高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)淺議

●徐 同 翟士杰

高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)淺議

●徐 同 翟士杰

數(shù)學(xué)概念是人腦對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的一種反映形式，即一種數(shù)學(xué)的思維形式。數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)一般要經(jīng)過從孤立到系統(tǒng)、從抽象到具體、從表面到本質(zhì)的過程。數(shù)學(xué)概念的教學(xué)的一般策略是創(chuàng)設(shè)情境，引入概念；抓住實(shí)質(zhì)，理解概念；設(shè)計(jì)練習(xí)，應(yīng)用概念。

高中；數(shù)學(xué)概念；教學(xué)

一、數(shù)學(xué)概念及其學(xué)習(xí)

（一）數(shù)學(xué)概念

數(shù)學(xué)概念是人腦對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的一種反映形式，即一種數(shù)學(xué)的思維形式。在數(shù)學(xué)中，除了少量幾個(gè)最基本的概念（如：點(diǎn)、直線、平面、集合等等）外，作為一般的思維形式的判斷與推理，以定理、法則、公式的方式表現(xiàn)出來(lái)。正確理解并靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)概念，是掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和運(yùn)算技能、發(fā)展邏輯論證和空間想象能力的前提。

正確地理解和形成一個(gè)數(shù)學(xué)概念，必須明確這個(gè)數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵——對(duì)象的“質(zhì)”的特征，及其外延——對(duì)象的“量”的范圍。一般來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)概念是運(yùn)用定義的形式來(lái)揭露其本質(zhì)特征的。但在這之前，有一個(gè)通過實(shí)例、練習(xí)及口頭描述來(lái)理解的階段。比如，兒童對(duì)自然數(shù)，對(duì)運(yùn)算結(jié)果——和、差、積、商的理解，就是如此。到小學(xué)高年級(jí)，開始出現(xiàn)以文字表達(dá)一個(gè)數(shù)學(xué)概念，即定義的方式，如分?jǐn)?shù)、比例等。有些數(shù)學(xué)概念要經(jīng)過長(zhǎng)期的醞釀，最后才以定義的形式表達(dá)，如函數(shù)、極限等。定義是準(zhǔn)確地表達(dá)數(shù)學(xué)概念的方式。

（二）數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的一般過程

從學(xué)生學(xué)習(xí)的角度講，數(shù)學(xué)概念的形成一般要經(jīng)歷以下幾個(gè)過程：

從表面到本質(zhì)——理解概念的內(nèi)涵與外延（如定義、名稱、例子、屬性等），把握概念的深層結(jié)構(gòu)，即對(duì)概念的核心、精髓的理解與把握；

從抽象到具體——對(duì)概念的不同表現(xiàn)形式的具體把握，對(duì)抽象概念的生動(dòng)形象描述，解讀概念的關(guān)鍵詞，把握概念的細(xì)節(jié)，掌握更多的典型、精彩的例子，即對(duì)概念的豐富細(xì)節(jié)的了解，對(duì)概念變化的把握；

從孤立到系統(tǒng)——對(duì)概念之間的關(guān)系、聯(lián)系的認(rèn)識(shí)，通過對(duì)概念間關(guān)系的考察，從概念的聯(lián)系中把握概念的核心所在，即在概念系統(tǒng)中認(rèn)識(shí)概念，使概念得到充分的整合，概念間聯(lián)系更加緊密，將概念組織為具有層次性、立體化的結(jié)構(gòu)體系，增強(qiáng)概念的靈活遷移能力。

二、數(shù)學(xué)概念教學(xué)的策略

下面以“且”與“或”為例，[2]就數(shù)學(xué)概念教學(xué)的策略進(jìn)行初步的思考。

（一）案例背景

《“且”與“或”》選自高中數(shù)學(xué)人教B版高中數(shù)學(xué)選修2-1第一章常用邏輯用語(yǔ)。邏輯是研究思維形式及其規(guī)律的一門基礎(chǔ)學(xué)科。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)需要全面的理解概念，正確的進(jìn)行表述，判斷和推理，這就離不開對(duì)邏輯知識(shí)掌握和應(yīng)用。在日常生活，學(xué)習(xí)，工作中，基本的邏輯知識(shí)是認(rèn)識(shí)問題，研究問題不可缺少的工具。而本部分內(nèi)容邏輯聯(lián)結(jié)詞又是邏輯知識(shí)的基礎(chǔ)，也是學(xué)生在初中數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)過簡(jiǎn)單的命題知識(shí)進(jìn)一步深化和推廣；不僅需要用已學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，而且需要把常用邏輯用語(yǔ)用于后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中。本節(jié)重點(diǎn)是通過數(shù)學(xué)實(shí)例，了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”與“或”的含義，能正確地表述相關(guān)數(shù)學(xué)內(nèi)容。難點(diǎn)是簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確地表述“且”命題、“或”命題，以及對(duì)新命題真假的判斷。

（二）教學(xué)過程

1.創(chuàng)設(shè)情境，引入概念

教材加強(qiáng)概念的引入，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從具體實(shí)例抽象出數(shù)學(xué)概念的過程。合理設(shè)置情境，符合學(xué)生認(rèn)識(shí)水平，使學(xué)生積極參與教學(xué)，了解知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的背景和過程，使學(xué)生感受到學(xué)習(xí)的樂趣，這樣也能使學(xué)生加深對(duì)概念的記憶和理解。

片段1

教師讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)命題有關(guān)的實(shí)例，從中抽取兩個(gè)語(yǔ)句，讓學(xué)生判斷它們是否是命題。接著教師引導(dǎo)學(xué)生思考如果在兩個(gè)命題中間加上一個(gè)“且”字聯(lián)結(jié)，是否是命題呢？如果在兩個(gè)命題中間加上一個(gè)“或”字聯(lián)結(jié)，是否是命題呢？引入課題。

在概念教學(xué)過程中，教師應(yīng)在學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)背景、能力水平和心理特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，給學(xué)生提供適當(dāng)?shù)姆独龑?dǎo)學(xué)生對(duì)實(shí)例進(jìn)行觀察、比較，對(duì)概念進(jìn)行假設(shè)、驗(yàn)證，從而獲得正確的概念。在引入過程中調(diào)動(dòng)了學(xué)生積極性，培養(yǎng)了勇于發(fā)現(xiàn)，大膽探索的精神。

2.抓住實(shí)質(zhì)，理解概念

數(shù)學(xué)概念是為了解決數(shù)學(xué)問題，對(duì)概念理解不清，在解題時(shí)就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤；對(duì)概念理解不透徹，常會(huì)遇到問題束手無(wú)策。要正確深刻地理解概念絕非易事，數(shù)學(xué)概念具有嚴(yán)密的科學(xué)性，因此概念教學(xué)應(yīng)讓學(xué)生準(zhǔn)確把握概念的內(nèi)涵和外延，教師要根據(jù)學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)和能力特點(diǎn)，從多方面著手，適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生剖析概念，抓住概念的實(shí)質(zhì)。

片段2

教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)p∧q與之前學(xué)習(xí)的集合中的交集相類似，通過類比激發(fā)學(xué)生求知欲有助于學(xué)生探究概念，理解概念。

給出新命題p∧q，注意強(qiáng)調(diào)重點(diǎn)。接著用自然語(yǔ)言解釋，再用此定義來(lái)解釋集合中的交集，用維恩圖來(lái)理解p∧q的意義，加深學(xué)生對(duì)p∧q的理解。接著，通過問題探究，進(jìn)一步加深對(duì)用邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”構(gòu)成新命題的理解，學(xué)會(huì)如何由命題p，q的真假來(lái)判斷命題p∧q的真假。

【問題探究】

用“且”聯(lián)結(jié)下列各組命題組成新命題，并說(shuō)出命題p，q和p∧q的真假：

（1）p：正方形是矩形， q：正方形是菱形；

（2）p：y=cosx是周期函數(shù)， q：y=cosx是奇函數(shù)；

（3）p：（-1）2=-1， q：3是質(zhì)數(shù)；

（4）p：1g0.1＞0， q：1g11＜0。

學(xué)生分組討論，并用表格歸納說(shuō)出命題p，q和p∧q的真假。

問題探究給出p，q兩個(gè)命題的真假的四種情況，放給學(xué)生探究，適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)問題，進(jìn)行對(duì)比，進(jìn)行研究。通過探究新命題的真假，體會(huì)由具體到抽象的思維方法，抓住概念的本質(zhì)，進(jìn)行剖析概念，加深對(duì)概念的理解。

3.設(shè)計(jì)練習(xí)，應(yīng)用概念

數(shù)學(xué)概念教學(xué)的主要目的是讓學(xué)生在理解概念的基礎(chǔ)上，運(yùn)用知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題，提高數(shù)學(xué)能力，全面提高學(xué)生素質(zhì)。所以在練習(xí)設(shè)計(jì)上一定要精、針對(duì)性強(qiáng)，便于提高學(xué)生的能力。

片段3

教師給出例題，學(xué)生利用新知識(shí)分析問題、解決問題。

例1 分析下列命題的組成，用“∧”表示出來(lái)，并判斷該命題的真假：

（2）菱形的對(duì)角線垂直且互相平分；

（3）函數(shù)y=sinx是最小正周期為π的偶函數(shù)。

從例題中引導(dǎo)學(xué)生分析命題并判斷真假，并注意及時(shí)總結(jié)，進(jìn)一步鞏固所學(xué)知識(shí)。

概念應(yīng)用指的是通過應(yīng)用概念去認(rèn)識(shí)同類事物，加深對(duì)概念的本質(zhì)理解，這是概念應(yīng)用與理解同步的過程。正是由于概念應(yīng)用直接有效的教學(xué)效果，使得教師都很注重教學(xué)的應(yīng)用策略，往往通過經(jīng)典的例題來(lái)透析概念的本質(zhì)內(nèi)涵，一般可以從辯證的角度入手出題，諸如正反兩方面、學(xué)生易錯(cuò)點(diǎn)、概念難點(diǎn)，這些細(xì)節(jié)的地方入手，亦可以從概念的關(guān)鍵要領(lǐng)入手解決，往往會(huì)取得良好的教學(xué)效果。筆者在這里就不加例舉了。

三、概念教學(xué)中注意的一些問題

人類認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)概念具有“漸進(jìn)性”，個(gè)體對(duì)數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識(shí)要“重演人類的認(rèn)識(shí)過程”，而數(shù)學(xué)概念的高度抽象性，決定了對(duì)它的認(rèn)識(shí)過程的曲折性，不可能一步到位，需要一個(gè)螺旋上升、在已有基礎(chǔ)上再概括的過程。以學(xué)生為主體，關(guān)注學(xué)生認(rèn)知，從學(xué)生認(rèn)識(shí)水平出發(fā)，重視學(xué)生參與，有利于學(xué)生積極學(xué)習(xí)概念；安排概念的辨析、精致的過程，即要對(duì)概念內(nèi)涵進(jìn)行“深加工”，對(duì)概念要素做具體界定，讓學(xué)生在對(duì)概念的正例、反例做判斷的過程中，更準(zhǔn)確地把握概念的細(xì)節(jié)；在概念的系統(tǒng)中學(xué)習(xí)概念，即要通過概念的應(yīng)用，形成用概念作判斷的“操作步驟”的同時(shí)，建立相關(guān)概念的聯(lián)系，這是一次新的概括過程。[3]

[1][3]章建躍.中學(xué)數(shù)學(xué)課改的十個(gè)論題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2010，（3）.

[2]普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書（數(shù)學(xué)）選修2-1[M].北京：人民教育出版社，2004：10-13.

（責(zé)任編輯：金傳寶）

徐 同 翟士杰/山東師范大學(xué)附屬中學(xué)數(shù)學(xué)教師