大學文科數學教學設計中的辯證關系

摘 要：從研究大學文科數學課程目標層次上的針對性、教學內容層次上的適應性、探索提高大學文科數學教學策略方法層次上的效度及其對象層次需求的匹配度出發，探討教育數學理念下大學文科數學教學設計理念上的若干維度。研究表明，在大學文科數學教學設計中，必須處理好學科嚴謹度與文化飽和度、設計問題難易度與受眾廣泛度、教學內容寬泛度與處置合情度、教學策略科學性與情感融入度等關系。

文獻標志碼：A

文章編號：1674－5884（2015）09－0046－03

doi：10．13582／j．cnki．1674－5884．2015．09．014 ①

收稿日期：20150320

基金項目：2014河北省高等學校科學研究計劃教育科學規劃項目（GH141086）；廊坊師范學院教學改革課題重點項目（K2011－

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作者簡介：張西恩（1965－），男，河南滑縣人，副教授，碩士，主要從事數學教學論、數學文化研究。

1　問題的提出

在大數據時代，實用數學素養、公民數學素養、專業數學素養、休閑數學素養以及文化數學素養是作為一個現代公民必須具備的數學素養 ［1］，大學文科數學培養的正是文科學生的上述數學素質和思維素質。然而，大學文科數學在我國高校開設的時間較短，尚未形成一整套成熟的課程體系，尚未形成熟悉文科各專業的教師隊伍，從目前情形來看，關注大學文科課程改革的研究人員、教學管理人員及參與具體教學的廣大教師，在教學理念、課程內容等具體要求和認識上尚缺乏深入且統一的結論，在很多方面還存在較大的爭議和理論空白 ［2］。

自2011年以來，筆者多次對廊坊師院和邯鄲學院的文科生進行過問卷調查，樣本總數達1千多人次。結果顯示，在對數學課的價值認識上，25%的同學認同其價值，56%的不認同，19%的回答“說不清”；關于課程內容，18%的同學認為合適，38%的認為基本合適，44%的認為不合適；對教學方式的滿意度，呈現嚴重分化，可能與不同教師的教學風格有關；就教與學的效果而言，有60%的同學認為“一般”，有5%的人認為“很差”，只有35%的同學認為“較好”。調查發現，《大學文科數學》課程和教學中存在著突出的理論問題和現實矛盾，其中最突出的有兩個方面：其一，課程的內容體系定位不夠準確。課程體系和教材內容方面理應針對文科專業的特點，定位于培養文科生的數學素養，而現狀卻是傳統的理工類高等數學內容體系的移植和刪簡。其二，教育觀念和教學方法等方面急待轉變和改進。教學中重知識的傳授，輕數學思想方法的提煉，注重結論而非過程，很少涉及人文教育。這樣的現實促使我們思考：大學文科數學與傳統理工類高等數學所教授的技術數學相比，教學內容、教學理念、目標與方法是否應該有明顯的區別？若有，差別又何在？在教育數學理念之下，如何改良高等數學 ［3］，使之較易被文科生接受呢？為此，經過長期理論探索和調查實驗，對大學文科數學課程目標層次上的針對性、教學內容層次上的適應性、探索提高大學文科數學教學策略方法層次上的效度及其對象層次需求的匹配度，進行了廣泛和深入的研究，發現了文科數學教學設計上的若干維度。研究表明，大學文科數學課程和教學設計理念上必須處理好幾個辯證關系。

2　大學文科數學課程和教學設計理念上的幾個辯證關系

2．1 學科嚴謹度與文化飽和度

嚴謹性是數學三大特性之一，自不待說，所謂文化飽和度是指始終把數學作為一種文化，作為整體文化的子文化去教學，始終把數學與其他人文專業融合在一起去教學，即最大程度地使數學教學文化化 ［4］。

如極限定義方式的選擇上，從學科上講最嚴謹的定義方式是“ε－δ”定義，但其難度已大到大多數文科生難以理解的程度，當然極其不利于其成功體驗，只能挫傷其學習積極性。此時，我們從數學文化角度去考量，可以安排這樣的文化之旅，從中國古代數學家劉徽“割圓”的思想入手，帶領學生了解極限思想的起源和發展，從有限到無限、由量變到質變，從而給出極限的描述性定義，極限“概念”難點得以突破，同時，匹配了文科學生對知識層次上的文化需求，也突出了數學思想的哲學意義。

再如，在學習函數、函數的導數、函數的原函數之相互關系時，以學科嚴謹度來說，函數的導數是函數的差商的極限，而函數的原函數的導數是函數本身，以人文角度來說，正應了一句俗語“前三十年由父看子，后三十年由子看父，”從求導運算上來說，如果說函數的導數如函數生成之子的話，那么函數的原函數則似函數生命之父，函數的原函數、函數本身及其導數構成了祖孫三代，這樣的比喻不僅不會破壞這些概念間關系的嚴謹度，而且為干澀的數學澆注了人文的營養液，何樂而不為呢？

我們知道，形式化、規范化的數學語言是數學的特點之一，也是數學的優勢之一，恰當的數學符號能夠較好地推動數學的發展，這也是數學文化的內容之一 ［5］。也正是這些符號，使數學更加抽象、神秘、干澀和冷艷，令許多文科生望而卻步。如果把這些符號的來歷講清楚，優勢展現和彰顯出來，讓干巴巴的符號有血有肉，充滿人情味，使之達到充分的文化飽和度，我想任何人都會喜歡上它們的。比如，積分符號∫是德國數學家萊布尼茲發明的，它是字母S拉長而成的，S是“求和”的英文“Summa”的首字母，表示定積分是一個特殊的求和過程 ［6］；該符號既有準確的內涵又有簡潔的形式，外形似一個身材修長、凹凸有致的美女，美麗而高雅。再加上∫ b a還能表達出積分的上下限，形象、好用，所以這樣的定積分符號被數學家廣泛接受且一直延用至今。與萊布尼茲同時代的大數學家牛頓也獨立發明了微積分，也創造了自己的導數符號x和定積分符號 ［7］，雖然這些符號也使用了很長一段時間，但終因不如萊布尼茲創造的符號好用而逐漸消亡。

2．2 設計問題難易度與受眾廣泛度

大學文科數學的教學要針對最廣泛的文科學生群體，而不僅僅是那些對數學感興趣的佼佼者，是作為提高文科生數學素養的文化教育，而不是培養研究型專業人才的理論教學。因此，設計問題情景應盡量切合日常生活實際，由淺顯易懂的問題切入，真正做到由淺入深、深入淺出，這樣才能降低思維梯度，使文科生有興趣、可觸及，數學教學才能有血肉、富實效。

比如“微分”概念的引入，一般的數學教材是從面積改變量實例引入定義，之后解釋其幾何意義，其引入過程理論性強、問題性差，引入概念的價值不明。若改為如下引入方式，由曲線y＝f（x）上的點P，橫坐標從a變成x時，函數值從f（a）變成f（x），估計函數值的增加量，此時，作出點P 0（a，f（a））處曲線的切線：y＝f（a）＋f′（a）（x－a），以y≈f（x）代換得f（x）≈f（a）＋f′（a）（x－a），可見f（x）的增量近似值為f′（a）（x－a），橫坐標改變量很小時，切線接近曲線，以f′（a）（x－a）為f（x）的增量的近似值的誤差也很小，而f′（a）（x－a）是更易計算的，所以精度要求不高時，此法是有效的，稱f′（a）（x－a）為y＝f（x）在處a的微分，這里既加強了導數的應用，突出了“以直代曲”的思想，也指出微分方法的價值和有效性（以簡代繁） ［8］。這樣的設計，構作了難易適中的問題情景，使知識梯度化，降低了思維坡度 ［9］，自然地，便贏得了最廣泛的受眾。

2．3 教學內容寬泛度與處置合情度

目前，大學文科數學教材版本很多，包含的內容有一元函數微積分、多元函數微積分、概率與統計初步、線性代數、微分方程、運籌學等，具體工作中，我們會結合課程學時遴選出一部分去教學，而按照培養文科生數學文化素養和思維熏陶的功能，我們的選擇通常是盡量寬泛地涉及業已成熟的方法和完美的結論，以便讓學生盡量多地接觸不同的數學思想和數學方法，也從不同角度去了解數學文化概貌。與此同時，是否應該且敢于介紹那些并沒有完美結論的數學問題呢？這里指的不僅是那些難以攻克的數學猜想，更是指數學家獲得真理的思維過程、數學思想的歷史局限性、甚至數學方法的缺陷，因為數學家們不斷試誤、創造真理的過程，解決新問題、完善舊方法的執著與勇氣，正是提高文科生數學素養的重要源泉，也正是數學課中德育滲透的重要法寶。

比如，利用面積引出積分，同樣是對于“曲邊梯形面積是什么？”的問題，教材通常是通過對計算方法的介紹，給出一個看似“唯一”的定義，這樣就錯失了借助這個典型問題對初學者進行思想啟發的好機會。相反，如果針對這一問題，進行多角度思考，重視分析問題的思維過程，不必盲從于所謂共識，在沒有完美的結論之時，依然敢于將“說不清”或沒有唯一結論的問題講出來，或者指出解決問題的某一結論和方法的局限性，提示學生進一步思考，這雖然需要教師極大的勇氣和肚量，但卻還原了歷史的原貌，這樣的處置是合乎生活情理的，有血有肉的，也必然是學生更愿意接受的數學。

2．4 教學策略科學性與情感融入度

當代大學文科生具有較強的叛逆心理、很強的自我意識、較差的抗挫折能力，其數學基礎相當薄弱，致使他們對學習數學具有很強的抵觸和恐懼心理，這種現象在高校文科生中已經成為一個客觀事實，學生對學習文科數學存在許多情感問題，學生不明確高校開設文科數學的作用，認識不到學習文科數學對自身的重要性，認為學習的內容枯燥乏味，學習文科數學就是為了修個學分，這樣的情感使文科學生學習數學索然無味。因此，我們在講究教學策略科學化時，將情感融入大學文科數學教學中勢在必行 ［10］。情感融入的基礎當然是建立良好的師生關系，給數學情感的培養營造一個良好的氛圍，這屬于教育心理學的研究范疇。我要強調的是，在教學內容和策略的設計上，如何充分運用數學文化的人文價值實現這一融入。數學文化融入數學教學也是數學教育者熱議的焦點之一，這里的切入點是數學文化融入的泛生活化，是“有機的”“水到渠成的” ［11］。

教學設計中，不應拿出專門的章節“正正經經”地去講數學史或數學家故事，而是在每一部分數學知識的教學之內，“信手拈來”“無心插柳”，這樣介紹的數學趣聞、歷史背景和知識內容有機結合而非附著于表面，是情感的自然流露，激起情感的共鳴才有了可能。當教學策略的科學性與情感的融入度有了高密度的匹配，轉變文科生的數學觀和學習積極性才有可能成為可以企及的目標。