某型教練機框梁結構分析及尺寸優化

張 勇，周 恒，余志明，陳里根，林振華

(中航工業洪都,江西 南昌330024)

0 引 言

在仿真技術成熟的今天，CAE技術的飛速發展，為產品生產前進行性能評估、提高產品品質、低成本設計提供了一個非常有效的工具。CAE不僅能起到性能分析的作用，還可通過先進的優化設計方法，實現結構的優化設計及減重，從而達到仿真驅動設計的目的。使用優化分析的方法，通過設定一系列優化參數，提交優化軟件計算得出滿足條件的結構參數，然后驗證分析，能夠大大提高設計效率，并且在保證性能的同時實現優化設計的目的。

某型飛機框梁位于1框和3框之間，并通過4只螺栓進行連接，對結構起支撐作用，如圖1所示。某工況下在梁中心處承受大小為5661.8N的集中力，其材料為LY12，力學參數為：彈性模量E=71GPa，泊松比μ=0.33，密度ρ=2800kg/m3，強度極限σb=390 MPa。為了保證梁滿足飛機結構設計中的強度要求，需要對其進行強度校核，本文應用有限元法和工程梁方法對梁進行強度分析，針對其強度不滿足要求的問題，采用工程上常用的尺寸優化方法對梁進行改進設計，將梁截面尺寸作為優化設計變量，在一定強度和剛度外界約束條件下盡量使梁的體積最小化。

圖1 梁CAD模型

1 尺寸優化數學模型

1.1 結構優化的數學模型

優化設計有三要素，即設計變量、目標函數和約束條件。設計變量是在優化過程中發生改變從而提高性能的一組參數；目標函數就是要求的最優設計性能，是關于設計變量的函數；約束條件是對設計的限制，是對設計變量和其他性能的要求。

優化設計的數學模型可以表述為：

式中：X是設計變量；f(X)是目標函數；g(X)是不等式約束函數；h(X)是等式約束函數 上標U、L分別指上、下限。

目標函數f(X)；約束函數g(X)、h(X)是從有限元分析中獲得的結構響應。設計變量X是一個矢量，它的選擇依賴于優化類型。在拓撲優化中，設計變量為單元的密度；在尺寸優化（包括自由尺寸優化）中，設計變量為結構單元的屬性；在形貌優化和形狀優化（包括自由形狀優化）中，設計變量為形狀擾動的線性組合因子[1]。

1.2 尺寸優化

在保持結構的形狀和拓撲結構不變的情況下，尋求結構組件的最佳截面尺寸以及最佳材料性能的組合關系，優化截面的最優面積（如圖2桁架），選擇板的最佳厚度等稱為尺寸優化，其特點是：設計變量容易表達，求解理論和方法成熟[2]。

圖2 尺寸優化示意

尺寸優化是一種細節優化設計方法，是設計人員在概念設計的基礎上所進行的設計。它是通過改變結構單元的屬性——例如殼單元厚度、梁單元的橫截面屬性、彈簧單元的剛度和質量單元的質量等，以達到一定的設計要求（如應力、質量、位移等），其優化流程如圖3所示。

2 梁有限元分析

將梁抽取中面，簡化為二維單元進行面網格劃分，其中，加強筋用三角形單元劃分，其余用四邊形單元劃分，得到11576個節點、10536個四邊形單元、1443個三角形單元。由于梁是用螺栓連接于1框和3框，所以在兩端四個螺栓孔處建立四個rbe2剛性單元，用于外界約束，約束X、Y、Z三個方向上的平動自由度，并在梁底面中心處施加正Y向大小為5661.8N的集中力，其有限元模型如圖4所示。

圖3 尺寸優化流程

圖4 梁有限元模型

賦予梁相應厚度屬性后，將有限元模型提交有限元分析軟件計算，得到梁變形和應力結果如圖5、圖6所示。

圖5 梁變形

圖6 梁應力圖

由分析結果可知，在受力處產生最大變形，大小為4.7mm，在最小截面處端部產生最大應力，大小為497.85Mpa，大于材料LY12的強度極限390Mpa，所以，梁強度不夠。

3 梁工程梁分析

為了進一步驗證梁強度是否足夠，用工程算法對梁進行強度校核。工程上，為便于分析計算，考慮其彎曲變形，將梁簡化成簡支梁來處理，其中截面AA和B-B是危險截面，其截面形式及受力情況簡圖如圖7所示。

圖7 梁截面形式及受力簡圖

對A-A截面：

形心C1的縱坐標：

A-A截面對形心軸Zc1的慣性矩：

其結果如圖8所示。

對B-B截面：

形心C2的縱坐標：

圖8 A-A截面應力

B-B截面對形心軸Zc2的慣性矩：

其結果如圖9所示。

圖9 B-B截面應力

由上述工程分析結果可知，在危險截面B-B處端部，最大應力為510.4Mpa，大于材料LY12的強度極限390Mpa，故梁強度不夠。

綜上，梁有限元分析和工程分析結果相差2.46%，而最大應力結果都大于使用材料的強度極限，所以梁強度不夠。因此，采用工程上常用的方法對梁進行尺寸優化，在一定強度和剛度約束條件下應盡量使梁的體積最小化。

4 梁尺寸優化

給定材料密度，在滿足強度和剛度條件下，對梁進行尺寸優化，使體積最小化。其數學優化模型如下所示：

式中：K是結構總體剛度矩陣；U是節點位移；F是外力；d是力作用點處位移；V是梁的體積；X是設計變量，其中x1是梁加強筋厚度； x2是非加強筋處梁腹板厚度；x3是梁底板厚度；x4是加強筋處梁腹板厚度。

將添加了設計變量、外界約束、目標函數的梁有限元模型提交OptiStruct運算，經過4次迭代，設計變量、外界約束、目標函數趨于收斂，其迭代圖如圖10~圖15所示。

圖10 設計變量X1迭代圖

圖11 設計變量X2迭代圖

圖12 設計變量X3迭代圖

圖13 設計變量X4迭代圖

圖14 力作用點變形迭代圖

圖15 體積迭代圖

優化前后，各設計變量、外界約束、目標函數對比如表1所示。

表1 優化前后對比

經過優化，梁最大變形為 3.82mm，減小了18.7%，最大應力為319.8MPa，降低了35.8%，在滿足強度和剛度約束條件下，梁的體積為200360mm3，增加了14.9%。優化后，梁的應力水平小于材料的強度極限，剩余強度系數為1.22，滿足了強度要求。

5 結語

通過對某型飛機梁的結構分析和尺寸優化，可以得到以下結論：

1）在某工況下對梁進行強度校核，經過有限元分析和工程梁分析，梁強度不夠，需對梁進行重新設計。

2）采用工程上常用的方法對梁進行尺寸優化設計，獲得梁各部位尺寸優化結果，得到梁的優化形式，在滿足一定強度和剛度約束條件下使梁的體積最小化。

3）結構的優化結果一般偏理想化，實際情況中可以作為設計參考的依據對結構進行改進設計，在滿足外界約束條件下達到實際應用的目的。

[1]張勝蘭,鄭冬黎等.基于HyperWorks的結構優化設計技術[M].北京:北京工業出版社,2007.

[2]左孔天.連續體結構拓撲優化理論和應用研究[D].武漢：華中科技大學,2004,9.