[H_∞]魯棒方法和極點(diǎn)配置的飛艇縱向控制器

摘 要： 飛艇體積龐大，易受風(fēng)干擾，對飛艇設(shè)計控制器時除了要滿足動態(tài)性能指標(biāo)，還要求具有一定的擾動抑制作用，因此單一的控制方法難以滿足要求。充分利用極點(diǎn)配置和[H∞]魯棒控制方法的優(yōu)點(diǎn)，將二者綜合起來對飛艇進(jìn)行縱向控制器的設(shè)計，內(nèi)回路通過極點(diǎn)配置使系統(tǒng)達(dá)到期望的動態(tài)指標(biāo)，外回路通過設(shè)計[H∞]控制器抑制外部擾動，仿真結(jié)果表明該綜合方法設(shè)計的控制器具有良好的動態(tài)和魯棒特性。

關(guān)鍵詞： 飛艇；[H∞]魯棒控制； 極點(diǎn)配置； 外部擾動

中圖分類號： TN967?34； V249.1 文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A 文章編號： 1004?373X（2015）13?0021?03

Abstract： Since the airship with huge volume can be easily disturbed by the wind， the dynamic performance should be satisfied and the ability of disturbance suppression should be considered in the airship controller design. Therefore， the single control method is hard to meet the requirements. The airship longitudinal controller is designed by making full use of the advantages of pole assignment and [H∞]robust method. In inner loop the expected dynamic indicator is reached by pole assignment， in outer loop the external disturbance is restrained by [H∞] controller. Simulation results show that the new controller designed by the comprehensive methods has good dynamic characteristic and robust characteristic.

Keywords： airship； H∞ robust control； pole assignment； external disturbance

0 引 言

飛艇作為一種特殊的飛行器，不論在空中飛行還是懸停，都很容易受外部大氣擾動的影響。常規(guī)的控制器設(shè)計方法要么注重閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)性能，要么注重控制器的自適應(yīng)特性或者控制器參數(shù)的魯棒特性，很難同時兼顧復(fù)雜系統(tǒng)的多方面要求。為了給飛艇設(shè)計一種良好的控制器，考慮使用一種綜合的控制器設(shè)計方法。

閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)決定了系統(tǒng)的穩(wěn)定性和響應(yīng)速度，極點(diǎn)配置可以使閉環(huán)系統(tǒng)具有指定的或期望的動態(tài)性能。通常情況下，極點(diǎn)配置是通過狀態(tài)反饋的形式來實現(xiàn)的，在系統(tǒng)完全可觀時，直接對狀態(tài)進(jìn)行反饋；在某些狀態(tài)不可觀測時，首先設(shè)計狀態(tài)觀測器，然后對估計得到的狀態(tài)進(jìn)行反饋。[H∞]魯棒控制是通過對系統(tǒng)的加權(quán)評價指標(biāo)的無窮范數(shù)進(jìn)行優(yōu)化得到的一種控制器，這種控制器具備對擾動的抑制作用，可以實現(xiàn)漸進(jìn)的指令跟蹤。在控制器設(shè)計時，只需要給出模型不確定性或外部干擾的上界，[H∞]控制器就可以將這種不確定性和干擾對系統(tǒng)的影響限制在一個較小的、可以接受的范圍內(nèi)。

本文充分利用極點(diǎn)配置和[H∞]魯棒控制的優(yōu)點(diǎn)，將二者結(jié)合起來，得到了一種能同時滿足動態(tài)性能指標(biāo)和擾動抑制的控制器，該控制器以狀態(tài)反饋形式的極點(diǎn)配置作為內(nèi)回路，實現(xiàn)系統(tǒng)對動態(tài)特性的要求。以[H∞]作為外回路，實現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)對外部擾動的抑制和對輸入指令的跟蹤。最后將設(shè)計的控制器應(yīng)用到飛艇縱向進(jìn)行仿真驗證。

1 全狀態(tài)反饋的極點(diǎn)配置[1]

設(shè)有線性時不變系統(tǒng)：

[x=Ax+Buy=Cx] （1）

式中：[x∈Rn]為狀態(tài)變量；[u∈Rm]為輸入變量；[y∈Rp]為輸出變量，并且[rank（B）=m，][rank（C）=p。]

定理1 受控系統(tǒng)（1）要通過狀態(tài)反饋的方法，使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)位于預(yù)先規(guī)定的位置上，其充分必要條件是系統(tǒng)完全可控。

將原系統(tǒng)通過化為Luenberger能控規(guī)范型來進(jìn)行極點(diǎn)配置，可以使配置后的系統(tǒng)具有良好的動態(tài)響應(yīng)。具體步驟為：

（1） 把能控性矩陣[{A B}]化為Luenberger規(guī)范型[{A B}]；

（2） 把給定的期望閉環(huán)特征值[{λ1，λ2，…，λm}]按照Luenberger規(guī)范型[A]的對角線塊數(shù)作相應(yīng)計算，構(gòu)造出希望的閉環(huán)狀態(tài)陣[A*-B*K*；]

（3） 由[（A-BK）]和[（A*-B*K*）]相比較確定[K；]

（4） 計算化為Luenberger能控規(guī)范型的變換矩陣[S-1，]進(jìn)而得到反饋增益矩陣[K=KS-1。]

通過以上步驟，就可以將系統(tǒng)的極點(diǎn)以狀態(tài)反饋的形式配置到期望的位置。

2 [H∞]控制理論

標(biāo)準(zhǔn)[H∞]控制問題是在標(biāo)稱參數(shù)下的擾動抑制問題，將系統(tǒng)描述為如圖1所示的廣義系統(tǒng)。

其中[G（s）]為廣義被控對象，狀態(tài)空間表達(dá)形式如下：

[x=Ax+B1w+B2uz=C1x+D11w+D12uy=C2x+D21w+D22u] （2）

式中：[x]是狀態(tài)向量；[w∈Rq]是外部擾動輸入；[u]為控制輸入；[z∈Rr]是被控輸出信號，也稱評價信號；[y]是測量輸出信號；[A，][B1，][B2，][C1，][C2，][D11，][D12，][D21，][D22]均為適當(dāng)維數(shù)的定常矩陣；[K（s）]為待設(shè)計的控制器。[K（s）]反饋控制器的設(shè)計原理要用到[w]到[z]傳遞函數(shù)的無窮范數(shù)值[fs=Twz（s）∞，]根據(jù)[fs]的值有以下不同的定義：

定義1：[H∞]最優(yōu)控制問題：求解正則實有理函數(shù)[K（s），]使得閉環(huán)系統(tǒng)內(nèi)部達(dá)到穩(wěn)定，同時使傳遞函數(shù)[Hwz（s）]的無窮范數(shù)達(dá)到最小 [2]，即[min（fs）=λ0。]

定義2：[H∞]次優(yōu)控制問題：對于給定的[λ][（λ>λ0），]求解正則實有理函數(shù)[K（s），]使得閉環(huán)系統(tǒng)內(nèi)部達(dá)到穩(wěn)定，同時使[fs<λ。]

定義3：[H∞]標(biāo)準(zhǔn)控制問題：對于給定的[λ][（λ>λ0），]增廣被控對象[G（s），]判斷是否存在反饋控制器[K（s），]使得閉環(huán)系統(tǒng)內(nèi)部達(dá)到穩(wěn)定，同時使[fs<1，]如果存在則求之。

定理2 系統(tǒng)（2）存在一個狀態(tài)反饋控制器使得閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，且滿足[fs<γ，]當(dāng)且僅當(dāng)存在一個對稱正定陣[X]和矩陣[Y，]使得下面不等式成立[2]：

[AX+B2W+（AX+B2W）TB1（C1+D12W）TBT-IDT11C1X+D12WD11-γ2I<0] （3）

如果式（3）的矩陣不等式存在一個可行解[X]和[W，]則[K=W*X-1]是系統(tǒng)（2）的一個狀態(tài)反饋形式的[H∞]魯棒控制器。

3 控制器設(shè)計

極點(diǎn)配置可以準(zhǔn)確地掌握系統(tǒng)的動態(tài)性能，[H∞]魯棒控制能較好地抑制外部擾動，提高對輸入信號的跟蹤能力。在采用極點(diǎn)配置方法設(shè)計內(nèi)回路的基礎(chǔ)上，采用[H∞]魯棒控制作為外回路控制器。在參考輸入指令[yref]下，有一個干擾向量[w（t）]作用在被控系統(tǒng)上，除了漸近跟蹤要求外，一般還要求[w（t）]對系統(tǒng)輸出所產(chǎn)生的影響[yw（t），]當(dāng)[t→∞]時也趨于零。綜合控制器的原理框圖如圖2所示。

設(shè)被控對象描述為如下的狀態(tài)空間形式：

[x=Ax+B1w+B2uy=C2x] （4）

式中[A=A-B2K]為極點(diǎn)配置模塊。

對偏差信號積分，然后與受控對象串聯(lián)，數(shù)學(xué)描述為：

[η（t）=0te（τ）dτ=0t[yref（τ）-y（τ）]dτ] （5）

對式（5）求導(dǎo)得：

[η（t）=e（t）=yref（t）-CX（t）] （6）

把[η]作為附加的狀態(tài)向量對系統(tǒng)進(jìn)行增廣，得到增廣后的系統(tǒng)為：

[xη=A0-C0xη+B20u+B100Iwyrefy=[C 0]xη] （7）

不失一般性，式（7）就可以改寫為標(biāo)準(zhǔn)[H∞]魯棒控制問題，如下：

[x=Ax+B1w+B2uz=C1x+D12uy=C2x] （8）

式中：[A=A0-C0，][B2=B20，][B1=B100I，][C2=C0，][x=xη，][w=wyref]。

根據(jù)圖2所示結(jié)構(gòu)圖，可以看出控制輸入與狀態(tài)之間滿足下面關(guān)系：

[u=L1L2xxc] （9）

所以系統(tǒng)如果能滿足定理的要求，就能通過把實際的系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)[H∞]魯棒控制問題而求出狀態(tài)反饋陣[L=L1L2]。

4 仿真結(jié)果與分析

某飛艇縱向運(yùn)動線性方程為（在[V=30 ]m/s，[h=3 000 ]m的平飛狀態(tài)下線性化得到）：

[x=Ax+Buy=Cx] （10）

其中，狀態(tài)向量[x=[Vαqθ]，]分別表示速度、迎角、俯仰角速度、俯仰角，控制量為[u=δz]（升降舵）。舵回路采用一階慣性環(huán)節(jié)[20（s+20）]來近似。首先對內(nèi)環(huán)采用狀態(tài)反饋進(jìn)行極點(diǎn)配置，求得[K]為：

[K=[-0.200 60.707 714.138 19.175 6 ]]

考慮到風(fēng)干擾的作用機(jī)理，假設(shè)風(fēng)擾動是通過下列變量加入飛機(jī)縱向運(yùn)動方程中的：

[v=v+vwq=q+qwα=α+αw] （11）

給出俯仰角跟蹤指令[θg]，求得跟蹤誤差為[e=θ-θg]，從而可得到飛機(jī)的干擾增廣模型，如式（8）所示，其中：[x=[Vαqθθes]；][w=[vwqwαw]]。

性能指標(biāo)為：

[z=[c1V c2α c3q c4θ c5θes c6δz]T] （12）

為了更好地跟蹤俯仰角，在性能指標(biāo)中對應(yīng)于狀態(tài)變量[θe]的系數(shù)選取相對大一些，取[c1=0.001，][c2=0.002，][c3=0.002，][c4=0.001，][c5=0.01，][c6=0.001。]求得外環(huán)增廣控制系統(tǒng)的魯棒狀態(tài)反饋陣為：

[L=[-0.940 91.570 319.607 542.859 1-33.857 8 ]]

為了驗證本文設(shè)計的控制器的有效性，將本文設(shè)計的綜合控制器與常規(guī)極點(diǎn)配置得到的控制器進(jìn)行對比。對飛機(jī)在有風(fēng)干擾和無風(fēng)干擾兩種情況下進(jìn)行仿真分析，給定俯仰角跟蹤指令：[θg=10°，]得到不同控制器對應(yīng)系統(tǒng)的跟蹤響應(yīng)如圖3所示。

通過圖3可以看出，常規(guī)的極點(diǎn)配置方法設(shè)計的控制器在無擾動條件下，效果較好，但當(dāng)存在風(fēng)干擾時，效果變差，無法達(dá)到漸進(jìn)跟蹤給定指令的目的。本文設(shè)計的控制器能夠很好地跟蹤給定的俯仰角，并且沒有超調(diào)和穩(wěn)態(tài)誤差，調(diào)節(jié)時間也在可以接受的范圍之內(nèi)，在外部有風(fēng)干擾時，仍然保持了較好的動態(tài)性能和跟蹤能力，具有良好的魯棒性。

5 結(jié) 語

本文討論了[H∞]魯棒方法和極點(diǎn)配置在飛艇縱向控制系統(tǒng)設(shè)計中的應(yīng)用，該設(shè)計方案以狀態(tài)反饋形式的極點(diǎn)配置作為內(nèi)回路來實現(xiàn)系統(tǒng)對動態(tài)性能的要求，以[H∞]魯棒控制器作為外回路來實現(xiàn)對外部干擾的抑制，在有外部風(fēng)干擾的情況下，該控制器可以有效改善系統(tǒng)的動態(tài)性和魯棒性。

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