關(guān)于孤立導(dǎo)體在點(diǎn)電荷靜電場(chǎng)中的感應(yīng)電荷分布情況探討

陜西寶雞中學(xué) 林嘉豪

1 引言

導(dǎo)體中存在著大量可以自由運(yùn)動(dòng)的電荷，稱為自由電荷。當(dāng)孤立導(dǎo)體處于靜電場(chǎng)中時(shí)，自由電荷將在電場(chǎng)力的作用下發(fā)生移動(dòng)并聚集在導(dǎo)體表面，這種現(xiàn)象稱之為靜電感應(yīng)現(xiàn)象[1]。導(dǎo)體表面的感應(yīng)電荷將在導(dǎo)體內(nèi)部建立起與原靜電場(chǎng)方向相反、大小相等的電場(chǎng)，從而使得導(dǎo)體內(nèi)部為等勢(shì)體，不存在任何電場(chǎng)分布，此時(shí)導(dǎo)體的狀態(tài)稱之為靜電平衡狀態(tài)[2]。對(duì)于靜電平衡態(tài)時(shí)導(dǎo)體表面的感應(yīng)電荷分布情況，已經(jīng)有一些理論推導(dǎo)和定性分析[3-7]。然而這些分析都沒有直觀的給出導(dǎo)體的感應(yīng)電荷分布情況及其影響因素。本文通過有限元方法對(duì)點(diǎn)電荷靜電場(chǎng)中的孤立導(dǎo)體進(jìn)行建模仿真，并定量分析其感應(yīng)電荷的分布情況及其影響因素。

2 靜電感應(yīng)現(xiàn)象理論基礎(chǔ)

通過查閱高等電磁理論可知，麥克斯韋方程組可以描述一切電磁場(chǎng)相關(guān)的物理規(guī)律，其中關(guān)于電場(chǎng)的高斯定理可以描述靜電場(chǎng)相關(guān)的現(xiàn)象。因而本文從電場(chǎng)的高斯定理出發(fā)，采用有限元方法建立二維模型對(duì)孤立金屬球在點(diǎn)電荷靜電場(chǎng)中的感應(yīng)電荷分布情況進(jìn)行了定量的數(shù)值仿真分析，相應(yīng)的電勢(shì)分布及電場(chǎng)線如圖1所示。其中Q0表示源電荷的帶電量，D表示金屬球與源電荷的距離，R表示金屬球的半徑。以金屬球的球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖1(a)建立坐標(biāo)系（本文中均采用這一坐標(biāo)系定義）。則當(dāng)金屬球半徑R已知時(shí)，可以用.表示金屬球表面上任意一點(diǎn)。由圖1可見，將孤立金屬球?qū)w放入點(diǎn)電荷產(chǎn)生的靜電場(chǎng)中，會(huì)顯著影響靜電場(chǎng)中的電勢(shì)即電場(chǎng)線分布，即是靜電感應(yīng)的結(jié)果：1)金屬導(dǎo)體為等勢(shì)體，導(dǎo)體內(nèi)部電勢(shì)處處相等；2）金屬導(dǎo)體內(nèi)部沒有電場(chǎng)線，說明導(dǎo)體內(nèi)部沒有電場(chǎng)分布；3）金屬導(dǎo)體附件的電場(chǎng)線被截?cái)啵糠蛛妶?chǎng)線從源電荷出發(fā)止于金屬導(dǎo)體表面，還有部分電場(chǎng)線從金屬球表面出發(fā)，說明金屬導(dǎo)體表面存在著感應(yīng)電荷分布，根據(jù)電場(chǎng)線的方向可以進(jìn)一步判斷出金屬球左右兩側(cè)感應(yīng)出的電荷為異種電荷。下面將進(jìn)一步具體分析這些感應(yīng)電荷的分布情況及其影響因素。

圖1

圖1 圓形導(dǎo)體在點(diǎn)電荷電場(chǎng)中的靜電感應(yīng)現(xiàn)象：(a)等勢(shì)線；(b)電場(chǎng)線。其中Q0=10 C，R=10 cm，D=10 cm。

3 感應(yīng)電荷分布的影響因素

由圖1(a)可知，上述靜電感應(yīng)模型包括3個(gè)參數(shù)，即源電荷帶電量Q0，金屬球半徑R，金屬球與源電荷距離D。接下來逐一分析這幾個(gè)參數(shù)對(duì)感應(yīng)電荷分布情況的影響。

通過有限元方法的數(shù)值仿真，我們可以得到金屬球表面上任意一點(diǎn)的感應(yīng)電荷密度 。如圖1(a)所示，在金屬球表面靠近源電荷的區(qū)域會(huì)感應(yīng)出異種電荷，在距離源電荷最近的點(diǎn)（）感應(yīng)電荷的密度最大。而且隨著與源電荷距離的增加，感應(yīng)電荷密度逐漸減小，直至為。此后隨著與源電荷距離的增加，感應(yīng)電荷變?yōu)樵措姾傻耐N電荷，而且電荷密度逐漸增大，直至距離最遠(yuǎn)點(diǎn)時(shí)（）電荷密度最大。在R、D保持不變的情況下，進(jìn)一步對(duì)比分析源電荷帶不同電荷量時(shí)的感應(yīng)電荷分布：隨著源電荷帶電量的增加，金屬球上任意一點(diǎn)的感應(yīng)電荷密度都會(huì)等比例的增加。即不同源電荷帶電量下 的分布曲線都完全重合，如圖所示。因此，在后續(xù)分析R、D對(duì)感應(yīng)電荷分布的影響時(shí)采用歸一化感應(yīng)電荷密度（）來表征以便排除源電荷帶電量對(duì)分析結(jié)果的影響。

圖2(b)所示的是在D=10 cm時(shí)分析R對(duì)感應(yīng)電荷的影響。由圖可見，1）無論R如何變化，金屬球表面距離源電荷最近點(diǎn)（）的歸一化感應(yīng)電荷密度都不變且為最大,原因在于這一點(diǎn)到源電荷的距離不隨R而變化且最近；2）隨著R的增加，距離源電荷最遠(yuǎn)點(diǎn)（）的電荷密度逐漸減小；3）隨著R的增加，金屬球表面感應(yīng)電荷密度為0的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的 向著遠(yuǎn)離源電荷的方向移動(dòng)。同理，可在R=10 cm時(shí)分析D對(duì)感應(yīng)電荷的影響，如圖2（c）所示。隨著D的增加，金屬球表面距離源電荷最近點(diǎn)（）以及距離源電荷最遠(yuǎn)點(diǎn)（）的歸一化感應(yīng)電荷密度都會(huì)顯著減小；而金屬球表面感應(yīng)電荷密度為0的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的也向著遠(yuǎn)離源電荷的方向移動(dòng)。

為了進(jìn)一步分析其對(duì)金屬球總體感應(yīng)電荷量的影響，我們對(duì)整個(gè)金屬球表面感應(yīng)電荷密度進(jìn)行積分求和，最終發(fā)現(xiàn)金屬球整體帶的電荷總量為0。說明靜電感應(yīng)現(xiàn)象并沒有產(chǎn)生電荷，只是將金屬中的正負(fù)電荷分開了而已。為了分析被分開的電荷總量Q隨R、D的變化關(guān)系，我們將金屬球表面歸一化感應(yīng)電荷密度為正的所有區(qū)域進(jìn)行積分求和，可得歸一化總感應(yīng)電荷量Q/Q0，如圖2(d(所示。歸一化總感應(yīng)電荷量會(huì)隨著D的減小而顯著增加，隨著R的增加也會(huì)有所增加但增加量不夠顯著。這一現(xiàn)象說明金屬球歸一化總感應(yīng)電荷量受R、D兩個(gè)參數(shù)的共同影響，但其中D對(duì)其的影響更為顯著。

圖2

4 結(jié)論

綜上所述，本文從麥克斯韋方程組中的電場(chǎng)高斯定理出發(fā)，利用有限元數(shù)值計(jì)算方法定量仿真分析了金屬球在點(diǎn)電荷靜電場(chǎng)中的感應(yīng)電荷分布情況。當(dāng)將孤立金屬球放置到點(diǎn)電荷附近時(shí)，在靜電場(chǎng)的作用下金屬球內(nèi)部的正負(fù)電荷會(huì)分開，從而產(chǎn)生感應(yīng)電荷。感應(yīng)電荷僅分布著金屬導(dǎo)體表面，其靠近源電荷端感應(yīng)出異種電荷且與源電荷距離最近點(diǎn)的感應(yīng)電荷密度最大，同時(shí)遠(yuǎn)離源電荷端會(huì)感應(yīng)出源電荷的同種電荷且與源電荷距離最遠(yuǎn)點(diǎn)的感應(yīng)電荷密度最大。進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn)：1）隨著源電荷帶電量的增加，金屬球上任意一點(diǎn)的感應(yīng)電荷密度都會(huì)等比例的增加，即源電荷帶電量不會(huì)影響歸一化感應(yīng)電荷密度的分布；2）金屬球的半徑R越大、金屬球與源電荷的距離D越小，相應(yīng)的感應(yīng)電荷量就會(huì)越多，而且其中D的影響更為顯著。上述的分析方法是從最基本的理論基礎(chǔ)出發(fā)，因而可以推廣到任意形狀孤立導(dǎo)體在任意源電荷電場(chǎng)中的靜電感應(yīng)分析，具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值。

圖2歸一化感應(yīng)電荷密度分布隨(a)源電荷帶電量、(b)金屬球半徑R、(c)源電荷距離D的變化關(guān)系的變化關(guān)系；(d)歸一化總感應(yīng)電荷量（Q/Q0）隨金屬球半徑R、源電荷距離D的變化關(guān)系。

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