不定積分性質求法分析

李滿成

（長江大學 信息與數學學院，湖北 荊州 434000）

不定積分性質求法分析

李滿成

（長江大學 信息與數學學院，湖北 荊州 434000）

隨著人類社會的不斷發展，科學技術的不斷進步，數學作為一門基礎學科，早已經滲透到各個科學研究的領域。文章通過簡單系統的分析，總結了數學分析中不定積分的幾種基本計算方法，及其性質應用。

數學分析;微積分;不定積分性質應用

不定積分是數學分析中微分學的重要內容之一，不定積分的性質理解與應用計算也是高等數學中教學的重中之重。主要是因為在數學分析中，不定積分的求解方法豐富多變、技巧性強、靈活性也很大。因此如果掌握了不定積分，不僅能夠開拓我們的思路，還能培養我們靈活的思維，更能夠讓我們更好的理解和應用微積分，真正了解運用微積分解決各種數學、科學中的難題。

本文先簡單的介紹一下微積分學的歷史發展由來，然后再依次從不定積分的原理性質、求解方法和應用進行系統的歸類分析總結。

1 微積分的創立

1.1 產生背景

微積分是微分學和積分學的簡稱。微積分的創立是數學史上最重要的事件之一，其基本思想源于古希臘的求積術，但直接原因是17世紀的科技發展的需要。且在微積分史上，積分概念先于微分概念產生，積分是與某些面積、體積和弧長相聯系的求和過程中發展起來的。而微分則是后來數學家們對曲線作切線問題和函數的極大值、極小值問題的研究時才產生了微分。再到后來人們又注意到，積分和微分彼此為互為逆運算因而才慢慢相互關聯起來。

1635年，意大利數學家卡瓦列里建立了不可分原理。其原理為：“兩同高得立體，若在等高處的截面積恒相等，則它們的體積相等；如果截面積成定比，則它們的體積之比等于截面積之比。”基于此理論上，他用巧妙的幾何方法求出若干曲邊圖形的面積，還證明了旋轉體的表面積及體積公式等，極大程度上啟發了微積分的創立。

1637年法國費馬給出一種求切線的方法，與現代方法基本一致。費馬還在文中講述了求最大值和最小值的方法，確立了多項式方程代表的曲線上的極大點、極小點和拐點。他還將這一方法用在了如物體的重心、曲線的長度及旋轉面的面積等各類問題的求法，并應用于光學問題研究，其工作被認為是“微積分新計算的第一發明人”。

1670年，英國數學家巴羅應用幾何方法對曲線進行計算，在求切線時提出了“微分三角形”概念。巴羅還使用了與費馬同樣的方法求曲線的切線，并且可能當時認識到了微分法是積分法的逆運算，是第一個如此認為的數學家。

1.2 微積分創立

隨著時代的進步，雖然微積分的知識大量被積累起來，但這些知識往往沉湎于細節，而且多用幾何方法尋求嚴密的推理，忽略了新發展的解析幾何，而往往沒什么進展。直到17世紀中后期，英國的牛頓與德國的萊布尼茨最終完成了微積分的創造，歷時上對于誰先創造了微積分是有很大的爭議，現在數學史統一認為兩位數學家都是微積分的創作者。

牛頓。據牛頓自述，他于1665年發明正流數術（即微分法），1666年建立反流數術（即積分法），1666年寫出第一篇微積分論文《流數簡述》，其中以速度形式引進了流數，使用無窮小瞬概念，建立了“微積分基本定理”,并討論了正、反微分運算的各種應用。但到了1687年，牛頓的《自然哲學之數學原理》在倫敦出版，這才是他第一次公開表述了微積分方法。

萊布尼茨。1673年闡述了特征三角形（即微分三角形）思想，并通過積分變換，得到平面曲線的面積公式。1675年10月，他使用了不定積分符號，用不定積分表示面積，還得到分部積分公式。1675-1676年他得到微積分基本定理，后來后來這一原理被稱為“牛頓－萊布尼茨公式”。1677年他明確定義了為函數的微分，給出了的演算規則。1684年，萊布尼茨發表第一篇微積分論文。

2 不定積分的原理性質

（1）不定積分的概率。定義：函數f(x)在區間I有定義，設F(x)是f(x)在I的一個原函數，則稱F(x)+c為的f(x)不定積分，記作∫f(x)=F(x)+c

其中∫稱為積分符號，x稱為積分變量，f(x)稱為被積函數，f(x)dx稱為被積表達式，C稱為積分常數。再這里要特別注意，一個函數的不定積分既不是一個數，也不是一個函數，而是一個函數族。

幾何意義：函數f(x)的原函數圖形成為f(x)的積分曲線，此積分曲線為一族積分曲線，f(x)為積分曲線的斜率。

（2）基本性質。性質1函數的和的不定積分等于各個函數的不定積分的和，即：

∫[f(x+g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx

性質2求不定積分時,被積函數中不為零的常數因子可以提到積分號外面來,即：

∫kf(x)dx=k∫f(xdx)（k是常數，k≠0）

3 求解不定積分的思想方法

3.1 定義法

根據不定積分的定義，我們可知，只要能找出f(x)的一個原函數，就能求出它的不定積分。而且由定義，我們還知道，求積與求導是互為逆運算，所以還可以利用這些關系來求不定積分。

利用定義法來求不定積分關鍵在于能否找到f(x)的一個原函數。

3.2 直接積分法

用直接積分法來求不定積分就是要經過適當的恒等變行，然后將被積函數轉化為基本積分公式中的幾個被積函數的代數和，再利用基本積分公式和不定積分的性質來求不定積分。

利用直接積分法的關鍵在于，要確保在轉化過程中的恒等變換不出錯，更要熟練地掌握基本積分公式與不定積分的性質。

3.3 第一類換元積分法（湊微分法）

當被積函數是一個因式時，主要是觀察被積函數與積分基本公式中的哪一個公式的被積函數相似，即所應用的基本積分公式；然后再根據與基本積分公式相似的形式進行湊微分，湊微分的目的是為了應用積分基本公式和性質求積分。

被積函數有兩個因式時，先由一個因式找到與基本積分公式相似的公式，余下一個因式與dx結合湊微分，同理可由積分基本公式和性質求出積分結果。

利用第一換元積分法（湊微分法）關鍵就是要把被積式子中的某一部分看成一個整體，而把被積式子湊成關于這個整體的積分公式。

3.4 第二類換元積分法

第二類換元積分法主要是通過x=φ(t)對所求積分進行化簡，其主要形式有以下三類：

（3）倒數代換：當積分表達式分母中自變量的冪較高于分子時，我們x=可以采用進行化簡求解積分。

利用第二類換元積分法的關鍵就是要恰當的選取積分變量作為新積分變量的一個函數，并且具有反函數。

3.5 分部積分法

分部積分法是運用公式∫udv=uv-∫vdu進行求解不定積分，通常適用于兩類不同函數相乘的積分。此法的主要是u，dv的選擇。通常來講，先選定dv，使選定的v′dx能容易的湊出微分dv且積分后不是很復雜，求導后變簡單，一次分部積分后，未積出的部分∫vdu要比原來的積分∫vdv簡單。如果被積函數是反三角函數、對數函數、冪函數、三角函數、指數函數中任意兩類函數的乘積，那么，我們可以考慮按照反、對、冪、三、指的順序來選取u，另一個函數想辦法湊成dv進行分部積分。

利用分部積分法的關鍵就是要降低多項式部分的系數和簡化被積函數的類型。

4 結語

不定積分是微積分中重要的組成部分，不定積分的概念，性質，求法，以及應用在數學分析中有著至關重要的位置，也是微積分中的基礎部分，所以掌握不定積分的求法是學習微積分的基礎。

不定積分的求法各種各樣，本文在這里主要討論了如何利用定義法、直接積分法、第一類換元積分法、第二類換元積分法、分步積分法五種最基本的方法，也是最常用的方法來求解不定積分。當遇到不定積分的題目時，我們應當先分析題目結構，然后靈活選擇最方便最簡潔的求解方法。

由于本人能力有限，本文只分析了不定積分的基本性質和不定積分基本的五種求解方法，并未對不定積分進行深入的研究探索，但是本文所論述的知識，乃是學習數學分析的基礎知識，只有掌握了這些基礎知識，將才能在微積分學的研究上有更大的進步發展空間。而且隨著數學知識大量的應用到科學技術發展中，

能夠掌握不定積分的基本知識，將對我們的工作和教育也有著重要意義。

[1]崔瑋.淺談高等數學中不定積分的求法[J].科技信息，2010，（11）：1-2.

[2]方秋金.數學學習論選講[M].北京：北京師范大學出版社,1992.

An Analysis of Solving Method based on the Properties of Indefinite Integral

LI Man-cheng
(Department of Information and Mathematics,Yangtze University,Jingzhou,Hubei434000,China).

With the continuous development of human society and the constant progress in science and technology, mathematics,as a basic subject,has already penetrated into every field of scientific reserches.This paper made brief and systematic analysis,summarizes several basic calculation methods of indefinite integral in mathematical analysis and the application of its properties.

mathematical analysis;calculus;application of the properties of indefinite integral

O172.2

A

2095-980X（2015）04-0147-02

2015-02-15

李滿成(1991-),男，湖南耒陽人，主要研究方向：數學與應用數學。