基于高斯偽譜法的有控火箭彈彈道優化方法*

沈冠軍,馮順山,曹紅松

(1 中北大學機電工程學院,太原 030051;2 北京理工大學爆炸科學與技術國家重點實驗室,北京 100081)

基于高斯偽譜法的有控火箭彈彈道優化方法*

沈冠軍1,馮順山2,曹紅松1

(1 中北大學機電工程學院,太原 030051;2 北京理工大學爆炸科學與技術國家重點實驗室,北京 100081)

為了解決有控火箭彈彈道優化問題,文中提出一種基于Gauss偽譜法的彈道優化設計方法。首先在縱向飛行平面內建立火箭彈運動模型,將運動過程等效為路徑約束,以飛行始末狀態為邊界約束條件,建立起有控火箭彈彈道優化模型。基于Gauss偽譜法將彈道優化問題轉化成一系列非線性規劃問題并以序列二次規劃法求解。最后以某型火箭彈射程為優化指標進行仿真,經優化后在保持飛行穩定的前提下彈道射程明顯增加,表明文中所提出的優化設計方法可有效地對彈道進行優化,并且具有收斂速度快的特點。

高斯偽譜法;有控火箭彈;彈道優化

0 引言

彈道優化是火箭彈彈道設計中的一個重要環節,通過對火箭彈彈道軌跡和控制規律的優化,以提高火箭彈的飛行性能。隨著計算機技術和最優控制理論的發展,數值法求解最優控制問題逐漸在彈道優化中得到了普遍應用[1]。文獻[2]應用極大值原理求解彈道修正引信彈道優化模型,得到了最優法向控制量。文獻[3]對間接法進行彈道優化時無法獲得全局最優解的缺點,提出了一種改進方法。間接法獲得解的精度高,但是推導最優性條件困難、收斂半徑小、協狀態變量初值猜測困難。為解決間接法在彈道優化中的不足,文獻[4]通過序列二次規劃法求解了參數化后的助推滑翔導彈彈道優化問題,文獻[5]利用Radau偽譜法將助推-滑翔飛行器彈道優化問題轉換為非線性規劃問題,文獻[6]根據偽譜法將再入動力學微分方程約束轉換成代數方程約束,將制導問題轉換為不需要積分的最優規劃問題。

文中結合Gauss偽譜法無需對微分方程求解,設置參數較少且精度較高的特點,建立了有控火箭彈飛行平面內彈道優化模型,基于Gauss偽譜法將最優控制問題轉換為非線性規劃問題,以序列二次規劃法對此非線性規劃問題進行求解,最終得到最優控制問題的解,并通過實例進行該方法的驗證。

1 運動模型的建立

文中以一種鴨式布局的簡易控制火箭彈為研究對象,其飛行過程如下:當火箭彈出炮口后一定時間,鴨舵張開進行控制,舵片的張開改變了火箭彈原來的氣動布局而產生不同的氣動力,不同的起控時間和舵片偏轉規律將影響火箭彈飛行性能,文中將舵片偏轉作用等效成飛行攻角,以等效攻角的形式在火箭彈縱向飛行平面內建立運動方程組:

(1)

式中:V為飛行速度;θ為彈道傾角;x為射程;y為彈道高;α為飛行攻角;X、Y分別為空氣阻力和升力,可用式X=ρSCdV2/2,Y=ρSCyV2/2表示;S為彈體特征面積;Cd、Cy為阻力系數和升力系數,計算中可通過數據表格的形式進行插值獲得;ρ為大氣密度,大氣模型參考文獻[7]。

2 優化問題描述

由式(1)可以看出,當火箭彈過彈道頂點進入滑翔飛行階段,速度和彈道傾角的大小是影響射程的直接因素,同時重力的分量也是不可忽略的因素。在滑翔階段開始至結束[t0,tf]的時間段內,通過改變舵偏角大小使火箭彈產生不同的滑翔攻角α以產生足夠的升力減緩彈道傾角的改變,提高火箭彈在空中的滯留時間,對提高射程具有一定的影響。優化問題可以歸結為:以射程為優化性能指標,在時間段[t0,tf]內,tf終端自由,滿足相關中間約束與終端約束,尋找攻角的最優控制規律,其實質是一個終端時間自由,末段受約束,控制受約束,末值型性能指標,建立優化模型如下:

1)性能指標:文中以研究火箭彈在給定射角下的最大射程,故性能指標為:

(2)

2)狀態約束:為式(1)縱平面運動方程;

3)邊界條件:由式(1),滿足以下邊界條件:

(3)

4)控制變量約束:文中以滑翔攻角為控制變量,因控制舵所能產生的滑翔攻角有限,同時滑翔攻角應該滿足彈體在空中的飛行穩定性:

(4)

5)起始、終端狀態

初始條件:V=v0,θ=θ0,x=x0,y=y0

終端約束:V=vtf,θ=θtf,x=xtf,y=ytf

3 優化問題求解

3.1 優化原理及流程

將彈道優化問題看作一般的最優控制問題:尋找控制變量u(t)∈Rm,最小化具有一般性的Bolza型性能指標:

多發性內分泌腫瘤-Ⅱ型是多器官(兩個或兩個以上)同時或者相繼發生的增生或腫瘤病變,包括甲狀旁腺功能亢進、甲狀腺髓樣癌及腎上腺髓質病變,屬于染色體顯性遺傳疾病,有研究顯示其有遺傳缺陷的基因位于第l0號染色體上。文獻資料提示MEN-Ⅱ型患者在甲狀腺、甲狀旁腺疾病出現之后,平均兩年九個月時有兒茶酚胺增多病征出現。組織病理檢查并不能區分腫瘤的良惡性,因此,患者應終身隨訪。

(5)

式中,狀態變量x(t)∈Rn、初始時間t0和終端時間tf滿足動力學微分方程約束:

(6)

滿足式(7)邊界條件和式(8)路徑約束:

(7)

(8)

求解優化問題應對優化問題參數化,將優化問題轉換成非線性規劃問題,進而采用成熟的序列二次規劃算法進行求解。結合上節優化模型,其求解過程如圖1所示。

圖1 彈道優化流程

3.2 優化問題參數化過程

1)將最優控制問題的時間由t∈[t0,tf]離散到τ∈[-1,1],變換如式(9)所示:

(9)

2)選取K個LG點以及τ0=-1作為離散節點,以(K+1)個Lagrange插值多項式Li(τ)(i=0,…,K)為基函數來近似狀態變量的時間歷程。

(10)

(11)

(12)

3)Gauss偽譜法中的節點包括配點(τi,…,τk)和初始點τ0≡-1以及終點τf≡1。式(10)未定義終端狀態X(τf),終端狀態應滿足動力學方程約束:

(13)

將終端狀態約束條件離散并用Gauss積分近似:

(14)

4)對式(10)求導可得狀態變量導數,將動力學方程約束轉換為代數約束:

(15)

(16)

式中：τk(k=1,…,K)為集合κ中的點,而τi(i=1,…,K)屬于集合κ0={τ0,τ1,…,τK}。最優控制問題的動力學微分方程約束即轉換為代數約束:

(17)

5)將Bolza型性能指標函數中的積分項用Gauss積分來近似,得到在Gauss偽譜法中的近似性能指標函數:

(18)

綜上5個步驟,Gauss偽譜法將連續最優控制問題離散并轉換成為非線性規劃問題,詳細的步驟參考文獻[8-9]。

4 仿真實例

以某小型火箭彈為例,將火箭發動機主動段末速度等效為炮口速度,彈體質量m0=14.5 kg,出炮口速度v0=650 m/s,起始射角θ0=45°,氣動數據通過氣動軟件計算獲得,飛行最大允許攻角|α|≤20°,未經優化前在此發射條件下射程為13.14 km,優化后應使火箭彈射程x≥20 km,落角θ≥40°,落點速度V≥200 m/s,終端時間自由。

利用上述偽譜法原理,將方程組進行參數化,編制程序,選取插值點數分別為20、30、50,在計算機內存為8 G,主頻為2.66 GHz四核環境下,其耗時如表1所示。

由表1數據得出,優化計算耗時隨著插值點數的增加而增加。插值點數較多,時間間隔較小,描述控制量的變化情況越細致,能夠避免在插值點數較小下描述問題的不精確性,但是插值點數越多計算耗時越多,故需要合理設置插值點數滿足一定的精度下所需時間最少。

圖2和圖3分別為插值點數為20、30、50的射高曲線和攻角曲線。由圖2中可以看出,在插值點數為30和50下優化后的射高曲線基本一致,而在插值點數為20下射高曲線無法描述最優射高曲線,在20～80 s間具有明顯的偏差。由圖3中攻角曲線可以看出,在時間20～40 s,隨著點數增加攻角逐步向最優值逼近。

圖2 不同插值點數下的射高曲線

圖3 不同插值點數下的攻角曲線

圖4 插值點數為30的哈密頓函數

綜合上述,文中選取插值點數為30,圖4是該優化問題的哈密頓函數曲線,由龐特里亞金極小值定理可知,末端時間自由的優化問題其哈密頓函數為零。圖4中曲線量級在10-13證明了此優化問題解的最優性。

表2為優化前后的彈道參數對比,由表2可知,優化后的彈道最大射程為23 km,落點速度229.84 m/s,落角55°,滿足落點約束條件。

表2 優化前后彈道參數對比

圖5～圖9為通過高斯偽譜法得到的彈道參數和未優化前的彈道參數對比曲線。由圖5射程對比曲線可知,彈道經優化后射程明顯增加。由圖6、圖7可知,優化后的彈道在彈道頂點處相比原彈道相對平緩,產生這一現象在于彈道初始段,彈體以一定正攻角飛行產生升力來減緩彈道傾角的改變。當火箭彈接近彈道頂點處,控制機構改變飛行攻角,在負攻角的作用下彈道被拉平。過彈道頂點后,火箭彈在控制機構作用下按正攻角飛行以抵消重力分量,達到提高射程的目的。

圖5 優化前后射程對比

圖6 優化前后射高對比

圖7 優化前后攻角對比

圖8 優化前后彈道傾角對比

由圖8所示彈道傾角變化曲線可知,在圖7優化后的攻角控制律下,彈道傾角相對未優化前變化較緩慢,尤其是在彈體過彈道頂點后,優化后的彈道傾角變化率明顯小于未優化前,這也從另一方面解釋了圖6中射高相比未優化前平直。彈體在正攻角不斷作用下產生向上的升力抵消重力分量從而使圖9中過彈道頂點速度基本維持在一定值。

圖9 優化前后速度對比

在彈道末段,隨著攻角的減小彈體產生的升力減小,引起速度和彈道傾角變化率的增大,如圖8中末段彈道傾角變化現象所示。彈體在過彈道頂點后以較小的彈道傾角進行飛行以提高射程,但是較小的落角使得彈體在終點產生跳彈等現象,減小彈體的終點毀傷效能,那么針對有落角約束的彈道在彈體離地一定距離時,設置合理的控制規律以增加彈道傾角的改變以滿足落角約束的要求,從圖中可以看出,在此攻角的控制規律作用下,彈道傾角的變化規律是滿足上述要求的。

綜合上述分析并且結合彈箭飛行知識可以得出,通過高斯偽譜法優化得到的彈道參數是合理的。

5 結論

文中基于高斯偽譜法對常規有控火箭彈彈道進行了優化分析,仿真結果表明,相比間接法該方法能夠快速對控制變量進行求解,并且所求解滿足最優控制理論中最優解的必要條件;通過合理的選取Gauss插值點數和建立適當的彈道優化模型,Gauss偽譜法的求解精度和速度能夠為火箭彈簡易制導中最優制導律設計提供參考;同時利用高斯偽譜法對彈道進行優化是一種全局搜索方法,很好的避免了火箭彈飛行過程中模型參數不確定性的干擾,具有很好的魯棒性。

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Trajectory Optimization for Controllable Rockets Based on Gauss Pseudo Spectral Method

SHEN Guanjun1,FENG Shunshan2,CAO Hongsong1

(1 School of Mechatronics Engineering, North University of China, Taiyuan 030051, China;2 State Key Laboratory of Explosion Science and Technology, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, China)

To solve trajectory optimization problems of controllable rockets, an optimization design method based on Gauss pseudo spectral method was proposed. The motion model of rockets in flight plane was established, the movement of rockets was taken as path constraints, and then the conditions of flight start and end point were taken as boundary constraints, trajectory optimization model was established. This trajectory optimization problem was transformed into a series of nonlinear programming problems based on the Gauss pseudo spectral method and solved by sequential quadratic programming method. Finally, with range as the optimization index, a certain type of rocket was simulated, the trajectory range significantly increased after optimization while the stability of the flight was maintained, which shows the proposed optimization method can effectively optimize trajectory and has a characteristic of fast convergence speed.

Gauss pseudo spectral method; controllable rockets; trajectory optimization

2014-07-17

兵科院支撐基金(62201070503)資助

沈冠軍(1987-),男,浙江長興人,博士研究生,研究方向:彈道優化技術。

TJ013.2

A