液壓缸非線性時變特性分析與數值仿真方法研究

陳鵬霏，劉海芳，賀宇新 ;柳虹亮

(1.長春工業大學，吉林 長春 130012;2.長春職業技術學院，吉林 長春 130033)

0 引言

液壓缸驅動機構相比傳統的機械傳動，具有結構簡單、傳動平穩、控制方便，且適用于大功率場合等顯著優點。因此，在冶金、礦山、鑄鍛等重型機械上，液壓技術早已被廣泛應用［1］。如今，隨著重機自動化技術的不斷發展，對液壓驅動精度的要求也越來越高。然而，液壓缸等傳動機構在低速運行時會出現時斷時續、時緩時急的爬行現象，嚴重影響了傳動系統的穩定性，有時甚至會造成重大的經濟損失。因此，在深入揭示爬行現象本質機理的基礎上，利用現代計算機技術進行數值仿真研究，從而尋求有效的解決方案，是具有現實意義的。

目前，對于液壓伺服驅動系統動態特性的仿真研究，主要有兩種方法［2］:(1)依據經典控制學理論建立傳遞函數模型，采用控制仿真軟件Matlab/Simulink、LabView 等進行系統仿真;(2)通過圖形建模的方式，利用專業的液壓系統仿真軟件AMESim、SimulationX、20－ Sim 等進行模擬仿真。然而，由于上述方法多采用小偏差理論對非線性因素進行線性化處理，導致有時即使忽略微小的非線性因素，往往也會在實際分析中引起較大的誤差，甚至引發本質性的錯誤，使得液壓仿真分析的最終結果難以達到較為理想的效果。

近年來，國內外學者針對液壓缸的非線性運動特性，逐漸展開了大量的研究工作。國外Hayashi S［3］以流體非線性動力學理論為基礎，深入闡述了液壓缸低速爬行實質上是自激振動、分岔和混沌等非線性動力學現象的一種表現形式。Misra A［4］和Licsko G［5］則以液壓控制閥為研究對象，從單一元件角度分析液壓缸非線性運動特性問題，研究了當控制閥相關參數改變時所引起的不同程度的液壓爬行現象。國內王林鴻［6］教授通過理論分析和試驗驗證研究了液壓缸運動的非線性動態特征，指出液壓缸低速爬行是在特定工況下的“跳躍現象”和自激振動等多重原因作用的結果。姜萬錄［2］教授提出將現代非線性動力學理論引入液壓伺服系統，揭示伺服系統動態過程的本質和機制，同時對系統進行狀態監測和智能故障診斷，具有十分重大的意義。然而，眾所周知，非線性問題是伺服驅動系統中普遍存在但至今仍未能很好解決的難題。目前，已有學者采用較為成熟的非線性振動學理論Duffing 方程和Van Der Pol 方程，來解決液壓缸運動的非線性特征，并取得了良好的效果。但是在模型轉化過程中仍不可避免地進行相應的簡化，且Duffing方程和Van Der Pol 方程的數值求解過程較為復雜繁瑣。

因此，本文在深入研究液壓缸非線性運動特性基礎上，利用Taylor 展開法將非線性微分方程簡化為可解的線性微分方程形式，并采用分割時間步長的策略來解決液壓缸運動過程中各特征參數的非線性和時變特性。力圖通過理論分析和數值仿真，深入揭示液壓非線性彈簧力和時變摩擦力的變化規律和作用機理，探索引起液壓缸低速爬行現象的本質原因。

1 液壓缸驅動機構動力學模型

液壓缸作為液壓驅動系統的執行元件，可將油液的壓力能轉換為機械能輸出。按其結構形式可分為活塞式、柱塞式、擺動式及嵌套式液壓缸等。雖然液壓缸種類繁多，但其工作原理基本相同。雙作用單活塞桿液壓缸的工作原理簡圖如圖1 所示。

圖1 單活塞桿液壓缸的工作原理圖Fig.1 Principle diagram of single rod hydraulic cylinder

根據牛頓第二定律，其動力學方程可表達為

式中，m為活塞和負載的等效質量;Fc為介質粘性阻尼力;Ff為運動過程中的摩擦力;Ft為彈性力;FL為外加負載;p1為進油腔壓力;p2為回油腔壓力;A1為無桿腔有效面積;A2為有桿腔有效面積。

將活塞和負載質量作為被驅動的從動件單獨進行受力分析，如圖2 所示。假設液壓缸驅動負載過程中驅動力和負載力相等，即p1A1=p2A2+FL，于是可得液壓缸驅動的活塞動力學方程為

圖2 液壓缸運動的非線性力學模型Fig.2 Nonlinear mechanics model of hydraulic cylinder motion

2 非線性時變特性分析

2.1 非線性彈簧力

如圖1 所示的雙作用單活塞桿液壓缸，彈簧剛度k(x)由液壓油剛度和活塞負載質量彈簧剛度串聯而成。由材料力學可知，鋼鐵彈性模量遠大于液壓油液的體積彈性模量，故此可忽略活塞負載質量產生彈簧剛度的影響，只考慮液壓油液在驅動過程中形成的液體壓縮彈簧剛度。

液壓缸驅動負載移動時，缸的有桿腔和無桿腔均充滿了液壓油，且均處于壓縮狀態，所以產生的總彈簧剛度可以看作是兩腔液壓油液剛度并聯作用的結果。同時，液壓缸活塞的運動改變了液體彈簧的長度，將引起彈簧剛度的改變，其隨活塞桿位移變化的規律為［6］

式中，K0表示液壓油液的體積彈性模量;L為液壓缸的總行程;x0表示活塞的初始位置;α 和γ為待定系數。

根據式(3)可以得到液壓缸的彈簧剛度隨活塞位移變化曲線，如圖3 所示。若α=1，γ=0時，即進油節流回油路無背壓回路，此時液壓彈簧力表現出全程軟彈簧特性;若α=1，γ=1時，即進油節流回油路有背壓回路，此時液壓彈簧力表現出半程軟彈簧半程硬彈簧特性;若α=0，γ=1 時，即回油節流回路，此時液壓彈簧力表現出全程硬彈簧特性。

由圖3 可知，液壓缸彈簧剛度隨活塞位移呈現出明顯的非線性時變特性，但相比時變特性，其在整個行程中的非線性特征更加明顯。

圖3 液壓缸彈簧剛度的非線性變化規律Fig.3 Nonlinear variation rule of hydraulic cylinder spring stiffness

2.2 時變摩擦力

根據經典的Stribeck 摩擦理論，液體潤滑狀態可劃分為三種主要類型:Ⅰ為邊界潤滑狀態;Ⅱ為混合潤滑狀態;Ⅲ為流體動壓潤滑狀態，具體如圖4 所示。在圖4 中，縱坐標f 表示摩擦因數，Stribeck 曲線與縱坐標交點處f0表示靜摩擦因數;橫坐標其中，υ為潤滑劑的運動粘度，v為相對運動速度，p為接觸面法向作用載荷。

圖4 Stribeck 摩擦曲線Fig.4 Stribeck friction curve

根據經典的Stribeck 摩擦理論，可以獲得的摩擦力與速度之間關系曲線如圖5 所示。當工作點處于區域Ⅲ時，摩擦力隨速度發生線性變化，其自由振動方程為形式較簡單的線性微分方程。此時，摩擦力的作用增加了系統的阻尼，振動隨時間很快地衰減，系統為穩態系統，不會發生爬行現象。然而，當工作點處于區域Ⅰ或區域Ⅱ時摩擦力隨速度是非線性變化的。

圖5 摩擦力與速度關系曲線Fig.5 Curve of friction-velocity

為進一步了解液壓缸活塞運動時所受摩擦力的時變特性，本文忽略液壓彈簧剛度非線性特性的影響，集中研究摩擦力對液壓缸運動特性的影響。令文獻［6，7］將液壓缸活塞運動時的自由振動方程轉化成Van Der Pol 方程形式，即

求解Van Der Pol 方程，目前已有成熟的理論方法，如顯式Euler 法、改進的Euler 法和四階Runge-Kutta 法等，但求解過程均比較復雜繁瑣［8］。這里利用matlab 中的simulink 對上述Van Der Pol 方程進行仿真求解，得到其速度時域圖像，如圖6 所示。

圖6 基于Van Der Pol 方程的速度時域圖像Fig.6 Velocity time domain figure based on Van Der Pol

由圖6 可知，當工作點處于區域Ⅰ或區域Ⅱ時，液壓缸活塞的運動速度呈現出明顯的非線性時變特性，且其在整個行程內的時變特性尤其明顯。

3 液壓缸動態數值仿真

3.1 液壓缸非線性動力學分析

當利用液壓油驅動活塞運動時，假設流入液壓缸內的油液流量q 不變，根據流量連續性方程，理論上活塞有效作用面積A1處液流的流動速度v=q/A1保持不變。但是，由于實際液體具有可壓縮性，將先蓄備油液以便形成液壓彈性力。若該工作點的液壓彈簧鋼度為k(x)，則產生的液壓彈性驅動力Ft=k(x)·(x－x0－vt)≈－k(x)·x0(這里，x0為液壓彈簧壓縮量)。當液壓驅動力Ft小于活塞所受的靜摩擦力Ff0時，液壓缸活塞不運動，油液繼續流入，x0增加，導致液壓彈性力Ft不斷增加;當液壓驅動力Ft等于活塞所受的靜摩擦力Ff0時，即k(x)·x0=Ff0，液壓缸活塞開始移動，根據Stribeck 摩擦理論可知，靜摩擦力瞬間變為動摩擦力，在靜、動摩擦力差的作用下活塞加速運動，由于動摩擦力)在低速范圍內隨速度˙x 增加而減小，故導致工作臺進一步被加速;當液壓等效彈簧的壓縮量逐漸恢復，即| x－x0－vt | 逐漸減小，驅動力Ft減小到與動摩擦力)相等時，由于慣性使活塞負載向前沖過一小段距離，導致彈簧驅動力Ft進一步減小;當液壓等效彈簧驅動力Ft小于動摩擦力時，液壓缸活塞負載開始減速，同時動摩擦力進一步增加，直至液壓缸活塞負載停止移動。上述現象不斷重復，產生了液壓爬行。將此過程在活塞工作點處建立運動微分方程，得

式中，k(x)為液壓等效彈簧剛度，在工作點x處，k(x)可視為常數;c0為系統阻尼系數。

由于液壓缸工作點僅處于區域Ⅰ或區域Ⅱ時摩擦力呈現出強時變特性。所以，根據Taylor 展開法，將摩擦力在接近零處工作點附近，即=v0≈0，Ff=Ffd(v0)=Ffd進行泰勒展開，于是

式中，ω為液壓缸驅動系統的固有頻率，且ω2=k(x)/m;ξ為阻尼比，

由于液壓彈簧剛度k(x)的時變特性并不明顯，因此在很小的時間間隔內，即在活塞工作點附近，k(x)可近似表示成常數k。于是，式(7)為可解的二階常系數非齊次線性微分方程，其全解由對應的齊次線性微分方程的通解和非齊次線性微分方程的特解構成。

根據線性微分方程理論，可知式(7)對應的齊次線性微分方程通解形式為

式(7)非齊次線性微分方程特解為

式中，A、B 和a、b 均為待定系數。

于是，得液壓缸活塞動力學微分方程解

液壓缸活塞運動速度

3.2 數值仿真策略

根據上述分析可知，盡管造成液壓爬行現象的兩個主要因素:液壓彈簧剛度和摩擦力均具有非線性時變特性，然而液壓彈簧剛度主要體現的是非線性特性，而摩擦力則主要體現時變特性。因此，在對液壓缸一個伸出行程進行仿真過程中，可以采取離散時間法的策略，將整個伸出行程時間t 離散成n 段。雖然整段行程內液壓彈簧剛度是非線性的，但在每小段時間Δti=ti－ti－1(i=1，…，n)內，可認為液壓彈簧剛度為線性變化的，從而來解決液壓彈簧剛度的非線性特性。根據式(3)，可知液壓彈簧剛度的迭代公式為

對于摩擦力，由于其在整個行程中體現的是強時變的特性，因此每小段時間間隔Δti內必須考慮到摩擦力的時變特性。可以根據Taylor 展開法，將摩擦力在工作點處線性展開，忽略高階微分量。摩擦力的線性展開式近似為

于是，在每個時間間隔段內，可將式(2)所示的不可解的非線性時變微分方程，轉化為式(7)可解的線性微分方程形式。解出相應活塞桿的位移和速度，迭代到下一時間段內，求出該段時間內的液壓彈簧剛度，并列出此時的線性微分方程繼續求解。記錄出每一時間段內活塞運動的速度和位移，做出整個行程內活塞運動的仿真線圖，具體流程如圖7 所示。

圖7 仿真策略流程圖Fig.7 Simulation strategy flow diagram

4 仿真分析實例

某鐵合金電爐液壓驅動系統執行元件如圖1所示。驅動系統為進油節流且回油有背壓的回路。已知缸筒內直徑100 mm，活塞桿直徑50 mm，總有效行程為150 mm;活塞負載總質量370 kg;油液體積彈性模量為1.6 MPa，密度為900 kg/m3。當液壓缸的預期驅動速度分別為1.2 mm/s、3 mm/s 和5 mm/s 幾種不同情況時，采用上述數值仿真分析方法，比較液壓缸活塞桿在不同工況下的實際運動特性，并說明原因。

首先，根據已知條件可得整個行程內驅動系統液壓彈簧剛度的非線性變化過程如圖3 中實線所示，將液壓缸一個行程內所用的時間t 離散為等距的時間段Δt(Δt=1/104t);再依據經典的Stribeck 摩擦理論，得到驅動過程中活塞所受摩擦力與速度之間關系曲線如圖5 所示，于是可知不同速度工況下活塞運動時所處的摩擦狀態;最后，在每一時間段Δt 內根據圖7 所示的仿真策略流程輸出液壓缸活塞整個行程內的速度變化線圖和位移變化線圖，分別如圖8 和圖9 所示。

圖8 不同潤滑狀態下的速度時域圖像Fig.8 Velocity time domain figure on different lubrication condition

圖9 不同潤滑狀態下的位移時域圖像Fig.9 Displacement time domain figure on different lubrication condition

當液壓缸預期速度為1.2 mm/s 時，活塞運動處于邊界潤滑區域(圖5)。此時，活塞運動體現出負阻尼特性，即隨活塞瞬時速度增大摩擦力減小，從而導致阻尼比ξ為負值(ξ ＜0)，故此液壓缸活塞在整個行程內均會出現液壓爬行現象，且隨運動時間增加停止時間會越來越長。其瞬時速度的時域圖像如圖8a 所示;位移的時域圖像如圖9a、9b 所示。由圖9b 可見，隨著運動時間的增加活塞的停留時間亦越來越長。

當液壓缸預期速度為3 mm/s 時，活塞運動處于混合潤滑區域(圖5)。此時，活塞運動的負阻尼特性減弱，導致阻尼比ξ 很小(ξ→0)，故此液壓缸活塞在行程內會出現時緩時急的液壓爬行現象，但隨運動時間的增加，速度的時變幅度越來越小，如圖8b 所示;在接近行程終點時活塞桿逐步趨于等速運動，位移的時域圖像如圖9c所示。

當液壓缸預期速度為5 mm/s 時，活塞運動處于流體動壓潤滑區域(圖5)，此時活塞運動體現出的是正阻尼特性，即隨活塞瞬時速度增大摩擦力增大，于是液壓缸活塞僅在行程初始處出現短暫的液壓爬行現象，隨即便迅速衰減為等速運動。且阻尼比ξ 越大，其衰減過程越快，速度時域圖像如圖8c 所示，位移時域圖像如圖9d所示。

由上述分析可知，相對于液壓彈簧剛度，液壓缸系統的潤滑條件和摩擦性質是影響其動態特性的關鍵因素之一。

5 結論

(1)液壓缸驅動系統整個行程內液壓彈簧剛度主要體現出非線性特征，而摩擦力因隨速度變化頻繁，主要體現出明顯的時變特征。

(2)仿真結果表明，采用時間離散法和各時間段內Taylor 展開法相結合，進行液壓缸驅動系統數值仿真分析，與實際吻合效果良好。

(3)與液壓彈簧剛度相比，液壓缸系統的潤滑條件和摩擦性質是影響其動態特性的關鍵因素之一。

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