“分數除法”算理簡析

浙江杭州市聞濤小學（310052） 王 樂

“分數除法”包括兩部分知識，即“一個數除以整數”和“一個數除以分數”，它的計算方法是“除以一個不為0的數，就相當于乘以這個數的倒數”。算法很簡單，學生也容易掌握，但很多學生對“為什么要這樣算”弄不清楚。下面，我從兩方面簡要分析“分數除法”的算理。

一、簡析“一個數除以整數”的算理

“一個數除以整數”的算理還是比較容易理解的。以“把一張紙的平均分成2份，每份是這張紙的幾分之幾”為例，求每份是多少，也就是求的是多少，學生理解起來比較容易。所以，課堂上，學生很容易總結出“除以一個不為0的整數，就相當于乘以這個整數的倒數”。但是，如果教學僅僅到此為止，我覺得是不夠的，還應該引導學生從“份數”的角度來理解。如“將平均分成2份，求每份是多少”，換句話說，也就是已經知道了2份是，求1份是多少，即“一個數除以整數”就是知道了多份求一份的問題。如下圖：

二、簡析“一個數除以分數”的算理

一個數除以分數的算理不好理解，即使是我們成年人大部分也只是記住了算法，而算理早就忘得一干二凈了。如教材中的例題：“小明小時走了2km，小紅小時走了m。誰走的快些？”根據“路程÷時間＝速度”的數量關系，很容易列出算式，但是在理解算理上學生出現了困難。在學生經過討論之后，我們發現學生也是可以用舊知解決新知的，即“為什么”。學生的方法大致如下：

乍一看，這四種方法都可以證明這個算法是正確的，尤其是第四種方法，竟然跟書上的方法不謀而合，但當我們仔細分析這四種方法時，就會發現第四種方法的不同之處。前三種方法都是根據以前的算法進行推導，只是從算法的角度證明結論而已，而第四種方法雖然也是證明結論，但它是從分數的本質意義（把單位“1”平均分成幾份，表示這樣的一份或幾份）入手理解算理的，這才是算法的本質。

仔細分析不難發現，“一個數除以分數”的過程，實際上是知道部分求整體的過程，如何由部分求出整體是算理的本質。如下圖：

根據“總量÷數量＝單位量”的數量關系，很容易列算式為c÷。算理思考過程如下：

實際上，“除以整數”和“除以分數”都是求單位量（即1份數），只是角度不同，前者是已知多份數求1份數，后者是已知1份數的部分求1份數。

總之，教師在教學過程中要關注數學的本質，這樣才能從根本上引導學生理解所學知識，使他們形成良好的認知結構。