函數一致連續性的判別方法

鐘志波

【摘 要】函數的一致連續性是函數最重要的分析性質之一，它與函數的連續性既有區別又有聯系，本文從教材出發，在已有的研究成果上結合例子，對不同區間上函數一致連續性的判別方法加以總結并作一定的推廣。本文對函數一致連續性的判別提供一個系統、完整的總結，具有一定的參考價值。

【關鍵詞】函數;連續;一致連續;有界;收斂

1.引言

1.1函數的一致連續的定義及其否定敘述

定義1.1設f（x）為定義在區間I上的函數，若對任給的ε>0，存在δ=δ（ε）>0，使得對任何x′，x″∈I只要|x′-x″|<δ，就有|f（x′）-f（x″）|<ε，則稱函數f（x）在區間I上一致連續。

1.2函數在區間上的連續性和一致連續性的區別與聯系

連續是逐點考察的性質，一致連續是函數在整個區間上的性質。也就是說，從極限的角度考察連續，發現整個函數可以用同樣的方式來趨近，稱為“一致連續”。下面給出函數連續性的定義：

定義1.2設f（x）為定義在區間I上的函數，若對任給的ε>0，存在δ>0，使得對任何x，x0∈I且|x-x0|<δ時，有|f（x）-f（x0）|<ε，則稱函數f（x）在區間I上連續.

比較函數在區間的連續性和一致連續性定義可知：前者的δ不僅與ε有關，而且還與點x0有關，即對于不同的x0，一般來說δ是不同的，這表明只要函數在區間內每一點連續的話，則函數在區間上連續;后者的δ僅與ε有關，與x無關，即對不同的x，δ是相同的，這表明函數在區間的一致連續性，不僅要求函數在這區間的每一點連續，而且要求函數在區間上的連續是“一致”的。

在區間I一致連續的函數在這區間一定連續，事實上，由一致連續性的定義將x1固定，令x2變化，即知函數f（x）在x1連續，又x1是I的任意一點，從而函數f（x）在I連續。但在區間I連續的函數在這區間上不一定一致連續，如f（x）= 在區間（0，1）連續但不一致連續。

總之，函數連續性反映了函數局部的性質，而函數的一致連續性則反映函數在整個區間的整體性質，二者之間既有區別又有聯系。

1.3相關的定理：

定理1（一致連續性定理）若函數f（x）在閉區間[a，b]上連續，則f（x）在[a，b]上一致連續。

定理2函數f（x）在（a，b）上一致連續的充分必要條件是f（x）在（a，b）上連續且 f（x）與 f（x）都存在。

定理3函數f（x）在（-∞，+∞）上連續且 f（x）和 f（x）都存在，則f（x）在（-∞，+∞）上一致連續。

定理4函數f（x）在（-∞，+∞）上連續，g（x）在（-∞，+∞）上一致連續， |f（x）-g（x）|=0， |f（x）-g（x）|=0，則f（x）在（-∞，+∞）上一致連續。

2.不同類型區間上函數一致連續性的判別方法

在許多教材中，函數在區間上的連續性和一致連續性關系的敘述主要是一致連續性定理，即有界閉區間上的連續函數必定一致連續.但是當我們考慮的區間不是有界閉區間，而是開區間或者是無界區間時，區間連續性就不一定能轉變為區間的一致連續性，這種轉變需要一定的條件。這里主要探討這種轉變條件，從而更加深刻地理解在不同類型的區間上連續性和一致連續性的關系，同時也按不同類型區間總結判斷函數一致連續性的一些方法。

2.1閉區間的情形

一般判別方法：在區間內取兩點，將其函數值作差，并取其絕對值，即可根據以下原則判斷，若存在任給的ε>0，存在δ=δ（ε）>0，使得滿足|x1-x2|<δ的x1，x2，均可得出|f（x1）-f（x2）|<ε，即f（x）在該閉區間一致連續，反之則不一致連續。

例1 證明f（x）= （-1≤x≤1）的一致連續性

證明：|f（x1）-f（x2）|=| - |= |（x1-x2）|

由于| |< = <1，

故對于任給的ε>0，

取δ=ε，則

對滿足|x1-x2|<δ的x1，x2（x1，x2屬于[-1，1]值，均有|f（x1）-

f（x2）|<ε

因而f（x）在區間[-1，1]上一致連續。

推論1設f（x）是[a，b]上的增函數，其值域為[f（a），f（b）]，則f（x）在[a，b]上一致連續

2.2有限非閉區間的情形

一般判別方法：把函數與其一階導數作差并取其絕對值，然后即可根據以下原則判斷，若存在任給的ε>0，存在δ=δ（ε）>0，使得當n> 時，總有|xn-x′n|<δ，且|f（x）-f（x′n）|>ε，即f（x）在該區間上一致連續，反之則不一致連續。

例2 證明f（x）=excos 在（0，1）上非一致連續.

證明：取ε=1令xn=

x′n= ?（n為正整數）

則xn及x′n均屬于（0，1），對任意給定的δ>0，

當n> 時，

總有|xn-x′n|= < <δ

但是|f（x）-f（x′n）|=e cos（nπ+ ）-e cosnπ=e >1=ε0

因此，f（x）=excos 在（0，1）上非一致連續。

推論2函數f（x）在（a，b）上連續有界，則f（x）在（a，b）上一致連續。

推論3函數f（x）定義在有限區間（a，b）上，若對（a，b）上的任意收斂數列{xn}， f（xn）都存在，則f（x）在（a，b）上一致連續。

2.3無窮區間的情形

一般判別方法：取一簡單函數g（x）使其滿足在區間上一致連續，然后則只需要根據定義，證明g（x）在區間上一致連續即可。

例3證明f（x）=xln（e+ ）在[1，+∞）上一致連續。

證明：取g（x）=x+ ，則g（x）在[1，+∞）上一致連續，

因為 |f（x）-g（x）|=0，

由定理4可知 f（x）=xln（e+ ）在[1，+∞）上一致連續。

這證法雖在尋求g（x）上有一定的困難，但大大避免了用定義證明的繁瑣。

推論4函數f（x）在（a，+∞）上一致連續的充分條件是f（x）在（a，+∞）上連續， f（x）和 f（x）都存在。

推論5函數f（x）在（-∞，b）上一致連續的充分條件是f（x）在（-∞，b）上連續，且 f（x）和 f（x）都存在。

注1：上述無限區間1中的定理及推論中 f（x）的存在是非必要的，如f（x）=ax+b（a≠0）在（-∞，+∞）上 f（x）不存在，但f（x）在（-∞，+∞）上一致連續。

2.4組合區間的情形

一般判別方法：由于f（x）在兩個分區間上都一致連續，即在兩個區間上分別都滿足一致連續的定義，則不妨求出δ（ε）的最小值，可知當x1，x2∈（-∞，+∞），|x1-x2|<δ（ε）時，x1與x2必同時屬于兩個分區間中的其中一個，即f（x）在（-∞，+∞）上一致連續。

例4已知f（x）=arctgx在區間（-∞，1][0，+∞）上一致連續，判斷其是否在（-∞，+∞）上一致連續。

解：已知f（x）=arctgx在區間（-∞，1][0，+∞）上均一致連續

于是，對于所給的ε>0，存在δ1（ε）>0，

當x1，x2∈（-∞，1]，|x1-x2|<δ1（ε）時，恒有|f（x1）-f（x2）|<ε成立，

又存在δ2（ε）>0，當x1，x2∈（0，+∞），|x1-x2|<δ2（ε）時，恒有|f（x1）-f（x2）|<ε成立，

今取δ（ε）=min{1，δ1（ε），δ2（ε）}則當x1，x2∈（-∞，+∞），|x1-x2|<δ（ε）時，x1與x2必或同時屬于（-∞，1]，或同時屬于[0，+∞），故恒有|f（x1）-f（x2）|<ε成立，

即f（x）在（-∞，+∞）上一致連續。

2.5任意區間的情形

一般判別方法：把函數一階導和二階導作差并取其絕對值，若對任給的ε>0，存在δ=δ（ε）>0，使得對任何x′，x″∈I，只要|x′-x″|<δ，就有|f（x′）-f（x″）|<ε，則稱函數f（x）在區間I上一致連續。

例5 證明：無界函數f（x）=x+sinx在全軸-∞<x<+∞是一致連續的。

證明：因為|f（x′）-f（x″）|=|（x′-x″）+（sinx′-sinx″）|≤|x′-x″|+|sinx′-sinx″|≤2|x′-x″|

對于任給的ε>0，

取δ= >0，則當x′，x″∈（-∞，+∞），且|x′-x″|<δ時，

恒有|f（x′）-f（x″）|<ε

故f（x）在（-∞，+∞）上一致連續。

推論6函數f（x），g（x）在區間I上可導，|f′（x）|≥|g′（x）|>0，若f（x）在區間I上一致連續，則g（x）在I上一致連續;若g（x）在區間I上非一致連續，則f（x）在I上也非一致連續。

注3：推論6的f′（x）有界對于不同的區間是非必要的，如函數f（x）=xx在區間（0，1）上一致連續，但f′（x）=exlnx（lnx+1）→-∞（x→0+）.若區間為無限區間，則f′（x）有界則是必要的.例如f（x）=sinx2在（-∞，+∞）上不一致連續.因為f′（x）=2xcosx2在（-∞，+∞）上無界，故f（x）=sinx2在（-∞，+∞）上不一致連續。

3.結束語

本文章從課本出發，在前人的成果上，按不同的區間對判別函數一致連續性的方法進行分類，并舉出相應的例子以及作了一定的推廣，對于判別函數一致連續性的方法給出了系統、完整的總結，具有一定的參考價值。

【參考文獻】

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[2]楊中南.函數在無窮遠處的一致連續性[J].集美大學學報.1997，2（1）：70-75

[3]陳惠汝，何春羚.再探函數在無窮遠處的一致連續性[J].春學院學報.2006，（2）：45-46

（作者單位：廣東創新科技職業學院）