基于分形維數的錢塘江流域地貌發育研究

趙 越，吳 濤，李鳳全，蔡延武，張文君，張萌萌

（浙江師范大學 地理與環境科學學院，浙江 金華321004）

1 引言

分形理論被譽為大自然的幾何學，該理論認為事物在某些方面表現出與整體的相似性［1］。分形理論自提出以來，不斷地被應用于各個領域。在《大自然分形幾何學》一書中，就著重介紹了分形對河流、地形、海岸線、湍流等地理現象的模擬［2］。水系、水網等流水地貌具有明顯的分形特征，對流水地貌的研究分為水系、紊流的分形特征研究以及水系分形性質與地域自然現象的關系研究。在流域地貌特征研究中，分形維數可以看做流域地貌的一個特定參數，能夠反應流域地貌的狀態或者變化情況的特征。江滔等［3］對重慶長江流域進行了水系分維研究，確定了流域的水系分維值，認為該流域處于侵蝕發育的幼年期。馬宗偉等［4］利用盒子維數的方法，分析了贛江中上游流域的Hurst指數數據，得出水系分維越高，水系越復雜，洪澇干旱災害發生的可能性就越低的評估結果。本文基于錢塘江流域的數字高程模型，利用ArcGIS9.3的水文分析模塊，提取不同集水面積下的錢塘江流域地貌河網信息，通過網格法計算得出錢塘江流域的水系分維，并確定了該流域的地貌侵蝕發育階段。

2 研究區域

錢塘江流域位于浙江省西北部，緯度位置為28°5′0″N～30°24′0″N，經度位置為117°24′0″～121°12′0″。上游稱為新安江，中游稱為富春江，下游稱為錢塘江，橄浦以上流域面積49876 km2，主流長583 km［5］，其中浙江境內流域面積35500 km2。氣候屬典型的亞熱帶季風濕潤氣候，四季分明、氣溫適中、雨量充沛、光照豐富，多年平均氣溫16.1～17.7℃。多年平均降雨量1200～2200 mm，降水總的分布趨勢是自西向東北遞減［6］（圖1）。

3 數據來源及計算方法

3.1 數據來源

主要利用錢塘江全流域的DEM數據，數據空間分辨率30m，數據來源于中國空間數據云，如圖2所示。

3.2 流域分形維數的計算方法

目前應用較多的水系分維計算方法主要有：基于Horton定理的水系分維計算和基于分形理論的水系分維計算，后者即網格法。本文采用的是基于網格法的水系分維計算，基本的思想是使用長寬一致的正方形網格去覆蓋河網，可發現覆蓋的正方形網格數量N（ε）和尺度ε的分形負D次冪之間存在正比例關系，有如下公式［7］：

在兩邊都以a（a＞0）為底進行對數計算，可得：

在一組對應的尺度（ε1、ε2、ε3……εK），得到一系列對應的網格數（N（ε1）、N（ε2）、N（ε3）……N（εk），以兩數劇a為底的坐標（Logaε，LogaN（ε））建立坐標，再以最小二乘法擬合一條直線，M為所得直線的截距，D為所得直線的斜率，可得：

所得的D值即是流域分形維數。

4 錢塘江流域水系分維計算

4.1 提取流域信息

對錢塘江流域DEM數據進行流域信息的提取，操作過程主要分為洼地填平、水流方向確定、匯流分析以及水系生成四個步驟。洼地會造成地表水流不順暢，其結果是不能形成完整的流域網格。因此，第一步是對DEM數據進行洼地填平處理［8］。第二步是確定水流方向，目的是模擬地表徑流的流動情況，以建立相應的模型。第三步是通過匯流分析確定水系的流路［3］。完成以上操作后，即可生成完整的錢塘江流域水系網。水系生成需要確定生成水系的閾值，利用ArcGIS9.3中的SingleOutputMapAlgbra即單因素柵格計算，輸入con函數，這個函數的作用就是提取匯流結果途中大于閾值情況的單元格，將不符合要求的單元格忽略。閾值的大小對于不同的流域水系不同，需要結合流域情況進行選擇。圖3即是集水面積閾值為8000時提取的流域水系圖。

4.2 計算水系分維

4.2.1 數據統計

對提取出來的流域水系圖，先用網格邊長分別為400 m、500 m、700 m、1000 m、2000 m、4000 m、5000 m、7000 m、10000 m進行分割，利用疊加分析法，可獲得不同集水面積閾值下，不同網格邊長對應的網格數。詳見表1。

表1 不同流量閾值的網格數據表

4.2.2 水系分維的計算和確定

當網格邊長ε分別取不同的值時，可得到一系列相應的網格數N（ε），由公式（3）可知水系的分形維數即為該公式的斜率D。當集水面積閾值為3000時，將網格邊長ε和網格數N（ε）均以e為底取對數的所得結果做為一組坐標，再用最小二乘法進行擬合，可得：

其中1.49即為集水面積閾值取3000時對應的水系分維。同理可計算出集水面積閾值取4000，5000，6000，7000，8000時，相應的水系分維 分別為 1.45、1.41、1.38、1.36、1.34。

4.3 數據相關性分析

為了驗證集水面積閾值與水系分維數的關系，需要對本次計算的結果進行相關性分析。如圖4所示，當集水面積閾值從3000變化到8000時，水系分維表現為逐漸線性下降。通過最小二乘法對數據進行擬合后，R2＝0.974＞0.95，說明線性相關性良好，即集水面積和水系分維之間存在良好的線性相關性，因此可以利用水系分維數對錢塘江流域的侵蝕發育情況進行研究。

4.4 研究結果驗證

簡單地根據計算所得的水系分維對錢塘江流域的侵蝕發育階進行判斷勢必存在一定的誤差，因此有必要對結果進行檢驗。這里利用積分曲線法，對計算結果進行檢驗。該方法的理論依據是，對于某一流域地形，其物質分配的高程積分曲線，可以表示該流域地形的發育階段［9］。圖5即為流域地形不同發育階段的面積－高程積分曲線，不同特征的積分曲線代表不同的發育階段。積分曲線的計算公式如下：

式中：V表示流域地形體積，H表示流域地勢高差，A表示流域總面積，a表示水平斷面面積，h表示等高線的相對高度。圖5中，縱坐標y＝h／H，即等高線的相對高度（h）與流域地勢高差（H）之比；橫坐標x＝a／A，即等高線所切的水平斷面面積（a）與流域總面積（A）之比［10］。

根據上述公式對錢塘江流域的DEM數據進行提取及積分計算，可得到如圖6所示的錢塘江流域面積－高程曲線。

結合圖5所反映的不同地形發育階段的高程積分曲線特征，可以判斷錢塘江流域處于流域侵蝕發育階段的老年期。

5 分析與討論

水系分維反映了流域的地貌侵蝕發育程度。當水系從幼年期、壯年期發育至老年期的過程中，河網密度由小變大，河流侵蝕能力逐漸減弱，河口處的泥沙供應量也逐漸減少，水系分維值逐漸增大。何隆華等［7］根據水系分維值對流域地貌的侵蝕發育階段進行了劃分，水系分維值D≤1.6的流域地貌處于侵蝕發育的幼年期，1.6＜D≤1.89的流域處于侵蝕發育的壯年期，1.89＜D≤2的流域則處于老年期。而本次研究計算所得的水系分維值D為1.34－1.49，均為“D≤1.6”的情況。若按照何隆華等人的研究成果，錢塘江流域應處于地貌侵蝕發育的幼年期。然而，上文已利用流域地形不同發育階段的面積－高程積分曲線對計算結果進行了驗證，結果表明錢塘江流域侵蝕發育階段的面積－高程積分曲線與圖5中老年期曲線的相似度較高，即錢塘江流域應處于侵蝕發育的老年期。本次研究與何隆華等人所做研究的區別，即導致最終結果不一致的原因，一方面是由于何隆華等人研究的數據主要是實際地圖掃描所得，而本文研究的則是錢塘江流域的DEM數據，DEM數據中的水系密度與現實情況相比，存在一定誤差；另一方面，何隆華等人研究選取的是全國范圍，而這里僅僅是對錢塘江流域進行分形研究。這些研究方面的不同，在一定程度上也會造成最終水系分維值偏小。此外，何隆華先生在文中［7］也提出了侵蝕階段分維值的閾值判斷“結果仍然值得商榷，要確定更加合理的臨界值還需要作進一步的探索”。

因此，根據水系分維劃定流域地貌的侵蝕發育階段并不適合本次研究，雖然錢塘江流域的水系分維值只有1.34～1.49，但結合該流域的面積－高程積分曲線的特征，可判斷該流域處于侵蝕發育的老年期。

6 結語

根據錢塘江流域的DEM數據，通過提取該流域的水系圖，采用網格法求取錢塘江流域的水系分維，利用集水面積閾值與水系分維的相關關系，確定集水面積閾值以及相應的水系分維，最終計算出該流域水系分維的取值范圍為1.34～1.49，并確定錢塘江流域處于地貌侵蝕發育階段的老年期。

致謝對所有幫助該論文順利完成的老師和同學表示誠摯的謝意。

［1］王 橋，毋河海 .地圖信息的分維描述與自動綜合研究［M］.武漢：武漢測繪科技大學出版社，1998：28～29.

［2］Mandelbrot B B.大自然的分形幾何學［M］.陳守吉，凌復華，譯 .上海：上海遠東出版社，1998：303～339.

［3］江 滔，劉洪斌 .基于DEM的重慶長江流域水系分維估算［J］.中國農學通報，2010，26（15）：365～368.

［4］馬宗偉，鐘善錦 .水系分形特征對流域徑流特性的影響－以贛江中上游流域為例［J］.長江流域資源與環境，2009，18（2）：163～169.

［5］于海燕 .錢塘江流域生態功能區劃研究［D］.杭州：浙江大學，2008.

［6］高希超 .氣候變化對錢塘江水域資源的影響［D］.杭州：浙江大學，2014.

［7］何隆華，趙 宏 .水系的分形維數及其含義［J］.地理科學，1996，16（2）：124～128.

［8］周啟鳴，劉學軍 .數字地形分析［M］.北京：科學出版社，2006：172～181.

［9］承繼成，江美球 .流域地貌數學模型［M］.北京：科學出版社，1986：50～65.

［10］吳 濤，趙冬至，蔣國俊，.流域河口濕地生態健康與濕地發育關系研究［J］.生態環境學報，2012，21（6）：1057～1062.