基于競爭風險的燃料電池發動機多失效模式統計相關性分析*

陳 鐵，鄭松林,2，劉新田，馮金芝,2

(1.上海理工大學機械工程學院，上海 200093；2. 機械工業汽車底盤機械零部件強度與可靠性評價重點實驗室，上海 200093)

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2015047

基于競爭風險的燃料電池發動機多失效模式統計相關性分析*

陳 鐵1，鄭松林1,2，劉新田1，馮金芝1,2

(1.上海理工大學機械工程學院，上海 200093；2. 機械工業汽車底盤機械零部件強度與可靠性評價重點實驗室，上海 200093)

為解決復雜系統多失效模式相關性難以判別與量度的問題，提出一種基于競爭風險理論的多失效模式統計相關性分析模型。采用多元對數正態分布建立系統的聯合失效分布，構造基于條件概率的極大似然函數，運用模擬退火算法對極大似然估計值進行優化求解。在大樣本條件下，憑借Fisher信息矩陣獲得極大似然估計量的漸近協方差矩陣，并采用Delta方法推導出相關矩陣的方差。建立相關性p值假設檢驗過程，判別各競爭失效模式間的相關關系與相關程度。通過對燃料電池發動機的故障數據進行分析，驗證所建模型的可行性和有效性，為競爭失效系統的可靠性預測和分配提供理論依據，為研究最優維修策略提供技術基礎。

燃料電池發動機；競爭失效模式；失效相關性；多元對數正態分布；模擬退火算法；假設檢驗

前言

許多復雜系統在工作過程中，往往承受著來自外部或者自身的多重載荷沖擊。大部分子系統或內部組件在結構與功能上存在著一定程度的關聯，當某子系統或組件失效時，可能會誘發其它子系統或組件失效。在競爭風險場合中，發生任何一種失效模式，系統則失效或停止工作，將無法觀察到其它失效模式的發生。因此，利用競爭風險理論可以有效地分析系統失效模式的競爭行為，合理地評價系統的可靠性水平。然而，研究多競爭失效模式間的相關性一直是可靠性理論的難題，其中判別失效模式間是否存在相關性以及相關程度如何量度等問題尤為突出[1-2]。

對于競爭失效模式的可靠性問題，國內外學者做了較為深入的研究。其中大多數假設組件的失效模式在統計上相互獨立，這樣便可分別對每種失效模式進行獨立分析，確定出它們的分布類型和可靠性函數。文獻[3]中建立了獨立假設條件下的競爭失效模型，并給出了對數正態分布的極大似然估計。文獻[4]中采用混合分布對獨立競爭失效問題加以研究。文獻[5]中針對突發失效模式和退化失效模式并存的競爭風險場合進行建模分析，并采用基于期望最大化的極大似然法和偽失效壽命的極大似然法估計模型參數。研究人員針對競爭失效模式的相關性問題也進行了相關探討。文獻[6]中建立了可靠性模型來描述某組件的失效以某特定概率對其它組件產生沖擊影響的現象。文獻[7]中基于競爭風險理論提出了考慮失效時間相關的條件分布模型。文獻[8]中提出了基于功能函數完全相關或完全獨立的一般界限理論。文獻[9]中提出了二階窄界限理論來計算兩兩失效模式間的相關系數,文獻[2]和文獻[10]在此基礎上，提出了一種僅考慮主次失效模式相關系數的計算方法。文獻[11]中利用Copula函數建立聯合生存函數來描述多種競爭風險之間的相關關系。文獻[12]中針對高壽命產品多故障模式失效的可靠性綜合預估問題，建立了多故障模式相關性失效的Copula綜合可靠性模型。

綜合上述研究，如果忽略競爭失效模式間的相關性，常常會導致系統可靠性分析產生誤差。然而，關于競爭失效模式相關性判別與量度方面的研究還少見文獻報道。因此，本文中重點研究競爭失效模式相關性判別與量度的問題，提出一種基于多元對數正態分布的競爭失效模式相關性統計可靠性模型，采用基于模擬退火的極大似然估計法對模型參數進行優化求解，并建立完整的相關性p值假設檢驗過程，驗證各競爭失效模式間的相關關系與相關程度。目前，該模型暫不考慮任何維修操作。

1 競爭失效模式統計相關性建模

1.1 失效模式競爭風險模型

在經典競爭風險理論中，一般假設系統由K個組件組成，且對應K種不同的失效模式，每一種失效模式的發生都將導致整個系統失效或停止工作。此外，假定系統同一時刻不可能發生兩種或兩種以上的失效模式。為了方便問題的闡述，每個組件的潛在失效時間用隨機變量Dj表示，j=1,2,…,K。系統中所有組件的潛在失效時間用向量D=[D1,…,DK]T表示，系統的實際失效時間用T=min(Dj)表示，對應的失效模式用I=arg(min(Dj))表示，因此，失效模式競爭風險模型的統計量[13]為

(T,I)={min(Dj),arg(min(Dj))}

(1)

1.2 聯合失效分布模型

對數正態分布是一種常用的失效時間分布，多元函數是描述隨機變量相關性的根本方法，因此，基于多元對數正態分布函數建立潛在失效時間向量D的聯合分布模型。該模型不僅可以描述失效模式統計上獨立的情況，同時也可以描述失效模式統計上相關的情況。根據多元對數正態分布的性質，其聯合概率密度函數[14]表示為

(2)

式中：μ為多元對數正態分布的均值向量；Σ為多元對數正態分布的協方差矩陣。

2 基于條件概率的極大似然估計

2.1 條件似然函數

根據Leibniz法則，對聯合概率密度函數進行積分，構造出潛在失效時間向量D的聯合生存函數如下：

(3)

在ti時刻，第i個系統的組件k失效，其它組件均正常的條件似然函數為

(4)

式中：fk(ti)為組件k潛在失效時間的對數正態邊緣分布的概率密度函數；Pr(*)表示在Dik=ti的條件下，事件(Dij≥ti;j≠k,j=1,…,K)發生的概率，即在組件k失效的條件下，系統內其它組件均正常的概率。

綜合樣本N個觀察值，建立完整的條件似然函數如下：

(5)

(6)

(7)

將式(6)和式(7)代入式(5)，即可對條件似然函數進行計算。

另外，對于多元對數正態分布的參數估計而言，協方差矩陣Σ需要滿足正定性要求，因此，運用矩陣的Cholesky分解法，對協方差矩陣進行三角分解：

Σ=M×MT

(8)

式中M為正定下三角矩陣。

這樣便可確保協方差矩陣為實對稱正定矩陣。經Cholesky分解后，極大似然估計量可由協方差矩陣Σ轉變為矩陣M，記作θ=(μ,M)。

2.2 極大似然估計的模擬退火算法優化

多元對數正態分布的極大似然估計屬于多維參數優化問題，采用模擬退火算法可以在隨機搜尋過程中使目標函數趨于全局最優，避免陷入局部最優解，設置合適的模擬退火算法的控制參數，有利于獲得待估參數的最小無偏估計[16]。算法實施步驟如下：

(1)輸入一組服從多元對數正態分布的樣本觀察值；

(2)設定初始溫度T0，極大似然估計量初值θ0，并計算似然函數初值L(θ0)；

(3)在極大似然估計量的鄰域內隨機選取一點θ1，并計算此時似然函數的值L(θ1)；

(4)如果Δ=L(θ0)-L(θ1)<0，則接受θ=θ1，否則隨機產生u∈U(0,1)。當u

(5)如果算法滿足終止條件，則輸出θ，即得到極大似然估計量的最優解，否則按照冷卻策略更新溫度T，并返回步驟(3)。

3 相關性假設檢驗

3.1 相關性假設檢驗模型

兩個隨機變量的相關關系一般通過相關系數來判別。對于多元分布而言，其相關關系則通過相關矩陣Λ來描述。

(9)

Λ=(Λij)K×K

(10)

當Λij>0，稱失效模式i、j正相關；當Λij<0，稱失效模式i、j負相關；當Λij=0，稱失效模式i、j不相關。

求出相關矩陣后，需要對其進行假設檢驗，從而量度出任意兩種不同競爭失效模式之間相關程度的顯著性。因此，在顯著性水平α下，考慮假設檢驗如下：

H0：失效模式i、j在統計上獨立;

H1：失效模式i、j在統計上相關。

在大樣本的情況下，極大似然估計量服從漸近正態分布[17]，因此，檢驗統計量表示為

(11)

隨后進行相關性p值檢驗，p值表示拒絕原假設的最小顯著水平。由于所建立的假設檢驗為雙邊檢驗，所以p值[18]為

(12)

在給定的顯著水平α下，若p>α，則接受原假設H0，說明失效模式i、j在統計上獨立；若p≤α，則拒絕原假設H0，說明失效模式i、j在統計上顯著相關。

3.2 Delta方法

(13)

(14)

根據式(11)即可計算出檢驗統計量Wij。

4 模型的試驗驗證

燃料電池發動機是燃料電池轎車的核心部件，屬于復雜的機電液一體化系統，失效模式不唯一，失效模式間的相關性難以判別，導致無法準確評價其可靠性水平。

本文中對118輛集中示范運行的燃料電池轎車的可靠性試驗數據進行統計分析，運用所提出的競爭失效模式統計相關性分析模型研究燃料電池發動機首次失效模式的相關性。燃料電池發動機主要存在4類典型的首次失效模式，如表1所示，各類失效模式的累積分布如圖2所示。發生任意一類失效模式，燃料電池發動機則停止工作，須進行故障排查。

表1 燃料電池發動機典型失效模式

4.1 模型參數估計

針對燃料電池發動機首次故障的失效模式數據，選擇對數正態分布建立競爭失效模式相關性分析可靠性模型，利用模擬退火算法對條件極大似然估計量θ=(μ,M)中的14個模型參數進行最優化求解。

4.2 相關性假設檢驗

表2 相關矩陣的p值

根據假設檢驗原則，當p>0.05時，失效模式i、j獨立；當p≤0.05時，失效模式i、j相關。由表2可知，失效模式(1,4)、(2,4)和(3,4)統計上失效獨立，而失效模式(1,2)、(1,3)和(2,3)統計上失效相關。從失效機理角度加以分析，“電流短路危險”產生的極間短路電流會對單電池性能產生影響，導致“單電池電壓低于下限值”。由于電堆中單電池的串聯結構，單電池的異常會影響整個電堆的性能和安全，所以“單電池電壓低于下限值”勢必會對電堆電壓產生影響，導致“單電堆電壓低于下限值”。然而，由于密封部件磨損或是供電接觸器故障引起的“氣泵故障”屬于耗損失效，從功用的角度而言，對單電池及電堆的性能無直接影響，因此它們的失效模式之間不存在相關性。

5 結論

(1)本文中提出了一種基于競爭風險理論的失效模式相關性統計分析模型。選擇多元對數正態分布函數建立系統的潛在聯合失效分布模型，對競爭失效模式的相關關系進行描述，避免了傳統競爭風險模型中做獨立性假設的必要。推導出在某組件失效時，系統內其它組件均正常的條件概率，建立條件極大似然函數，運用模擬退火算法對極大似然估計量中的多個模型參數進行全局最優解搜尋。

(2)在大樣本情況下，根據極大似然估計量的漸近正態性，構造出服從標準正態分布的檢驗統計量，利用Delta方法對相關矩陣的方差進行求解，并建立相關性p值假設檢驗，在95%的置信水平下，通過p值來判別與量度任意兩兩失效模式之間的相關性。

(3)運用本文中提出的模型與方法分析了燃料電池發動機競爭失效模式之間的相關關系，這樣既可以在改進設計階段幫助開發人員改善系統的薄弱環節，更合理地確定系統可靠性指標，保證整車可靠性分配與預測的正確性；亦可以為維修人員提供更有效的維修策略，對系統進行預防性維護，避免關聯故障的發生。基于上述研究，下一步將針對可維修系統建立競爭失效模式相關性分析模型。

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Statistical Correlation Analysis on the Multiple Failure Modes of a Fuel Cell Engine Based on Competing Risks

Chen Tie1, Zheng Songlin1,2, Liu Xintian1& Feng Jinzhi1,2

1.CollegeofMechanicalEngineering,UniversityofShanghaiforScienceandTechnology,Shanghai200093;2.MachineryIndustryKeyLaboratoryforMechanicalStrength&ReliabilityEvaluationofAutoChassisComponents,Shanghai200093

To overcome the difficulties in discriminating and measuring the correlation between multiple failure modes of complex systems, a statistical correlation analysis model for multiple failure modes is proposed based on competing risks theory. The combined failure distribution of the system is established with multivariate lognormal distribution, and a conditional probability-based maximum likelihood function is constructed with its estimates optimized by using simulated annealing algorithm. In large sample condition, the asymptotic covariance matrix of maximum likelihood estimates is obtained by means of Fisher information matrix, and then Delta method is used to derive the variance of correlation matrix. Then, p-values hypothesis testing procedures are developed to discriminate the relationship and degree of correlation between competing failure modes. Finally an analysis on the fault data of a fuel cell engine is conducted to verify the feasibility and effectiveness of the model built. The research provides a theoretical basis for the reliability prediction and allocation of competing failure system and a technical foundation for the study on optimal maintenance strategy.

fuel cell engine; competing failure modes; failure correlation; multivariate lognormal distribution; simulated annealing algorithm; hypothesis testing

* 國家863計劃項目(2011AA11A265和2012AA110701)、國家自然科學基金(51375313)、上海市科委基礎研究重點項目(13JC1408500)和上海市研究生創新基金(JWCXSL1401 & JWCXSL1302)資助。

原稿收到日期為2014年7月18日，修改稿收到日期為2014年8月24日。