Gainse-Rescher 系統基于子代數的廣義重言式

2015-04-16 08:51:16李順琴惠小靜

計算機工程與應用 2015年19期

關鍵詞：定義理論

李順琴，惠小靜

LI Shunqin,HUI Xiaojing

延安大學數學與計算機科學學院，陜西延安716000

College of Mathematics and Computer Science,Yan’an University,Yan’an,Shaanxi 716000,China

1 引言

廣義重言式理論是模糊邏輯的重要研究方向。自1998 年王國俊教授建立了修正的Kleene 系統和修正的Kleene 系統中的廣義重言式理論[1-2]后，其他多值邏輯系統中的廣義重言式理論也在蓬勃發展[3-12]。文獻[3-5]分別討論了修正的Go¨del 邏輯系統和Gainse-Rescher 邏輯系統中的廣義重言式理論，文獻[10]討論了修正的Go¨del邏輯系統中子代數的廣義重言式理論，文獻[11]討論了修正的Kleene 邏輯系統中子代數的廣義重言式理論。本文將Gainse-Rescher 邏輯系統中的廣義重言式理論進行推廣和補充，討論其序稠密子代數中的廣義重言式理論。

2 基本知識

定義1[1]設S={p1,p2,…}是可數集，?是一元運算，∨與→是二元運算，由S生成的(?,∨,→)型自由代數記作F(S)。F(S)中的元素叫公式或命題，S中的元素叫原子公式或原子命題。

定義3設是[0,1]上的Gainse-Rescher 邏輯系統，E是的非空子集合，如果E關于中定義的?,∨,→運算封閉，則稱E是的子代數。

命題1E是的子代數當且僅當E在[0,1]中關于對稱且{0,1}?E。

證明（必要性）因為E是的子代數，所以由定義2 和定義3 知，對?x∈E,?x=1-x∈E，因此E在[0，1]中關于對稱。又由定義2 和定義3 知，對?x,y∈E，x→y的值是1或0，而E關于→運算封閉，故{0 ,1} ?E。

（充分性）由定義3 知，只需證明E關于中定義的?,∨,→運算封閉。由定義2 知E顯然關于∨運算封閉，又由于E在[0，1]中關于對稱，所以E關于?運算封閉。下證E關于→運算封閉。由定義2 知，對?x,y∈E，x→y的值是1 或0，而{0,1}?E，故E關于→運算封閉。

本文中提到的子代數都是指序稠密子代數，在不致引起混淆時將其簡稱為子代數。

定義4設E是的子代數，v:F(S)→E是映射，若v是(?,∨,→)型同態，即

v(?A)=?v(A),v(A∨B)=v(A)∨v(B)

v(A→B)=v(A)→v(B)

則稱v為F(S)在E中的賦值，其全體賦值之集記為Σ(E)。

定義5設A∈F(S)，E為的子代數，α∈E：

（1）若?v∈Σ(E)，v(A)≥α(v(A)＞α)，則稱A為E-α-重言式（E-α+-重言式），其全體之集記為α-T(E)(α+-T(E))。

（2）若A∈α-T(E)，且?v∈Σ(E)，v(A)=α，則稱A為可達E-α-重言式，其全體之集記為[α]-T(E)。

（3）若A∈α+-T(E)，且?ε＞0，?vε∈Σ(E)，使得α＜vε(A)＜α+ε，則稱A為可達E-α+- 重言式，其全體之集記作[α+]-T(E)。

特別地，E-1-重言式簡稱重言式，其全體之集記為T(E)。

以上定義的各種重言式統稱為廣義重言式，在不致引起混淆時前綴“E-”將略去。

引理1設E是的子代數，，映射定義為：

下面證明φ1保持?運算。

因此，由（1）～（3）可知φ1保持?運算。

定理1設E是的子代數，，則。

定理2設E是的子代數，，則α-T(E)=T(E)。

則顯然φ2是保序的雙射，易證φ2是同構的映射。事實上，φ2顯然保持∨運算和→運算，下面證明φ2也保持?運算。

當x=1 時，φ2(?1)=φ2(0)=0=?φ2(1)；

當x=0 時，φ2(?0)=φ2(1)=1=?φ2(0)；

當x∈(0,1)∩E時，φ2(?x)=(2α-1)(1-x)+(1-α)=-(2α-1)x+α?φ2(x) = 1-φ2(x) = 1-[( 2α-1)x+(1-α)] =-(2α-1)x+α所以φ2(?x)=?φ2(x)。因此φ2也保持?運算，這樣就證明了φ2是E與Uα之間的同構的映射。

設A∈α-T(E)，則?v∈Σ(E)，v(A)≥α。由于φ2是E與Uα之間的同構的映射，所以φ2v∈Σ(E)，進而有φ2v(A)≥α且φ2v(A)∈Uα，從而只能φ2v(A)=1，由φ2的構造知v(A)=1，因此A∈T(E)，即α-T(E)?T(E)。

定理3設E是的子代數，，則[α]-T(E)=?。

定理4設E是的子代數，，則α+-T(E)=T(E)。

證明若A∈T(E)，顯然有A∈α+-T(E)。又若A∈α+-T(E)，則?v∈Σ(E)，v(A)＞α。由定理2的證明過程知φ2v:F(S)→{0,1}∪((1-α,α)∩E)是同態的復合，因此φ2v∈Σ(E)，進而φ2v(A)＞α且φ2v(A)∈{0,1}∪((1-α,α)∩E)，故φ2v(A)=1，由φ2的構造知v(A)=1，因此A∈T(E)。

用類似的方法結合定義5 和引理1 可證定理5。

定理5設E是的子代數，，則。

定理6設E是的子代數，，則[α+]-T(E)=?。

定理7設E是的子代數，α,β∈E且α≠β，則：

[α]-T(E)∩[β]-T(E)=?

[α+]-T(E)∩[β]-T(E)=?

[α]-T(E)∩[β+]-T(E)=?

[α+]-T(E)∩[β+]-T(E)=?

證明若[α]-T(E)∩[β]-T(E)≠?，不妨設α＞β，取A∈[α]-T(E)∩[β]-T(E)，則?v∈Σ(E)，v(A)≥α且v(A)≥β，注意到α＞β，所以?v∈Σ(E)，v(A)≥α。而由A∈[β]-T(E)知存在v0∈Σ(E)，使得v0(A)=β＜α，矛盾。所以[α]-T(E)∩[β]-T(E)=?。

其余各式用類似方法可證。

定理8設E是的子代數，則關于E而言F(S)有如下的分劃：

證明（1）由定義5 知集族中任意兩成員之交為空集，且由定理3 和定理6 可知它們的并集是F(S)，因此只需驗證它們均為非空集合即可。