一個熱點問題。目前邊坡穩定性分析方法主要有：極限平衡法、塑性極限分析法、有限元強度折減法、矢量和法、最小勢能法等[1-6]，其中極限平衡法是邊坡穩定性分析的傳統方法，在實際邊坡工程中被廣泛應用。該方法的特點是考慮土體的靜力平衡以及摩爾庫侖準則，通過力或力矩在極限狀態下的平衡進行安全系數的求解，由于該方法概念明確，且在計算方法上形成了大量的計算經驗和計算模型，因而成為目前邊坡穩定性分析的主要分析方法。最小勢能法是由Mauldon和Ureta[7]針對一種特殊形狀的巖質棱柱體，基于最小勢能原理，提出的一種邊坡穩定性分析的新方法，該方法通過分析邊坡整體勢能的變化進行求解，安全系數可以直接求出，整個過程不需要劃分條塊，不需要迭代，計算過程簡便。

本文針對圓弧滑裂面將最小勢能法與極限平衡法進行對比分析，通過對兩者的求解過程對比分析，有助于了解最小勢能法求解安全系數的簡便性，最后本文也編輯了一個最小勢能法的界面計算程序，便于利用最小勢能法進行安全系數的計算。

1 分析方法對比

Bishop法是極限平衡法中計算模型較為成熟的一種分析方法，在邊坡實際工程中被廣泛應用，該方法是1952年由畢肖普針對圓弧滑動面提出的，其基本計算過程如下。

如圖1所示邊坡，設可能的滑動面是一圓弧AC，其圓心為O,半徑為R,將滑動土體ABC分成若干豎向土條，取其中的任意一條(第i條)分析其受力情況。如圖1b)所示，作用在土條上的力有：土條的自重Wi，滑動面上的法向反力Ni及剪應力Ti，還有土條兩側的法向力Ei，Ei+1及豎向剪切力xi，xi+1。土條在這些力的作用下處于平衡狀態，則由y方向力的平衡得：

Wi+ΔXi-Tisinαi-Nicosαi=0

(1)

其中，ΔXi為作用在土條兩側的剪應力差；αi為條塊i的法向力與y軸的夾角。

由于土體在尚未破壞時，土條滑動面上的抗剪強度只發揮了其中的一部分，此時，將滑裂面上的抗剪強度指標按同一比例降低為c/FS以及tanφ/FS，進而使得滑動面上的抗剪強度全部發揮，并且沿著此滑裂面處達到極限平衡狀態，即有：

(2)

其中，ci,φi分別為土條i的粘聚力和內摩擦角。

把式(2)代入式(1)中可得：

(3)

通過對整個滑裂面取圓心O的力矩平衡，此時作用在土條兩側的法向力的力矩將相互抵消，而各土條滑裂面上的法向應力均通過圓心，則:

(4)

由式(3)，式(4)得：

(5)

式(5)就是Bishop法求解邊坡安全系數的普遍公式，Bishop證明，若忽略土條兩側的剪切力，所產生的誤差僅為1%。

最小勢能法是一種從能量的角度分析邊坡穩定性的新型分析方法，該方法求解安全系數的基本思路如下。

(6)

則整個邊坡系統勢能為：

(7)

其中，積分域L代表整個圓弧AD。

(8)

把式(7)代入式(8)得：

(9)

Ni=m(n1d1+n2d2)dl

(10)

由摩爾庫侖準則可得每一微段dl的極限剪應力Ti為：

Ti=cidl+Nitanφi

(11)

其中，ci，φi分別為土體的粘聚力和內摩擦角。

則當邊坡處于極限平衡狀態時，整個滑裂面的極限剪應力為：

(12)

此時，定義安全系數FS為滑裂面上的極限剪應力與實際剪應力的比值，通過對圓心O取力矩平衡得：

(13)

其中，l1為合外力的水平分力R1到圓心O的力臂；l2為合外力的豎向分力R2到圓心O的力臂。

當作用的合外力只有重力W時，式(13)變為：

(14)

其中，l為重力到圓心的力臂。

分析綜述：通過上面極限平衡法安全系數的求解式(5)以及最小勢能法安全系數的求解式(14)可以看出,兩者的分母都是整個滑體的重力對圓心O的力矩，而分子都是整個滑裂面的極限剪應力對圓心O的力矩，進而可以看出兩者求解安全系數的區別在于求解滑裂面上的法向力方法不一樣，極限平衡法是通過劃分條塊，由力的平衡求得，且法向力包含未知數需要不斷迭代，而最小勢能法無需劃分條塊，通過勢能原理求得滑體的虛位移，利用力與位移的關系求得法向力，整個過程無需迭代，計算簡便。

2 界面程序

通過上面理論公式的推導過程可以看出，在求解安全系數的過程中需要大量的計算，因此為了方便采用最小勢能法計算以及將其很好的應用于實踐，本文通過MATLAB將上述公式進行編輯，將編輯后的程序嵌入到界面計算模塊，進而形成一個簡便的界面計算程序。如圖3所示，在進行使用時用戶只要在“輸入”列中輸入相應的參數，點擊計算，就能在安全系數輸出框里輸出相應的安全系數，整個過程簡潔、方便，便于用戶的使用。

3 算例

通過下面一個算例將最小勢能法與極限平衡法的計算結果進行對比分析，該算例被很多學者拿來驗證計算方法的合理性。

如圖4所示，該邊坡滑裂面為一橢圓滑裂面，橢圓滑裂面的圓心坐標Y(6.1,21.3)，邊坡坡率0.5，坡高h=12.2 m，土體的物理參數為：容重r=19.2 kN/m3、粘聚力c=29.3 kN/m3、內摩擦角φ=20°，橢圓的長軸a=24.4 m、短軸b=24.4 m，極限平衡法與最小勢能法的計算結果見表1。

表1 不同方法的計算結果[8]

最小勢能法簡化Bishop法簡化Janbu法Spencer法2.1302.1261.9602.117

從表1中可以看出，最小勢能法與極限平衡法的計算結果非常接近，且與簡化Bishop法最接近，這也驗證了上面的理論分析，同時也表明最小勢能法是合理且可行的。

4 結語

最小勢能法是一種基于勢能原理求解安全系數的新型邊坡穩定性分析方法，相對于極限平衡法，在求解滑裂面上的法向應力時不用劃分條塊，整個求解過程也無需迭代，計算過程簡單，通過算例對比表明：最小勢能法與極限平衡法的計算結果非常接近，是一種比較可行和合理的計算方法，本文開發了一個最小勢能界面計算程序，便于用戶使用最小勢能法進行邊坡穩定性分析。

[1] 陳昌富,朱劍鋒.基于 Morgenstern-Price法邊坡三維穩定性分析[J].巖石力學與工程學報,2010,29(7):1473-1480.

[2] 袁 恒,羅先啟,張振華.邊坡穩定分析三維極限平衡條柱間力的討論[J].巖土力學,2011,32(8):2453-2458.

[3] 趙尚毅，鄭穎人，時衛民，等.用有限元強度折減法求邊坡穩定安全系數[J].巖土工程學報，2002，24(3):343-346.

[4] 劉艷章,葛修潤,李春光,等.基于矢量法安全系數的邊坡與壩基穩定性分析[J].巖石力學與工程學報,2007,26(10):2130-2140.

[5] 羅先啟,袁 恒.求解邊坡矢量和安全系數的三維條分法[J].巖石力學與工程學報,2011,30(S1):2865-2870.

[6] 李小強,白世偉,李 鈾.最小勢能方法在二維邊坡穩定分析中的應用[J].巖土力學，2004，2(6):909-912.

[7] Mauldon M,Ureta J.Stability of rock wedges with multiple sliding surface[J].Candian Geotechnital Journal,1999,14(1):51-66.

[8] 張常亮.邊坡穩定性三維極限平衡法研究[D].西安：長安大學，2008.

Comparative analysis of minimum potential energy method with limit equilibrium method

Hu Xiaobing Luo Hui

(NingboHousingDesign&ResearchInstituteCo.,Ltd,Ningbo315040,China)

The paper compares minimum potential energy method with limit equilibrium method at arc slide face, proves by the comparison that it differs with the method to solve the slide face, indicates it shares some similarity in solving the safety coefficient by the calculation cases, and points out the minimum potential energy method needn’t item compartmentalization in the whole solution process, so it has simple calculation process as a reasonable and feasible calculation method.

stability analysis, minimum energy, limit equilibrium method

1009-6825(2015)32-0072-03

2015-09-05

胡小兵(1979- )，男，高級工程師，一級注冊結構工程師； 羅 惠(1989- )，男，助理工程師

TU311

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