利用兩個階段法進(jìn)一步理解全概率公式與貝葉斯公式

全概率公式和貝葉斯公式是概率論課程中的一個重要內(nèi)容，學(xué)生在公式的理解來說是一個難點，本文從教學(xué)的過程中總結(jié)出分成兩個階段的方法更進(jìn)一步理解兩個重要公式.

全概率公式和貝葉斯公式作為概率論課程中兩個重要的基礎(chǔ)內(nèi)容，是解決概率問題的兩個重要思想，恰如其分的應(yīng)用這兩個公式是概率學(xué)習(xí)的一個重點.而且全概率公式與貝葉斯公式在學(xué)生學(xué)習(xí)上和教師教學(xué)上都是一個難點.學(xué)生即使能夠熟記公式，但在應(yīng)用的過程中，就感覺無從下手，不知道該怎么套用公式.所以，在授課之前，講清公式的意義很重要.還有，應(yīng)用這兩個公式很重要的另一個方面是要找準(zhǔn)樣本空間的劃分，而這個事件劃分的引入進(jìn)一步使學(xué)生陷入困惑中.所以，這類問題應(yīng)該是高校中概率統(tǒng)計教師比較關(guān)注的問題.理解好這兩個公式，我們還要打好兩個基礎(chǔ)：第一、這兩個公式都是建立在條件概率的思想上；第二、這一類問題都可以分成兩個階段的事件.本文主要在反復(fù)總結(jié)自己多次教學(xué)過程的優(yōu)缺點的基礎(chǔ)上，利用兩個階段方法思維進(jìn)一步幫助學(xué)生更深層次來理解這兩個公式的內(nèi)涵.

一、兩個階段分析方法

1.1 全概率公式與貝葉斯公式

全概率公式：設(shè)試驗的樣本空間為，為的事件，，，…，是的一個劃分，且.則

貝葉斯公式：設(shè)試驗的樣本空間為，為的事件，，，…，是的一個劃分，且.則

注：定理中有一個“劃分”的條件，很多初學(xué)者在看到這一點的時候往往會很迷惑，這也是定理使用時不容易理解的地方之一.下面利用兩個階段的形式進(jìn)一步認(rèn)識這兩個公式.

1.2 兩個階段分析的思想

一般情況下，這一類問題都可以把事件分成兩個階段，第一階段表示事件發(fā)生的可能性，一般指事件的“原因”，并不是真正的原因，作為試驗先發(fā)生的第一階段，開始進(jìn)行試驗時，很多時候試驗中“取”字也可以表示第一階段的事件，根據(jù)其“取”的可能性的種類記為B1，B2…，可以當(dāng)成事件的一個劃分來用.第二階段往往指對試驗觀察的一個“結(jié)果”，也并不是真正的結(jié)果，往往“取”完之后總要觀測其結(jié)果，作為第二階段的事件，很多時候可以看成隨后要進(jìn)行的試驗或事件，通常記為.在題目中這兩個階段你總會發(fā)現(xiàn)事情的先后順序再來決定誰是第一階段，誰是第二階段.

全概率公式解決的是在多種情況下造成同一個結(jié)果，計算結(jié)果發(fā)生的概率，它首先是建立一個完備事件組的思想，其實就是已知第一階段求第二階段，比如第一階段可能性B1，B2…然后B1，B2…中均有發(fā)生的概率，最后來求發(fā)生的概率，直接利用全概率公式.而貝葉斯公式其實應(yīng)該叫逆概率公式，為了紀(jì)念貝葉斯而得名，在全概率公式理解的基礎(chǔ)上，貝葉斯公式其實就是已知第二階段反推屬于第一階段哪種可能性的概率，這時候關(guān)鍵是利用條件概率公式，建立同樣的事件組的思想，直接利用貝葉斯公式求解問題，其實根據(jù)公式很容易發(fā)現(xiàn)往往利用貝葉斯公式的時首先要利用全概率公式得出的結(jié)果作為分母，進(jìn)而再利用條件概率計算.

二、例題應(yīng)用解析

例1.某產(chǎn)品是由三家廠商生產(chǎn)，甲、乙、丙三個廠家的產(chǎn)品分別占供貨總數(shù)的20%，70%，10%.三家廠商的次品率分別為0.03，0.01，0.02.試計算

（1）從這批產(chǎn)品中任取一件是不合格的概率；

（2）如果已知從這批產(chǎn)品中隨機(jī)地取出的試衣間次品，問這件次品由哪家廠商生產(chǎn)的可能性最大？

解析：問題中有個“取”字，可以作為第一階段的是事件，觀察第一階段的可能性，取得可能性有三種，分別可能來自三家廠商，可以記為B1=“取自甲廠”，B2=“取自乙廠”，B3=“取自丙廠”，取完然后觀測是否是次品，很明顯第二階段的事件就是次品的問題，記為A= “次品”.先取后查，很明顯兩個階段的事件，第一問就是在求解第二階段的問題，很明顯直接利用全概率公式，第二個問題其實是要求出三家廠商分別的可能性有多大，比較大小，就是已知第二階段求解第一階段，直接利用貝葉斯公式.只需寫出公式，根據(jù)公式的意義在題目的已知條件中找尋數(shù)據(jù)，帶入即可.

例2.經(jīng)統(tǒng)計在某時期內(nèi)影響股票價格變化的因素只跟銀行存款利率的變化有關(guān)系.經(jīng)過分析，這一時期內(nèi)銀行利率不會上調(diào)，而利率下調(diào)的概率為65%，利率不變的概率為35%.根據(jù)以往經(jīng)驗，在利率下調(diào)情況下某支股票上漲的概率為70%，在利率不變情況下該支股票上漲得概率為30%.求這支股票上漲的概率為多少？

解析：從問題的描述中我們看到并沒有明顯的“取”字眼，但是我們可以觀察到其中說了兩件事，銀行利率與股票上漲之間的關(guān)系，只有這兩件事，可以看出銀行率應(yīng)該是先發(fā)生的事件，進(jìn)而影響股票的漲跌，那第一階段的事件就是銀行的利率問題，由于題目假設(shè)是不會上調(diào)的，那只有兩種可能性作為第一階段的事件，可記B1=“銀行利率下調(diào)”，B1=“銀行利率不變”，第二階段的事情就是觀察股票是否上漲的問題，即可記A=“該股票上漲”.根據(jù)問題，很明顯是在求解第二階段的問題，即全概率公式的應(yīng)用.

三、小結(jié)

全概率與貝葉斯問題的所涉及的問題往往題目都比較長，導(dǎo)致學(xué)生在讀題時總感覺題目有難度，這也是這類問題的難點之一，所以還需要學(xué)生在做這類問題的時候要靜下心來，可以參考本文中講述的兩個階段的方法分清楚事件的先后順序，直接寫出所需要的公式，然后再根據(jù)公式當(dāng)中每個量的意義，再回到題目中找到需要用到的數(shù)據(jù)，這樣的話就不會導(dǎo)致思路的混亂，希望在本文的幫助下可以使學(xué)生更好的理解這兩個公式的意義.

（作者單位：重慶三峽學(xué)院）