數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中的錯誤探析

廣東廣州市天河區(qū)天府路小學(xué)（510630） 易 丹

在數(shù)學(xué)知識中，最普遍的存在形式就是數(shù)學(xué)概念，它是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心。數(shù)學(xué)實(shí)踐表明，學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時遇到困難或發(fā)生錯誤，往往是概念理解不清、掌握不牢所致。在任何一種學(xué)習(xí)的過程中，由于學(xué)生受生理、心理特征及認(rèn)知水平的限制，出現(xiàn)錯誤是難免的。但深究錯誤的本質(zhì)，又是什么樣的原因引發(fā)了這些錯誤呢？本文試圖針對小學(xué)生在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中常見的錯誤，結(jié)合心理學(xué)和教育學(xué)觀點(diǎn)，分析、探討產(chǎn)生這些錯誤的原因。

一、數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)形式

概念是反映事物本質(zhì)屬性的思維形式。而數(shù)學(xué)概念，則是反映思考對象空間形式和數(shù)量關(guān)系本質(zhì)屬性的思維形式。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念有兩種最基本的形式：一種是概念的形成；一種是概念的同化。

1.概念的形成

概念的形成，是在教學(xué)條件下，從大量具體例子出發(fā)，從學(xué)生實(shí)際經(jīng)驗(yàn)的肯定例證中，以歸納的方法概括出一類事物的本質(zhì)屬性。其形成過程如下：

①辨別（刺激模式）→②分化（各種屬性）→③類化（共同屬性）④抽象（本質(zhì)屬性）→⑤檢驗(yàn)（確認(rèn)）→⑥概括（形成概念）→⑦形式化（用符號表示）

2.概念的同化

利用學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)，以定義的方式，直接向?qū)W生揭示概念的本質(zhì)，這種學(xué)習(xí)概念的方式叫概念的同化。

二、數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中的常見錯誤

學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時，有概念的形成和同化，也有形成和同化的結(jié)合學(xué)習(xí)。在這些數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)過程中，不同的學(xué)生會有不同的學(xué)習(xí)效果。有些學(xué)生可以很快地接受和理解所學(xué)知識，有些卻沒有這么順利，有部分學(xué)生明明能流利地背出概念的形式定義，卻仍在解題中出現(xiàn)各種概念性錯誤。本文針對孩子常見的錯誤，將出錯原因分為數(shù)學(xué)概念意象表征不當(dāng)、混淆數(shù)學(xué)概念的二重性、不注重概念間的聯(lián)系等。

1.數(shù)學(xué)概念意象的表征不當(dāng)

（1）日常概念代替數(shù)學(xué)概念引發(fā)錯誤

維果斯基研究提出，兒童的概念可分為日常概念和科學(xué)概念。日常概念是指產(chǎn)生于兒童日常生活經(jīng)驗(yàn)的概念，它是兒童進(jìn)一步學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)；科學(xué)概念則是指在學(xué)校教學(xué)中形成與獲得的真實(shí)概念。這兩種類型的概念在形成與發(fā)展過程中是相互聯(lián)系和相互作用的。兒童在學(xué)習(xí)抽象的數(shù)學(xué)概念時，往往會聯(lián)系自己的日常生活，運(yùn)用日常生活中的經(jīng)驗(yàn)和體會，也就是日常概念，來幫助理解數(shù)學(xué)概念。數(shù)學(xué)概念中術(shù)語的生活意義有時跟它的科學(xué)意義是基本一致的，但有時卻又完全不同。當(dāng)兒童將一些生活意義與科學(xué)意義不同的術(shù)語運(yùn)用到數(shù)學(xué)概念的理解中時，便會構(gòu)建出錯誤概念。即使是會背數(shù)學(xué)概念的形式定義，但他們的意識中仍會潛在的存在著錯誤概念，這樣，就會出現(xiàn)概念的理解錯誤。

例如，平均數(shù)是統(tǒng)計(jì)學(xué)中的一個重要概念，而小學(xué)數(shù)學(xué)中的平均數(shù)主要指算數(shù)平均數(shù)，也就是表示數(shù)據(jù)集中程度的一種統(tǒng)計(jì)特征數(shù)，它說明了一組數(shù)據(jù)的典型情況，并通常用它來對結(jié)果進(jìn)行推斷。其計(jì)算的基本數(shù)量關(guān)系式為：總數(shù)量÷總份數(shù)＝平均數(shù)，如“平均氣溫”“平均身高”“平均分?jǐn)?shù)”等。但“平均速度”卻與其有所區(qū)別。它是行程問題中經(jīng)常遇到的一個數(shù)學(xué)術(shù)語，指運(yùn)動物體在某一個方向上單位時間內(nèi)通過的距離，其基本數(shù)量關(guān)系式是“總路程÷總時間＝平均速度”，因此“平均速度”屬于行程問題的一種數(shù)學(xué)問題，而非平均數(shù)問題。下面以一道經(jīng)常遇到的應(yīng)用題加以說明。

題：從甲地到乙地，某人去時速度為3千米／時，原路返回時速度為2千米／時，求他往返一次的平均速度。

解法一：（2＋3）÷2＝2.5（千米／時）

解法二：設(shè)全程為6千米。

6×2÷（6÷2＋6÷3）

＝12÷5

＝2.4（千米 ／時）

上題中，解法一是錯誤的，它求得的是速度平均數(shù)，是由速度一、速度二累加，除以個數(shù)得到的。從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度來看，它反映的是一組數(shù)據(jù)的集中趨勢量，能用來表示數(shù)據(jù)的總體水準(zhǔn)，并進(jìn)行合情的推測；而解法二是根據(jù)“總路程÷總時間＝平均速度”這一數(shù)量關(guān)系來求的，求出的才是平均速度。顯然有學(xué)生用日常概念中的“速度平均數(shù)”來代替“平均速度”，結(jié)果就出錯了。

（2）用“典型實(shí)例”代替數(shù)學(xué)概念造成一知半解

在人的記憶中有很多概念并不是以某些抽象的規(guī)則或一些相關(guān)特征來表示的，而是以這些概念的典型實(shí)例來表示的。例如講到函數(shù)的知識時，學(xué)生可能首先想到某些見過的函數(shù)圖像；學(xué)到空間幾何時，學(xué)生不會首先想到定義或特征，而是聯(lián)想到一個直觀的幾何圖形；有時在回憶某一概念時，往往先試著回憶獲得這個概念的情境，然后才聯(lián)想其定義形式。概念的典型性范例常常是學(xué)生頭腦中被喚起的概念意象部分。但有些時候，學(xué)生對于自己所建立的概念意象往往不像概念定義那樣具有明確性，對概念意象具有不清醒的自我認(rèn)識，從而對數(shù)學(xué)概念形成一種一知半解的局面。

例如，在學(xué)習(xí)三角形的高時，我們先看看數(shù)學(xué)教科書上對高的定義：在三角形中，從一個頂點(diǎn)向它的對邊所在的直線做垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高。圖1為三個三角形，分別為銳角、直角、鈍角三角形，對于它們的高大部分的孩子都不會畫錯。

圖1

但是若出現(xiàn)圖2這樣的鈍角三角形，要求分別畫AB、CB邊上的高，便會出現(xiàn)如圖3這樣的錯誤，而正確的畫法應(yīng)該如圖4所示。

圖2 圖3 圖4

分析原因：當(dāng)教師講解完定義并列舉了一些三角形高的畫法之后，學(xué)生就開始構(gòu)建各自的關(guān)于這個概念的內(nèi)部表示。由于教師在教學(xué)時畫的常常是如圖1中擺放的三角形的高，一些學(xué)生會誤認(rèn)為高的表示就是在三角形內(nèi)部的一條豎直方向的線段，而將定義中關(guān)于高應(yīng)當(dāng)從某一個頂點(diǎn)畫向?qū)叺南薅ê雎粤恕谋举|(zhì)上分析，這個問題的關(guān)鍵并不在于學(xué)生忽略和記住了什么，而在于他們更傾向于用概念意象——“典型實(shí)例”（圖1的三種圖形）來作為概念的代表并以此表示概念。

2.數(shù)學(xué)概念二重性的混淆

Thompson，Greeno，Hiebert等數(shù)學(xué)家在上個世紀(jì)八十年代就指出，數(shù)學(xué)內(nèi)容可以分為過程和概念兩類。過程指數(shù)學(xué)公式、定理、運(yùn)算法則等操作性的程序，對象指數(shù)學(xué)中各個研究對象構(gòu)成的結(jié)構(gòu)關(guān)系。近幾年中，以色列著名數(shù)學(xué)教育家斯法德（A.Sfard）的研究認(rèn)為，“數(shù)學(xué)中的許多概念（尤其代數(shù)概念）既可看做是動態(tài)操作的過程，又可看做是一種靜態(tài)的結(jié)構(gòu)關(guān)系對象。可以將數(shù)學(xué)概念兼具的這兩種特殊性質(zhì)稱為概念的二重性”。在實(shí)際運(yùn)用時，我們根據(jù)需要靈活地變換認(rèn)識的角度，有時要將某個概念當(dāng)作有操作步驟的過程，有時又要將它看作一個整體性固定的對象。例如，多項(xiàng)式6a＋3可以看成是6與a相乘后再加上3的運(yùn)算過程，也可以看成是由6、a、3經(jīng)運(yùn)算關(guān)系組成的一個結(jié)構(gòu)或運(yùn)算結(jié)果，一個代數(shù)對象，這時我們已不再強(qiáng)調(diào)運(yùn)算，而是強(qiáng)調(diào)它自己本身的一種狀態(tài)。兒童在實(shí)際運(yùn)用中，往往會忽視數(shù)學(xué)概念的二重性，因而犯錯。就拿簡單的等號來說吧，初學(xué)方程的時候，這樣一個簡單的方程，其中的等號不再是一個指示你去做運(yùn)算的標(biāo)志，而是表示左右兩式的平衡關(guān)系。

3.概念聯(lián)系與概念網(wǎng)絡(luò)的缺失

R.Skemp指出：“個別的概念一定要融入與其他概念合成的概念結(jié)構(gòu)中才有效用。”“真正的理解一個數(shù)學(xué)概念是指該概念與已有的知識網(wǎng)絡(luò)建立了新的聯(lián)系，形成了嶄新的知識網(wǎng)絡(luò)，這樣才可以使學(xué)生在概念學(xué)習(xí)中更多地去思考與之聯(lián)系的或可能聯(lián)系的相關(guān)知識，從而能更有效地影響后續(xù)學(xué)習(xí)，更有效地從整體上把握數(shù)學(xué)概念。”目前，我國的數(shù)學(xué)教學(xué)也強(qiáng)調(diào)學(xué)生的自主探索、發(fā)現(xiàn)規(guī)律，但實(shí)踐的效果不是很好。學(xué)生依賴于教師將概念教給他們，滿足于解決練習(xí)本上的習(xí)題，沒有自己對概念的概括和理解，缺乏從整體上把握概念，也無法形成概念網(wǎng)絡(luò)，出現(xiàn)概念斷層。概念聯(lián)系與概念網(wǎng)絡(luò)的缺失使學(xué)生背上了裝滿零散知識的沉重包袱，無法從真正意義上獲得概念。