BLU-SGS方法在WCNS高階精度格式上的數(shù)值分析

王光學(xué)，張玉倫，王運(yùn)濤，＊，李 松，孟德虹，李 偉

（1.國(guó)防科技大學(xué)航天科學(xué)與工程學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙 410073；2.中國(guó)空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心計(jì)算空氣動(dòng)力研究所，四川綿陽(yáng) 621000）

BLU-SGS方法在WCNS高階精度格式上的數(shù)值分析

王光學(xué)1，2，張玉倫2，王運(yùn)濤2，＊，李 松2，孟德虹2，李 偉2

（1.國(guó)防科技大學(xué)航天科學(xué)與工程學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙 410073；2.中國(guó)空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心計(jì)算空氣動(dòng)力研究所，四川綿陽(yáng) 621000）

高階精度計(jì)算方法的收斂效率是目前CFD重要的研究?jī)?nèi)容之一。應(yīng)用多塊對(duì)接結(jié)構(gòu)網(wǎng)格技術(shù)，基于雷諾平均的Navier-Stokes方程（RANS）和五階空間離散精度的顯式加權(quán)緊致非線(xiàn)性格式（WCNS-E），針對(duì)NLR7301兩段翼型和Trap Wing梯形翼兩個(gè)低速算例，重點(diǎn)研究了BLU-SGS迭代方法應(yīng)用于WCNS-E高階精度格式上的收斂效率問(wèn)題。通過(guò)與LU-SGS迭代方法收斂效率和計(jì)算結(jié)果的比較，研究結(jié)果表明：BLU-SGS迭代方法的收斂效率明顯優(yōu)于LU-SGS迭代方法；對(duì)于收斂的流場(chǎng)，BLU-SGS迭代方法的計(jì)算結(jié)果與LU-SGS方法的結(jié)果基本相同。

高階精度格式；計(jì)算效率；隱式時(shí)間推進(jìn)；BLU-SGS；WCNS格式；低速流動(dòng)

0 引 言

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)和CFD方法的飛速發(fā)展，CFD已經(jīng)獲得了廣泛的應(yīng)用，不僅引起了飛行器設(shè)計(jì)思想的變革，導(dǎo)致高性能飛行器的誕生，同時(shí)在復(fù)雜流動(dòng)機(jī)理研究等方面也發(fā)揮了重要作用。然而目前廣泛應(yīng)用的CFD軟件大多基于二階精度格式。對(duì)于只涉及附著流和小分離流的問(wèn)題，二階精度格式能夠給出較好的模擬結(jié)果，但是對(duì)于復(fù)雜流動(dòng)問(wèn)題，特別是涉及到導(dǎo)數(shù)計(jì)算的摩阻和熱流計(jì)算，二階精度格式難以滿(mǎn)足科學(xué)研究和工程應(yīng)用的精度要求。

高階精度方法近年來(lái)獲得了廣泛、深入的研究，發(fā)展了一系列高階精度格式，如ENO、WENO、DCS、WCNS和DG等。與二階精度格式相比較，高階精度格式具有高分辨率、低耗散等特點(diǎn)，能夠給出更加精細(xì)的流動(dòng)結(jié)構(gòu)和更準(zhǔn)確的計(jì)算結(jié)果，已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于流動(dòng)機(jī)理、氣動(dòng)聲學(xué)、大渦模擬（LES）和直接數(shù)值模擬（DNS）等科學(xué)研究領(lǐng)域。但是，針對(duì)復(fù)雜的工程問(wèn)題，目前尚沒(méi)有一種實(shí)用的高階精度計(jì)算方法與數(shù)值模擬軟件。主要原因在于高階精度方法對(duì)計(jì)算網(wǎng)格的質(zhì)量要求高，計(jì)算效率低，魯棒性差等。

五階空間離散精度的WCNS［1－5］格式作為一種非線(xiàn)性高階精度空間離散格式，不僅具有高分辨率、低耗散、低色散和一致高階精度等特點(diǎn)，而且對(duì)間斷具有很好的捕捉能力。其顯式格式WCNS-E，在保持上述優(yōu)良特性的前提下，相比隱式緊致格式，進(jìn)一步提高了計(jì)算效率。特別是，文獻(xiàn)［6］針對(duì)高階有限差分算法在滿(mǎn)足幾何守恒律方面的困難，發(fā)展了滿(mǎn)足幾何守恒律的高階精度的網(wǎng)格坐標(biāo)變換導(dǎo)數(shù)算法，大大提高了WCNS-E格式對(duì)復(fù)雜計(jì)算網(wǎng)格的適應(yīng)性和魯棒性，顯示了WCNS-E格式在復(fù)雜的工程應(yīng)用方面具有潛在的優(yōu)勢(shì)。

為了將高階精度格式應(yīng)用于工程實(shí)際問(wèn)題，還要有可以接受的計(jì)算效率。計(jì)算效率除受空間離散格式影響外，更主要受時(shí)間推進(jìn)方法影響。時(shí)間推進(jìn)方法可分為顯式和隱式兩類(lèi)。顯式方法受CFL條件限制，計(jì)算效率較低。與顯式方法比較，隱式方法具有更高的效率。因此，在CFD應(yīng)用技術(shù)研究中得到了更多的關(guān)注，發(fā)展了許多有效的隱式方法，如Beam-Warming［7］的ADI方法，Pulliam和Chaussee［8］的DADI方法，Bardina和Lombard［9］的DDADI方法，Klopfer和Hung［10］等的D3ADI方法，Jameson和Turkel［11］的LU方法，Yoon和Jameson［12］的LUSGS方法，F(xiàn)ujii和Obayashi［13］的LU-ADI方法，Briley和Neerarambam［14］的LU-AF方法，Chen和Wang［15］的BLU＿SGS方法，Jameson和Caughey［16］的SGS-Newton迭代方法，MacCormack的GSLR［17］，Reddy等［18－19］的GSPR方法等。這些方法在二階精度的CFD計(jì)算中取得了很好的效果。但是，將這些在二階精度計(jì)算中發(fā)展的隱式時(shí)間推進(jìn)方法直接應(yīng)用于高階精度計(jì)算，存在一個(gè)適應(yīng)性問(wèn)題。比如，LU-SGS方法構(gòu)造簡(jiǎn)單，在二階精度計(jì)算中具有良好的穩(wěn)定性和收斂性，因此得到了廣泛的應(yīng)用，但是將其應(yīng)用于WCNS高階精度格式上效果就不太理想。究其原因，離散方程左端項(xiàng)的精度低，特別當(dāng)右端項(xiàng)采用高階精度格式離散時(shí)造成左、右兩端離散精度不匹配影響了收斂速度［10，15］。針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，文獻(xiàn)［20］研究了LU-SGS、點(diǎn)松弛、線(xiàn)松弛以及GMRES四種方法應(yīng)用于WCNS-E高階精度格式上的適應(yīng)性問(wèn)題。其高超聲速數(shù)值試驗(yàn)表明，與LUSGS相比，采用準(zhǔn)確雅克比矩陣的松弛法可以顯著提高高階精度格式的收斂速度。從而證實(shí)了提高離散方程左端項(xiàng)的精度可以達(dá)到提高收斂速度的目的。

眾所周知，流動(dòng)控制方程和CFD方法在不同的速度范圍具有不同的特性和表現(xiàn)。比如，低速問(wèn)題受所謂“剛性”的影響，如果不采用特殊處理（比如，預(yù)處理技術(shù)），其計(jì)算效率往往比較低。而對(duì)于跨聲速問(wèn)題，控制方程性質(zhì)處于跨界狀態(tài)，有激波與邊界層干擾，流場(chǎng)對(duì)很多因素都比較敏感，歷來(lái)是CFD計(jì)算的難點(diǎn)。低速和跨聲速問(wèn)題不但非常典型，而且具有廣泛的工程背景。另一方面，BLU-SGS方法也采用了更準(zhǔn)確的方式分裂雅克比矩陣，在二階精度計(jì)算中表現(xiàn)很優(yōu)秀。所以，本文針對(duì)低速流動(dòng)問(wèn)題，重點(diǎn)研究BLU-SGS方法應(yīng)用到WCNS-E高階精度格式上的收斂效率問(wèn)題，并與LU-SGS方法進(jìn)行比較。

1 計(jì)算方法

1.1 時(shí)間推進(jìn)方法

對(duì)非定常雷諾平均的Navier-Stokes方程（URANS）在時(shí)間方向上進(jìn)行隱式離散，非定常項(xiàng)采用一階后向差分，其它項(xiàng)采用一階泰勒展開(kāi)，并令δ Q＝Qn＋1－Qn，δEv＝En＋1v－Env，得：

其中Q為守恒變量，τ為時(shí)間，E、F、G為對(duì)流通量，Ev、Fv、Gv為粘性通量，A、B、C分別為E、F、G的雅克比矩陣。對(duì)式（1）左端空間離散，對(duì)流項(xiàng)采用一階迎風(fēng)差分，擴(kuò)散項(xiàng)采用二階中心差分，并令W＝其中p為壓力，u、v、w為x、y、z三個(gè)方向的速度分量，T為溫度，Re為雷諾數(shù)。

對(duì)于離散方程（3）可以采用不同的方法進(jìn)行求解。本文采用BLU-SGS和LU-SGS兩種隱式方法進(jìn)行迭代求解。采用BLU-SGS時(shí)，A±Av采用完整形式的雅克比矩陣，因此D 為 一個(gè)5×5矩陣，具體方法參見(jiàn)文獻(xiàn)［15］。采用LU-SGS時(shí)，A±＝（A±βrA），rA為A的譜半徑，Av只取對(duì)角項(xiàng)，因此D為對(duì)角矩陣，具體方法參見(jiàn)文獻(xiàn)［12］。

1.2 空間離散方法

對(duì)于式（1）右端項(xiàng)的離散，對(duì)流項(xiàng)采用具有五階空間離散精度的WCNS-E格式，粘性項(xiàng)采用基于節(jié)點(diǎn)／半節(jié)點(diǎn)交錯(cuò)方法的六階中心型差分。

1.2.1 對(duì)流項(xiàng)的離散

對(duì)流項(xiàng)采用具有五階空間離散精度的WCNS-E格式離散，以E／ξ為例：

其中半節(jié)點(diǎn)上的通量E～j＋1／2采用Roe通量差分分裂方法計(jì)算。節(jié)點(diǎn)上的網(wǎng)格導(dǎo)數(shù)通過(guò)網(wǎng)格導(dǎo)數(shù)的守恒算法計(jì)算。半節(jié)點(diǎn)上的網(wǎng)格導(dǎo)數(shù)利用節(jié)點(diǎn)上的網(wǎng)格導(dǎo)數(shù)插值獲得，具體方法參見(jiàn)文獻(xiàn)［6］。

1.2.2 粘性項(xiàng)的離散

粘性通量采用與無(wú)粘通量相同的六階中心型格式（4）進(jìn)行離散，其中粘性通量vj＋1／2包含的半節(jié)點(diǎn)處的原始變量通過(guò)插值得到，一階導(dǎo)數(shù)通過(guò)六階中心型差分格式計(jì)算。

1.2.3 湍流模型的離散

湍流模型選擇k-ωSST兩方程模型，采用與RANS方程相同的方法進(jìn)行離散。即對(duì)流項(xiàng)采用WCNS-E五階格式離散，耗散項(xiàng)采用六階中心型差分格式離散；湍流模型離散方程的求解方法選擇1.1節(jié)的BLU-SGS或LU-SGS方法，流動(dòng)控制方程與湍流模型方程采用松耦合方式迭代求解。

2 NLR7301兩段翼型數(shù)值模擬

2.1 NLR7301兩段翼型外形及網(wǎng)格

NLR7301兩段翼型由主翼和襟翼組成，襟翼偏角為20°，主翼和襟翼之間的間隙寬度為0.026c（c為弦長(zhǎng)），重疊區(qū)域長(zhǎng)度為0.053c（CFG.2）。計(jì)算網(wǎng)格如圖1所示，多塊對(duì)接網(wǎng)格，網(wǎng)格單元數(shù)為191 376，第一層壁面距離5×10－6c。

圖1 NLR7301計(jì)算網(wǎng)格Fig.1 Computational mesh of NLR7301

2.2 NLR7301兩段翼型計(jì)算結(jié)果分析

計(jì)算狀態(tài)：M∞＝0.185，α＝13.1°，Re＝2.51× 106（基于平均氣動(dòng)弦長(zhǎng)）。

2.2.1 收斂效率

圖2比較了BLU-SGS和LU-SGS兩種求解方法的殘差和升力系數(shù)和阻力系數(shù)的收斂情況。從圖2中可見(jiàn)，兩種求解算法的氣動(dòng)力收斂結(jié)果是一致的，BLU-SGS算法的殘差收斂更佳；得到收斂的氣動(dòng)力系數(shù)的迭代步數(shù)比LU-SGS節(jié)約50%，雖然單步CPU時(shí)間前者要多15%左右，但是對(duì)總CPU時(shí)間而言BLU-SGS算法仍具有明顯優(yōu)勢(shì)。

2.2.2 速度型

圖3給出了NLR7301兩段翼型四個(gè)典型站位的示意圖，主翼上表面前部、主翼上表面中部、主翼下表面后部和襟翼上表面中部分別位于層流區(qū)域、湍流充分發(fā)展區(qū)域和尾跡影響區(qū)域。圖4比較了BLUSGS和LU-SGS兩種方法在這四個(gè)站位上的速度型分布，二者給出了完全重合的結(jié)果。

圖2 NLR7301翼型的收斂性歷程曲線(xiàn)Fig.2 Convergence histories of NLR7301airfoil

圖3 NLR7301翼型邊界層測(cè)量站位示意圖Fig.3 Boundary layer measuring stations of NLR7301airfoil

圖4 NLR7301典型站位邊界層速度型Fig.4 Typical velocity profiles for boundary layer of NLR7301airfoil

2.2.3 表面壓力分布

圖5給出了BLU-SGS和LU-SGS兩種方法得到的表面壓力分布及局部放大圖，二者是一致的。

圖5 NLR7301翼型表面壓力分布Fig.5 Distribution of pressure coefficent for NLR7301airfoil

2.2.4 氣動(dòng)特性

表1給出的采用兩種求解方法得到氣動(dòng)力系數(shù)及相應(yīng)的試驗(yàn)結(jié)果［21］，其中CDf為摩擦阻力系數(shù)、CDp為壓差阻力系數(shù)。

表1 NLR7301的氣動(dòng)力系數(shù)Table 1 Aerodynamic characteristics of NLR7301

從表1看出，BLU-SGS和LU-SGS兩種方法的結(jié)果沒(méi)有明顯的差異，不同的隱式迭代方法對(duì)升力系數(shù)和阻力系數(shù)的影響非常小。采用轉(zhuǎn)捩模型可以進(jìn)一步提高計(jì)阻力系數(shù)與試驗(yàn)結(jié)果的吻合程度［22］。

3 Trap Wing梯形翼數(shù)值模擬

3.1 Trap Wing梯形翼構(gòu)型及網(wǎng)格

梯形翼高升力構(gòu)型是安裝在機(jī)身上的大弦長(zhǎng)、中等展弦比、前緣縫翼／主機(jī)翼／后緣襟翼三段構(gòu)型，機(jī)翼無(wú)扭轉(zhuǎn)、無(wú)上反角，前緣縫翼偏角為30°，后緣襟翼偏角為25°（CFG.1），半展長(zhǎng)為2.1604m，平均氣動(dòng)弦長(zhǎng)1.0067m。計(jì)算網(wǎng)格如圖6所示，為多塊對(duì)接網(wǎng)格，網(wǎng)格單元數(shù)為14 645 760，第一層法向網(wǎng)格壁面距離4×10－6。

圖6 梯形翼構(gòu)型計(jì)算網(wǎng)格Fig.6 Computational grid for trap wing configuration

3.2 Trap Wing梯形翼計(jì)算結(jié)果及分析

計(jì)算狀態(tài)：M∞＝0.2，α＝13°，Re＝4.3×106（基于平均氣動(dòng)弦長(zhǎng)）。

3.2.1 收斂效率

圖7比較了BLU-SGS和LU-SGS兩種方法的殘差和氣動(dòng)力系數(shù)的收斂情況。與二維NLR7301的表現(xiàn)一致：兩種求解算法的氣動(dòng)力收斂結(jié)果是一致的，BLU-SGS算法的氣動(dòng)力力系數(shù)波動(dòng)更??；從迭代步數(shù)和總CPU時(shí)間來(lái)看，BLU-SGS算法都具有明顯的優(yōu)勢(shì)。殘差及氣動(dòng)力系數(shù)的波動(dòng)是由流場(chǎng)中的局部分離引起的。

圖7 梯形翼構(gòu)型氣動(dòng)力系數(shù)的收斂性歷程曲線(xiàn)Fig.7 Convergence histories of aerodynamic characteristics of trap wing configuration

3.2.2 速度型

圖8給出了邊界層內(nèi)三個(gè)典型站位上的速度型分布，分別位于主機(jī)翼后緣、襟翼前緣和襟翼后緣，都在靠近翼梢的上表面上。從圖8可見(jiàn)，BLU-SGS和LU-SGS兩種方法給出了相同的結(jié)果，在這三個(gè)站位上的速度型都是重合的。

3.2.3 壓力分布

圖9給出了BLU-SGS和LU-SGS兩種求解方法得到的梯形翼構(gòu)型典型展向站位的表面壓力分布曲線(xiàn)。在位于機(jī)翼中部的η＝0.41和η＝0.70位置，兩種求解方法的表面壓力分布是完全一致的；在位于翼梢附近的η＝0.95和η＝0.98位置，縫翼和主機(jī)翼上的表面壓力分布也保持了一致性，只是在襟翼上表面特別是襟翼后緣存在微小差異。

3.2.4 氣動(dòng)特性

表2給出了采用兩種隱式求解方法得到的梯形翼構(gòu)型的氣動(dòng)力系數(shù)及相應(yīng)的試驗(yàn)結(jié)果［23］。

從表2給出的氣動(dòng)力系數(shù)來(lái)看，兩種隱式求解方法的結(jié)果沒(méi)有明顯的差異，不同的時(shí)間推進(jìn)方法對(duì)氣動(dòng)力系數(shù)的影響非常小。

圖8 高升力構(gòu)型典型站位邊界層速度型Fig.8 Typical velocity profiles for boundary layer of trap wing configuration

圖9 高升力構(gòu)型表面壓力分布Fig.9 Distribution of pressure coefficent for trap-wing

表2 梯形翼構(gòu)型的氣動(dòng)力系數(shù)Table 2 Aerodynamic characteristics for trap wing congfiguration

4 結(jié) 論

通過(guò)NLR-7301兩段翼型和Trap Wing梯形翼兩個(gè)低速構(gòu)型的算例分析，可以得出以下結(jié)論：

（1）BLU-SGS的收斂特性顯著優(yōu)于LU-SGS，殘差下降更快。

（2）對(duì)收斂的流場(chǎng)，BLU-SGS方法與LU-SGS方法的計(jì)算結(jié)果基本相同，不同隱式迭代方法對(duì)計(jì)算結(jié)果影響很小。

本項(xiàng)研究的下一步工作將采用高階精度計(jì)算方法，針對(duì)跨聲速構(gòu)型開(kāi)展BLU-SGS方法的收斂效率研究。

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Numerical analysis of BLU＿SGS method in WCNS high-order scheme

Wang Guangxue1，2，Zhang Yulun1，Wang Yuntao2，＊，Li Song2，Meng Dehong2，Li Wei2

（1.College of Aerospace Science and Engineering，National University of Defense Technology，Changsha 410073，China；2.Computational Aerodynamics Institute of China Aerodynamics Research and Development Center，Mianyang 621000，China）

High-order numerical method is a major hotspot of computational fluid dynamics（CFD），the convergence efficiency is one of the main subjects in the study of high-order numerical method.In this paper，the block lower-upper symmetric Gauss-Seidel（BLU-SGS）implicit algorithm is applied to the fifth-order explicit Weighted Compact Nonlinear Scheme（WCNS-E）to solve the Reynolds-averaged Navier-Stokes（RANS）equations on multi-block structured grids.Two typical test cases，subsonic flows over the NLR7301two-element airfoil and the threeelement trapezoidal wing，are adopted to investigate the convergence efficiency of the BLU-SGS approach.By comparison with the original lower-upper symmetric Gauss-Setdel（LU-SGS）implicit approach，the numerical results indicate that the efficiency of BLU-SGS is much better than that of LU-SGS in low speed flow and different implicit iterative methods have little influence on aerodynamic character，such as the typical velocity profiles for boundary layer and the distribution of pressure coefficent for two typical test cases.

high-order scheme；computational efficiency；implicit time discrete；BLU＿SGS；WCNS scheme；low speed flow

V211.3

：Adoi：10.7638／kqdlxxb-2014.0061

2014-06-30；

2014-12-02

國(guó)家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃（2014CB744803）

王光學(xué)（1976-），男，重慶忠縣人，副研究員，研究方向：計(jì)算空氣動(dòng)力學(xué).E-mail：gxwang＠skla.cardc.cn

王運(yùn)濤＊（1967-），男，黑龍江密山人，研究員，研究方向：計(jì)算空氣動(dòng)力學(xué).E-mail：ytwang＠skla.cardc.cn

王光學(xué)，張玉倫，王運(yùn)濤，等.BLU-SGS方法在WCNS高階精度格式上的數(shù)值分析［J］.空氣動(dòng)力學(xué)學(xué)報(bào)，2015，33（6）：733-739.

10.7638／kqdlxxb-2014.0061 Wang G X，Zhang Y L，Wang Y T，et al.Numerical analysis of BLU＿SGS method in WCNS high-order scheme［J］.Acta Aerodynamica Sinica，2015，33（6）：733-739.

0258-1825（2015）06-0733-07