共軛梁比擬方法及在變截面梁計算中的應用

王贊芝，王曉，余佳代，鄧年春，馬瑞彥，江林雁，王淼，劉娥珍

(1.廣西科技大學土木建筑工程學院，廣西柳州545006;2.廣西大學土木建筑工程學院，南寧530004;3.河北工程技術學院，石家莊050091;4.中煤邯鄲設計工程有限責任公司，河北邯鄲056031;5.柳州鐵道職業技術學院，廣西柳州545616;6.廣西科技師范學院，廣西來賓546199)

變換法與比擬法是常用的解決數學物理問題的方法。變換法中最簡單、最熟知的方法是對數的運用，它可將數的乘除運算變換為加減運算，從而減輕了計算工作量。之后出現的復變函數的保角變換方法、微積分方程的Fourier變換、Laplace變換、Hankel變換解法等，都能夠將原來不能解決的問題變得可解，原來處理起來很復雜的問題處理起來比較簡單。比擬法常見的有水電比擬(將液體的流體力學問題用電磁學方法解決)、氣液比擬(將液體的力學問題用氣體實驗方法解決)[1]、塑性力學扭轉比擬(將理想塑性材料的等截面直桿扭轉問題用沙堆比擬)[2]。本文介紹的是梁(真實的梁)與它的共軛梁(虛擬的梁)的比擬。共軛，本意指按一定的規律相配的一對，有對稱的含義，如共軛復數，它們關于x軸對稱。可以看出，通過共軛梁這種比擬，能將求實體梁撓度的問題轉化為求虛擬梁的彎矩問題。在此基礎上將連續分布的虛荷載，按照靜力等效的原則，轉換成集中作用的虛荷載，這樣，計算虛梁的內力就變得簡單并且可以程式化，在計算復雜的變截面梁時該方法具有一定的優越性。

1 共軛梁比擬方法

1.1 實梁與虛梁微分方程的對應關系

一般情況下，梁彎曲的微分方程為[3]

當I(x)不是常數時，方程(1)是變系數四階常微分方程，因此只有特殊情況才能求出解析解[4]，一般采用近似的數值解法[5－8]。

對于變截面梁，盡管方程(1)是變系數的，但彎矩、剪力和荷載集度之間仍存在如下的關系:

另一方面，梁的變形和內力之間的關系為

比較式(2)與式(3)，單純從數學的形式上看，兩組微分方程是完全相似的，因而求解的步驟和方法也完全相同。于是可以設想，如果將原來實際梁上所產生的當作荷載集度，并用q*表示之:

將它作用到某個虛設梁上，那么，根據式(2)可得

式中的M*、Q*是虛梁的虛彎矩和虛剪力。比較式(3)和式(5)可以看出，虛梁上的虛彎矩和虛剪力分別就是實梁上的撓度和轉角。通過這種比擬手段，計算真實梁的撓度和轉角可以轉化為計算虛梁的彎矩和剪力，這就是共軛梁比擬方法，并將虛梁稱為真實梁的共軛梁。

1.2 實梁與虛梁邊界條件的對應關系

實梁的邊界，一般有固定端、自由端、鉸支端、中間鉸支座、中間鉸、彈性支座[3]等幾種情況，分別給出這些實梁的邊界條件所對應的虛梁的邊界條件。

①固定端

由式(2)、式(3)的對比可以看出，實梁固定端的yA=0對應虛梁=0，實梁的θA=0對應虛梁的=0，因此實梁的固定端對應虛梁的自由端，如圖1所示。

圖1 實梁的固定端對應虛梁的自由端Fig.1 Fixed end of real beam and counterpart free end of virtual beam

②自由端

按與上述相似的理由，實梁的yA≠0和θA≠0對應于虛梁的≠0和≠0，因此實梁的自由端對應于虛梁的固定端，如圖2所示。

圖2 實梁的自由端對應虛梁的固定端Fig.2 Free end of real beam and counterpart fixed end of virtual beam

③鉸支端

可以容易地看出，實梁的鉸支端對應于虛梁的鉸支端，這使得運用共軛梁法分析簡支梁時不需要對邊界條件進行轉換，從而帶來一定的便利，如圖3所示。

圖3 實梁的鉸支座對應虛梁的鉸支座Fig.3 Joint end of real beam and counterpart joint end of virtual beam

④中間鉸支座

在中間鉸支座A處，yA=0，θA≠0，θA左=θA右;對應的虛梁的條件是=0≠0，QA左=QA右。這樣，實梁的中間鉸支座對應在A點撓度不受約束的“中間鉸”，如圖4所示。

圖4 實梁的中間鉸支座對應虛梁的中間鉸Fig.4 Intermediate joint support of real beam and counterpart intermediate joint of virtual beam

⑤中間鉸(沒有支座)

對于中間鉸，實梁的yA左=yA右和θA左≠θA右，對應虛梁的，所以實梁的中間鉸對應虛梁的“中間鉸支座”，如圖5所示。

圖5 實梁的中間鉸對應虛梁的中間鉸支座Fig.5 Intermediate joint of real beam and counterpart intermediate joint support of virtual beam

從以上分析可以看到，在分析實梁的自由端時，并沒有利用實梁的MA=0，QA=0;在分析中間鉸時，也沒有利用實梁的MA=0，QA=0和QA左≠QA右。這是因為在運用共軛梁法求解實梁問題時強調的是用求虛梁內力的方法來求實梁的位移，因此在此都是將實梁的位移邊界條件轉化為虛梁的力的邊界條件。

1.3 運用共軛梁方法的算例

求解圖6a所示變截面簡支梁在均布荷載作用下的撓度[9]，分為如下幾個步驟:

①作實梁的剪力圖(圖6b)、彎矩圖(圖6c);

②在各截面將實梁彎矩除以實梁的抗彎剛度，如圖6d，這也就是虛梁的虛荷載分布圖，是虛梁的外力圖;

圖6 共軛梁法示例Fig.6 Example for conjugate beam method

③根據上面對實梁和虛梁邊界條件對應關系的討論，實梁兩端簡支，對應的虛梁也是兩端簡支，這樣圖6d中的虛梁也是簡支梁;

⑤計算虛梁跨中虛彎矩

虛梁的虛彎矩M*對應實梁的撓度，因而實梁跨中撓度

1.4 共軛梁法解變截面梁問題的步驟

由算例可以看出，使用共軛梁法計算梁的變形問題包括如下一些步驟:①根據實梁所受外力，畫出實梁的剪力圖、彎矩圖;②將實梁各截面的彎矩除以相應位置處該梁的剛度，得到虛梁的虛荷載;③根據上文實梁與虛梁邊界條件的對應關系，確定虛梁的邊界條件;④計算出虛梁的支座反力;⑤計算出虛梁的虛剪力、虛彎矩。

虛梁在端部的虛剪力就是實梁在端部的轉角，虛梁在跨中的虛彎矩就是實梁在跨中的撓度。

2 共軛梁法的應用

2.1 共軛梁方法的本質

在差分法中，雖然可以處理變截面梁與階梯軸等，但差分法處理階梯軸是近似的，因為如果將差分法的節點正好放在截面的突變處，則無法決定在節點處到底取梁左側的剛度還是取右側的剛度，因此即使可以通過增加分段個數來提高差分法的精度，用差分法處理變截面梁本身仍然是近似的。

共軛梁法在實質上與直接求解方程(1)是一樣的。直接求解方程(1)時，先積分方程(1)兩次，得到方程

將上式變形為式(3)的第1式，再對式(3)的第1式積分兩次，即得梁的撓度表達式y(x)。而在共軛梁法中，也是先求出M(x)，然后形式上把當成虛荷載q*(x)，再對q*(x)積分兩次。

也正因為共軛梁法本身是精確的，使得共軛梁法沒有簡化計算過程，因此也沒有減少計算工作量。有時盡管q(x)很簡單，但q*(x)也很復雜，所以采用共軛梁方法本身只是轉變了解題觀念，其本身并不能給計算帶來方便。

2.2 等效集中虛荷載

共軛梁法本身沒有給計算帶來便利，主要是因為虛荷載q*(x)較復雜，直接對q*(x)進行兩次積分的工作量很大，要是進行實際工程中處理大型復雜結構的計算，將顯得復雜而凌亂。如果能按一定的原則，將q*(x)等效為集中力，則可免除復雜的積分計算，從而顯著減少計算工作量，提高計算效率。

按照這一思路對共軛梁法進行改進:q*(x)一般呈曲線分布，將梁分為n個節段、n+1個節點，每個節段長度分別為λ1、λ2、…、λn，將連續分布于全梁的虛荷載q*(x)轉換成僅存在于節點的集中荷載，有些類似于有限元方法中對節間荷載的處理，也類似于桁架結構設計時對桁架節間荷載的處理[10]。

如圖7所示，設分布虛荷載q*(x)在節點A、B、C三點上的值分別為a、b、c，則在兩個相鄰節間的q*(x)可用下列二次插值函數q2(x)來擬合:

將x=0、x=λ1、x=λ1+λ2及相應的函數值a、b、c分別代入式(11)，以計算出式中的常數D、E、F，得到擬合后的q2(x):

圖7 等效集中荷載Fig.7 Equivalent accumulative loads

如果采用等間距劃分節段，則λ1=λ2=…=λn=λ，式(12)將得到簡化;如果虛荷載q*(x)在某節間呈線性分布或在全梁呈折線分布，則只需在這些節間線性插值，式(12)也得到簡化。

設兩節段AB及BC上的分布荷載等效到A、B、C三點的集中虛荷載分別為，現取出其中一個節間AB進行分析，于是有

將式(12)代入式(13)，整理后可以解得

2.3 改進后的共軛梁方法

圖8a為一變剛度簡支梁，根據外荷載所得的剪力圖如圖8b所示，彎矩圖如圖8c所示，圖8d是按照式(4)計算得到的作用于虛梁上的分布虛荷載q*(x)。將梁沿縱向劃分為n段，每段長度分別為λ1、λ2、…、λn。顯然，梁段劃分愈細，計算精度愈高，但計算工作量卻要大一些。根據分布虛荷載q*(x)計算出的等效集中虛荷載(圖8e)，同時標出由其計算出的虛梁的兩個虛支反力A*、B*，再根據圖8e畫出虛梁的虛剪力圖8f、虛彎矩圖8g。

按照“合乎情理和方便使用”的原則，可以自然地規定下列物理量的正、負號。

圖8 改進的共軛梁方法計算步驟Fig.8 Calculating procedure for improved conjugate beam method

①荷載:凡荷載作用方向朝上者為正，這樣圖8a中兩個支座反力A、B為正，外力P為負;

②剪力:凡使截面左邊合力向上者為正，這樣圖8b中集中力左側的剪力為正;

③彎矩:凡使頂部纖維受壓者為正，這樣圖8c中的彎矩為正;

⑤坡度(或斜率):實梁撓曲線的坡度φi是虛梁的虛剪力V*，正的坡度相應于實梁的撓度從左到右增加，圖8f中左半部分的坡度為正;

⑥撓度:實梁的撓度yi是虛梁的虛彎矩M*，向下的撓度yi為正撓度，與實梁正的彎矩相對應。

2.4 算例

已知條件見圖9a，試求梁的撓度與端轉角。本例將梁全長等分為6段。

①按圖9a計算出梁的彎矩(圖9b)。

④把此虛梁當成普通的簡支梁，按式(13)同樣的原理，根據圖9d計算出虛梁兩端支點處的支反力A*和B*，得這兩個值也一并標在圖中。

⑤用與畫傳統的剪力圖同樣的方法，畫出圖9d所示虛梁的虛剪力圖(圖9e)。

⑥根據圖9e的虛剪力圖，畫出虛彎矩圖(圖9f)。

圖9 改進后的共軛梁法算例Fig.9 Example for improved conjugate beam method

這個虛梁的虛彎矩M*，就是實梁的撓度y。因此此梁在節點2#有最大撓度(單位)。

值得說明的是，在圖8e和圖9d的虛外力圖中，故意將虛支反力A*畫得向左偏離一些，將支反力B*向右偏離一些。這樣在圖9e中，表示的是梁在端點A的切線的斜率，而1 115表示的是梁在A－1#這一段的平均斜率。端點B的情況與此類似。這是因為，是將原來分布在A－1#節間的分布荷載等效而來的，實際上在這個虛梁的A端并無這一集中虛荷載。也就是說，在圖9f中，A－1#間的撓曲線本來不是直線，而是曲線。對于曲線，在A點切線斜率當然不同于在A－1#段的切線斜率。

3 結束語

本文從方程(2)和方程(3)具有相似性出發，提出共軛梁的概念，導出實梁的各種邊界條件所對應的虛梁的邊界條件。總結了共軛梁法的本質，在此基礎上，對其作了改進，發展為計算變截面梁撓度的改進的共軛梁方法。計算時，將變截面梁分為若干節段，把實梁的當作共軛虛梁的虛荷載q*，作用在虛梁上的節間虛荷載擬合為二次拋物線分布，按靜力等效的原則將拋物線分布的虛荷載q*轉換成若干個作用于虛梁結點上的等效集中虛荷載，然后計算虛集中力作用下虛梁各個截面處的虛剪力、虛彎矩。依據實梁與虛梁的對應關系，虛剪力與虛彎矩就是實梁的截面轉角和撓度，由此得到原來實梁問題的解答。

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